2019版数学人教A版选修4-5课件：1.1.2 基本不等式

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4
3
【做一做 1】 下列各式中,最小值等于 2 的是(

A. +

C.tan
典例透析
1
θ+ tan
B.
)
2 +5
2 +4
D. 2 + 2 −
解析：∵2x>0,2-x>0,∴2x+2-x≥2 2 ·2- = 2, 当且仅当2x=2-x,
即 x=0 时,等号成立.
2.基本不等式
第一页，编辑于星期日：点 四十七分。
-1-
2.基本不等式
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典例透析
1.了解两个正数的几何平均与算术平均.
2.会用基本不等式解决一些函数的最值及实际应用问题.
第二页，编辑于星期日：点 四十七分。
-2-
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2.基本不等式
1
2
3
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典例透析
4
1.定理1
1
1
得 -1 -1
1
时,等号成立.
1
-1

2 2 2
≥ · · = 8, 当且仅当a=b=c=
3
反思用基本不等式证明不等式时,应先依据不等式两边式子的结构
特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,再合理地选
择基本不等式或其变形式进行证明.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 四十七分。
≥
=
= ,



100
5
当且仅当x=y=10 时,等号成立.
1
答案： 5
第九页，编辑于星期日：点 四十七分。
-9-
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2.基本不等式
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典例透析
பைடு நூலகம்
认识基本不等式中的数a,b
剖析：在利用基本不等式时,要准确定位其中的“数”.例如,在“已
知 2x+y=1,x,y>0,求 xy 的最大值”中,“两个数”不是“x”与“y”,而是已
2
+1
1
2
+ 3 + .
-19-
第十九页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
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典例透析
题型四
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润 y=
-2 +98+35
(≥0).
2(+1)
(2)y=
-2 +98+35
2(+1)
= 50 −
=− 5-4 +
+ 3≤-2+3=1,
4-5
5-4
1
5-4x=
, 即x=1 时等号成立.
5-4
∴y=4x-2+
当且仅当
∴当 x=1 时,y 的最大值为 1.
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
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典例透析
题型四
反思在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:
+1
32
+
2
+1
+1 32
· = 50 − 2
2 +1
+1
32
当且仅当
=
, 即t=7
2
+1
≤50-2
16 = 42,
时,等号成立,ymax=42,
即当促销费定在 7 万元时,年利润最大.
-20-
第二十页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
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(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
-18-
第十八页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
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典例透析
题型四
分析：(1)两个基本关系式是解题的关键,即利润=销售收入-生产成
本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;
(2)表示题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数
.
2
(3+2)+1
3 + 2 <
.
2
(3+2)+1
+2<
.
2
(3 + 2)·1, ∴ 3 + 2 ≤
(3+2)+1
,
2
3
3( + + ) 9
∴ 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 <
+ = 6.
2
2
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
知条件中的“2x”与“y”,这是因为定值是“2x+y=1”,而“x+y”不是定值,
1
2
因而要求 xy 的最大值应视作求 (2)·y 的最大值,即 xy=
1
1
2+ 2
(2)·y≤2 ×
2
2
1
1
1
= 8 , 当且仅当2x=y,即 x= 4 , = 2 时,等号成
立.
在基本不等式中,准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大
-6-
2.基本不等式
1
2
3
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典例透析
4
4.应用基本不等式求函数最值
已知 x,y 都为正数,则
2
(1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ;
4
(2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值
2 .
归纳总结 基本不等式应用中有“积定和最小,和定积最大”的规律.
关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2019年生
产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需
要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的
150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销
完.
(1)将2019年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数.
向.
(2)建立数学模型:根据(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形
语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应
关系,以便确立下一步的努力方向.
(3)讨论不等关系:根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型,讨论与结论
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典例透析
题型四
题型一 利用基本不等式证明不等式
【例 1】 已知 a,b,c>0,且 a+b+c=1.
1
1
1
求证: -1 -1 -1 ≥8.
分析：不等式右边数字为 8,使我们联想到左边因式分别使用基
1
本不等式可得三个“2”连乘, − 1
=
1-

=
+

≥
2
,

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2.基本不等式
题型一
题型三
题型二
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典例透析
题型四
【变式训练 2】 (1)若 x>0,求 f(x)=
(2)若 x<0,求 f(x)=
12
+ 3的最小值;

12
+ 3的最大值.

