安徽省凤阳县二中2024学年数学高三第一学期期末经典试题含解析

安徽省凤阳县二中2024学年数学高三第一学期期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）
A ．2
B ．1
C ．
22
D ．
12
2．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
3．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；
（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；
（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．在边长为3ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A ．28π
B ．7π
C ．14π
D ．21π
5．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8
π
个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则
函数()f x 在,88ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-
B ．[3,2]-
C ．2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．[2,2]
7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则
6
3
S S 的值为（ ） A ．
32
B ．
12
C ．
78 D ．
98
8．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x
D ．{|56}-<x x
9．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布(
)2
80,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）
附：若()2
~,X N μσ，则()0.6826P X
μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.
A ．0.6826
B ．0.8413
C ．0.8185
D ．0.9544
10．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为
A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+
B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+
C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+
D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+
11． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．
15
B ．
13
C ．
35
D ．
23
12．ABC ∆中，25BC =，D 为BC 的中点，4
BAD π
∠=，1AD =，则AC =（ ）
A ．25
B ．22
C ．65-
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”).
14．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，
则双曲线C 的离心率为 .
15．已知()1,1P 为椭圆22
+=142
x y 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为
________________．
16．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A 市与B 市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m ，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为
1
2
. （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： A 市居民 B 市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树
250
250
是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X 个路口种植杨树，求X 的分布列以及数学期望；
（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M ，求证：
3(1)(2)M m m m --.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ()2P K k
0.100 0.050 0.010 0.001 k
2.706
3.841
6.635
10.828
18．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平
分
.
（1）求的值； （2）设是直线
上一点，直线
交抛物线于另一点
，直线
交直线
于点，求
的值.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（m 为参数），以坐标点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3
π
）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11
||||
MP MQ +的值． 20．（12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且25a =，654235S S S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若满足不等式()
()
1
2
10n
n n S λ-⋅
+-<的正整数n 恰有3个，求正实数λ的取值范围．
21．（12分）设()()20f x x x a a =--> （1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.
22．（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5
cos 5
ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.
求证：（1）直线SA
平面EFG ；
（2）直线AC ⊥平面SDB .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【题目详解】
由题可知：()()()22
212221111i i i i i z i i i i --=
==++-- 由21i =-，所以1z i =+ 所以22112z =+=故选：A 【题目点拨】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 2、D 【解题分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【题目详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值. 3、C 【解题分析】
解：对于（1），当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的右上方时，E 到平面BCD 的距离最大，当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的左下方时，E 到平面BCD 的距离最小，
∴四面体E ﹣BCD 的体积有最大值和最小值，故（1）正确；
对于（2），连接DE ，若存在某个位置，使得AE ⊥BD ，又AE ⊥BE ，则AE ⊥平面BDE ，可得AE ⊥DE ，进一步可得AE ＝DE ，此时E ﹣ABD 为正三棱锥，故（2）正确；
对于（3），取AB 中点O ，连接DO ，EO ，则∠DOE 为二面角D ﹣AB ﹣E 的平面角，为θ， 直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π）， ∠DAE ∈[
，π），所以θ≥∠DAE 不成立．（3）不正确；
对于（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，P 到BC 的距离为：d P ﹣BC ， 因为
＜1，所以点P 的轨迹为椭圆．（4）正确．
故选：C ．
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 4、A 【解题分析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据
13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可
求半径从而求外接球表面积； 【题目详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，
28S π=；
法二：13OO =7R =
28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
AE =
AC =
cos AEC ∠=
=
sin AEC ∠=
，2sin AC R AEC =
==∠
R =28S π=. 故选：A 【题目点拨】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 5、C 【解题分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【题目详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 6、D 【解题分析】
由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【题目详解】
解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移
8
π
个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3
x π
=
对称，
333
82
k π
ππ
ϕπ∴⨯
-
+=+，k Z ∈，
78πϕ∴=
，函数7()2sin 38f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，sin 382x π⎡⎤⎛
⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
故()2sin 3[8f x x π⎛⎫
=-∈ ⎪⎝
⎭
，即()f x
的值域是[2]，
故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题． 7、C 【解题分析】
求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得6
3
S S 的值. 【题目详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=，3201920161
8a q a ∴=
=-，12
q ∴=-， 因此，63
63317118
S q q S q -==+=-. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 8、C 【解题分析】
根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【题目详解】
因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ， 则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x . 故选:C. 【题目点拨】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
9、C 【解题分析】
根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【题目详解】
由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=， 所以()()1
85900.95440.68260.13592
P X <=
⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【题目点拨】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 10、D 【解题分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【题目详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+. 故本题答案为D. 【题目点拨】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题. 11、A 【解题分析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【题目详解】
6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15
P =. 故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.
