人教版高中数学必修3课时卷 1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶

课时提升卷(八)
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·遵义高一检测)用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A.3
B.9
C.17
D.51
2.36和28的最大公约数和最小公倍数分别是( )
A.2和504
B.4和504
C.2和252
D.4和252
3.用更相减损术求651和310的最大公约数时,需要做减法的次数为( )
A.11
B.10
C.3
D.2
4.(2013·菏泽高一检测)用秦九韶算法求多项式
f(x)=7x7+6x6+5x5+ 4x4+3x3+2x2+x的值,当x=3时,v3的值为( )
A.27
B.86
C.262
D.789
5.(2013·福州高一检测)用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值,当x=x0时,求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别
为( )
A.,n,n
B.n,2n,n
C.0,n,n
D.0,2n,n
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.已知多项式f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1,则f(-2)= .
7.(2013·黄冈高一检测)三个数720,120,168的最大公约数是.
8.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是.
三、解答题(9～10题各14分,11题18分)
9.用辗转相除法求888与1147的最大公约数.
10.用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.
11.(能力挑战题)已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,如果在一种算法中,计算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算P10(x0)的值共需要多少次运算?
下面给出一种减少运算次数的算法:
P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1(k=0,1,2,…,n-1),利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算P10(x0)的值共需要多少次运算?
答案解析
1.【解析】选D.利用辗转相除法,得
459=357×1+102,
357=102×3+51,
102=51×2+0,
所以459和357的最大公约数是51.
2.【解析】选D.
36=28×1+8,
28=8×3+4,
8=4×2,
故36和28的最大公约数是4,又36=4×9,28=4×7,所以最小公倍数是252.
3.【解析】选A.651-310=341,
341-310=31,
310-31=279,
279-31=248,
248-31=217,
217-31=186,
186-31=155,
155-31=124,
124-31=93,
93-31=62,
62-31=31,
所以651与310的最大公约数是31,共做了11次减法运算. 【举一反三】本题若用辗转相除法求解,需做除法运算的次数是.
【解析】651=310×2+31,
310=31×10+0,
所以651与310的最大公约数是31,共做了2次除法运算.
答案:2
4.【解析】选C.多项式变形为:
f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
v0=7,
v1=7×3+6=27,
v2=27×3+5=86,
v3=86×3+4=262.
【变式备选】利用秦九韶算法求多项式f(x)=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时,在运算中下列哪个值用不到( )
A.164
B.3767
C.86652
D.85169
【解析】选D.f(x)=((7x+3)x-5)x+11,
v1=7×23+3=164,
v2=164×23-5=3767,
v3=3767×23+11=86652,
所以f(23)=86652.
5.【解题指南】把多项式变形为秦九韶算法可求的多项式是解题的关键.
【解析】选C.多项式变形为:f(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,把x0代入上式可求f(x0),所以不需要做乘方运算,做乘法和加法的次数分别是n,n,故选C.
6.【解析】多项式变形为
f(x)=((((x-5)x+10)x-10)x+5)x-1,
v0=1,
v1=-2-5=-7,
v2=-7×(-2)+10=24,
v3=24×(-2)-10=-58,
v4=-58×(-2)+5=121,
v5=121×(-2)-1=-243.
答案:-243
7.【解析】先求720与120的最大公约数,
因为720=120×6,
所以720与120的最大公约数是120,
再求120与168的最大公约数,
168=120×1+48,
120=48×2+24,
48=24×2+0,
所以120与168的最大公约数是24,所以三个数720,120,168的最大公约数是24.
答案:24
8.【解析】多项式变形为
f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1
=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,
v0=3,
v1=3×(-4)+12=0,
v2=0×(-4)+6=6,
v3=6×(-4)+10=-14,
v4=-14×(-4)-8=48,
所以v4最大,v3最小,
所以v4-v3=48+14=62.
答案:62
9.【解析】因为1147=888×1+259,
888=259×3+111,
259=111×2+37,
111=37×3,
所以888与1147的最大公约数是37.
【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求:
1147-888=259,
888-259=629,
629-259=370,
370-259=111,
259-111=148,
148-111=37,
111-37=74,
74-37=37.
所以888与1147的最大公约数为37.
【拓展提升】辗转相除法和更相减损术的选择
辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数,针对不同的两数,选择运算少的是关键,当满足下列条件之一,选择辗转相除法:
(1)所给两数差值大.
(2)所给两数的差与较小的数比,差值较大.
10.【解题指南】本题的多项式中有几项不存在,在计算时,应该将这些项加上,比如含x3这一项可看成0·x3.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+
3)x+0)x+0)x+2)x+1.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值:
v0=8,
v1=8×2+5=21,
v2=21×2+0=42,
v3=42×2+3=87,
v4=87×2+0=174,
v5=174×2+0=348,
v6=348×2+2=698,
v7=698×2+1=1397.
所以当x=2时,多项式的值为1397.
11.【解析】计算P 3(x0)时,P3(x0)=a0+a1+a2x0+a3,其中计算需k-1次乘法.
故计算a n-k·共需k次乘法.
上式中乘法运算有3+2+1=6(次),另外还有3次加法,共9次. 由此产生规律:
当计算P 10(x0)时,P10(x0)=a0+a1+…+a10.
需要的计算次数为(10+9+8+…+1)+10=+10=65(次). 当利用后一种算法时,
P3(x0)=x0·P2(x0)+a3,
P2(x0)=x0·P1(x0)+a2,
P1(x0)=x0·P0(x0)+a1.
显然P0(x0)为常数不需计算,
对于每个式子,都需要一次乘法运算和一次加法运算,共需3×2=6(次),
由此推得:
P10(x0)=x0·P9(x0)+a10,
P9(x0)=x0·P8(x0)+a9,
…
P1(x0)=x0·P0(x0)+a1.
故计算P10(x0)只需运算10×2=20(次).
关闭Word文档返回原板块。