12、D 【解题分析】
在ABD ∆
中，由正弦定理得sin B =
cos cos 45ADC B π⎛⎫
∠=+= ⎪⎝⎭
，在ADC ∆中，由余弦定理可得
AC .
【题目详解】
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4
AD BD
B π=
，得sin 10B =，又BD AD >，所以B
为锐角，所以cos 10
B =
，cos cos 4ADC B π⎛⎫
∴∠=+=
⎪⎝⎭ 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，
2AC ∴=.
故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、＞ 【解题分析】
注意到1,0a b ><，故只需比较11
a b
+与1的大小即可. 【题目详解】
由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211
log 0.3log 2log 0.61a b
+=+=<， 故有a b ab +>. 故答案为：＞. 【题目点拨】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 14
【解题分析】
不妨设双曲线2222:1x y C a b -=，焦点(),0F c -，令222
221,x y b x c y a b a
-==⇒=±，由AB 的长为实轴的二倍能够推
导出C 的离心率. 【题目详解】
不妨设双曲线22
22:1x y C a b
-=，
焦点(),0F c -，对称轴0y =，
由题设知222
221,x y b x c y a b a
-==⇒=±，
因为AB 的长为实轴的二倍，
2
2224,2b a b a a ∴==，
222222,3c a a c a -==，
c
e a
∴=
=
【题目点拨】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值. 15、230x y +-= 【解题分析】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，利用点差法可求得直线AB 的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【题目详解】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，
由于点P 为弦的中点，则12
1212
12
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，
由题意得22
1122
22142
1
4
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++=， 所以，直线AB 的斜率为
()()121212122221
4422
x x y y x x y y +-⨯=-=-=--+⨯，
所以，弦所在的直线方程为()1
112
y x -=--，即230x y +-=. 故答案为：230x y +-=. 【题目点拨】
本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题. 16、1080 【解题分析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有22116421
22
22
C C C C A A ⋅⋅⋅⋅种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
4A 种，然后用分步计数原理求解. 【题目详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2211
6421
22
2245C C C C A A ⋅⋅⋅=⋅种， 再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
424A =种，
则不同的分配方案有45241080⨯=种. 故答案为：1080 【题目点拨】
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）没有（2）分布列见解析，()2E X =（3）证明见解析 【解题分析】
（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..
（2）根据题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值. （3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以28m ，即4m .要证3(1)(2)M m m m --，即证(1)(2)
3
--m m m M
，
根据组合数公式，即证3
2m M C ；易知有1k k m m C C +>.成立.设2m 个路口中有(,2)p p N p m ∈个路口种植杨树，下面
分类讨论①当{0,1,2}p ∈时，由33222--=m p m M C C 论证.②当{22,21,2}p m m m ∈--时，由33
22p m M C C -=论证.③
当323p m -时，332p m p M C C -=+，
设33
2(),323p m p f p C C p m -=+-，再论证当p m = 时，3
3
2()-=+p m p
f p C C 取得最小值即可. 【题目详解】
（1）本次实验中，2
2
1000(300250200250)10.110.828500500550450
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性. （2）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，4，
故411(0)(4)216P X P X ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，4
34141(1)(3)2164P X C P X ⎛⎫====== ⎪⎝⎭， 4
24
163(2)C 2168
P X ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
故()422
=⨯
=E X . （3）∵28m ，∴4m .要证3(1)(2)M m m m --，即证3
2m M C ；
首先证明：对任意*,,m k N m k ∈，有1k k
m m C C +>. 证明：因为1
10k
k
k m m m C C C -+-=>，所以1k
k
m m C C +>. 设2m 个路口中有(,2)p p N p m ∈个路口种植杨树， ①当{0,1,2}p ∈时，
33
222(22)(23)(24)(1)(2)(23)
466
m p m m m m m m m M C C --------==
=⨯，
因为4m ，所以23m m ->， 于是33(1)(2)4426
m m m m m M C C -->⨯
=>.
②当{22,21,2}p m m m ∈--时，3322p m M C C -=，同上可得3
2m M C > ③当323p m -时，3
3
2p m p M C C -=+，设3
3
2(),323p m p f p C C p m -=+-， 当324p m -时，3
3
3
3
2
2
121221(1)()p m p p m p p m p f p f p C C C C C C +-----+-=+--=-， 显然21p m p ≠--，当21p m p >--即24m p m -时，(1)()f p f p +>， 当21p m p <--即31p m -时，(1)()f p f p +<， 即()(1)(23)f m f m f m <+<
<-；(3)(4)()f f f m >>⋯>，
因此3
()()2m f p f m C =，即3
2m M C .
综上，3
2m M C ，即3(1)(2)M m m m --.
【题目点拨】
本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属于难题. 18、（1）
；（2）
.
【解题分析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分
，所
以
，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得
；（2）设，
，
，由三点共线得
，再次代入点的坐标并化简得，同理由
三点共线，
可得，化简得
，故
.
试题解析： （1）由
，整理得
，
设，，则，
因为直线平分
，∴
，
所以，即
，
所以
，得
，满足，所以
.
（2）由（1）知抛物线方程为
，且
，
，
，
设，，，由三点共线得
，
所以
，即
，
整理得：，①
由
三点共线，可得
，② ②式两边同乘得：，
即：，③ 由①得：，代入③得：，
即：，所以
.
所以
.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立
，相当于得到
的坐标，但是设而不求.根据直线
平分
，有
，这样我们根据斜率的计算公式
，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线
来求解.
19、（1）l ： 320x y =，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +＝
334
【解题分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【题目详解】
(1)曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（m 为参数），
两式相加得到4m x y =+，进一步转换为22
33144
x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+
3π
）＝1，则(cos cos sin sin )133
ππρθθ-= 转换为直角坐标方程为320x y =．
（2
）将直线的方程转换为参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，
代入
22
33144
x y -=
得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），
所以12t t +=-1216
3
t t ⋅=，
所以11|||||MP M Q +
＝1212||||||||t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【题目点拨】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 20、（1）21n a n =+；（2）[)4,5． 【解题分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）求出n S ，可得出
()(
)
()
12n
n
n n λ-⋅+<
，可知当n 为奇数时不等式不成立，只考虑n 为偶数的情况，利用数列单
调性的定义判断数列{}n b 中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数λ的取值范围． 【题目详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则211
115
655443652435222a a d a d a d a d =+=⎧⎪
⨯⨯⨯⎨⎛
⎫+++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩
，整理得11531335a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得13a =，2d =，因此，()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+； （2）
()()
123
2122
2
n n n a a n n S n n +++=
=
=+，
满足不等式()1
10n
n n S λ-⋅
+-<的正整数n 恰有3个，得
()()
()
12n
n
n n λ-⋅+<
，
由于0λ>，若n 为奇数，则不等式
()()
()
12n
n
n n λ-⋅+<
不可能成立.
只考虑n 为偶数的情况，令()()
()
21n
n
n
n n b ⋅⋅+-=
，
则()()22
222122k k
k k k k k b -++=
=
，()()221
122k k k k b +-++=
．
()()()()()2221
1
1
122112222k k
k k k k k k k k k b b +---++++-∴-=-=
. 当1k =时，420b b ->，则24b b <； 当2k =时，640b b -=，则46b b =； 当3k ≥时，2220k k b b +-<，则6810b b b >>>.
所以，246810b b b b b <=>>>
，
又24b =，466b b ==，85b =，1015
4
b =，45λ∴≤<. 因此，实数λ的取值范围是[)4,5. 【题目点拨】
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21、（1）1
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）(]0,1
【解题分析】
(1)通过讨论x 的范围,得到关于x 的不等式组,解出取并集即可.
(2)去绝对值将函数()f x 写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由()1f x ≤恒成立求得结果. 【题目详解】
解：（1）当1a =时，()21f x x x =--，()1f x ≥-即
021x x <⎧⎨
-≥-⎩或01321x x ≤≤⎧⎨-≥-⎩或1
21x x >⎧⎨-+≥-⎩
解之得
1
13x ≤≤或13x <≤，即133
x ≤≤ ∴不等式的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
（2）由题意得：()()()()2,032,02,x a x f x x a x a x a x a ⎧-<⎪
=-≤≤⎨⎪-+>⎩
∴当0x <时()()20f x x a a =->为减函数，显然()1f x ≤恒成立.
当0x a ≤≤时，()32f x x a =-为增函数，
()()max 1f x f a a ==≤，01a ∴<<
当x a >时，()2f x x a =-+为减函数，()1f a a =<
01a ∴<<
综上所述：使()1f x ≤恒成立的a 的取值范围为(]0,1. 【题目点拨】
本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题. 22、（1）见解析（2）见解析 【解题分析】
(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【题目详解】
（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC 的中点,由E 、F 为DC 、BC 的中点,再由题意可得1
4
CG CH CS CA ==,所以在三角形CAS 中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA 平面EFG .
（2）在ASD 中,1SD =,2AD =,5
cos 5
ASD ∠=
,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即
2222121SA SA =+-⨯,解得SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =,
所以AC ⊥平面SDB . 【题目点拨】
本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.。