解:(1)x>0,由基本不等式,
12
12
得 f(x)= + 3 ≥ 2 ·3 = 2 36 = 12.
(1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,则需对式子变形,凑出需
要的定值;
(2)看所用的两项是否同正,若不满足,则通过分类解决,在同负时,可
提取(-1)变为同正;
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若
不满足,则可通过函数的单调性或导数解决.
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 四十七分。
第八页，编辑于星期日：点 四十七分。
-8-
2.基本不等式
1
2
3
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典例透析
4
【做一做 3-2】 已知 lg x+lg
1 1
y=2,则 + 的最小值为
.
解析：∵lg x+lg y=2,∴lg(xy)=2.∴xy=102.
1 1 + 2 2 100 1
∴ + =
2
称为, 的几何平均.
(3)基本不等式可以表述为:
两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
(4)基本不等式的几何意义.
直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
名师点拨 基本不等式成立的条件:“一正、二定、三相等”.
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
2.基本不等式
1
2
前提.
再如,在“已知实数 a,b,x,y 满足 a2+b2=1,x2+y2=3,求 ax+by 的最
大值”时,似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.
-10-
第十页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
2
2 +2 +2
ax+by≤
+
2
2
=
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2
2 + +2 +2
2
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
题型三
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典例透析
题型四
基本不等式的实际应用
【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2019
年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年
销量x(单位:万件)与年促销费t(单位:万元)之间满足3-x与t+1成反比例的
12
当且仅当 3x= , 即x=2 时,f(x)取最小值 12.
(2)∵x<0,∴-x>0,
则 f(x)=
≤-2
12
+ 3

12
=−
12
- -3
=−
12
-
+ (-3)
12
- ·(-3) = −12, 当且仅当 = −3, 即x=-2 时,f(x)取
-
最大值-12.
-17-
第十七页，编辑于星期日：点 四十七分。
α· 3cos β+sin α· 3sin = 3(cos αcos β+sin αsin β)= 3cos( −
) ≤ 3, 当且仅当cos(α-β)=1 时,等号成立.故 ax+by 的最大值是 3.
-11-
第十一页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立.
第三页，编辑于星期日：点 四十七分。
-3-
2.基本不等式
1
2
3
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典例透析
4
2.定理2(基本不等式)
(1)定理 2:如果 a,b>0,那么
+
2
≥ , 当且仅当 = 时,
等号成立.
+
(2)
称为, 的算术平均,
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2.基本不等式
题型一
题型二
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题型四
题型三
【变式训练 1】 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证: 3 + 2 +
3 + 2 + 3 + 2 < 6.
证明：∵ 3 + 2 =
∵3a+2≠1,∴上式不能取等号.∴
同理有 3 + 2 <
(3+2)+1
题型一
题型三
题型二
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题型四
题型二 利用基本不等式求函数最值
5
4
【例 2】 已知 x< , 求函数 = 4 − 2 +
1
的最大值.
4-5
5
4
分析：由 x< , 可知4x-5<0,转化为变量大于零,先调整符号,再
配凑积为定值.
5
4
解:∵x< , ∴ 5 − 4 > 0.
1
1
答案：D
第五页，编辑于星期日：点 四十七分。
-5-
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2.基本不等式
1
2
知识梳理
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典例透析
4
3
3.重要的不等式链
设 0<a≤b,则
2
a≤+
≤ ≤
+
2
≤
【做一做 2】 下列结论不正确的是(
1
A.当 a>0 时,a+ ≥2
C.a +b ≥2ab
2
2

2
2 +
2
≤b.
)
可由此变形入手.
-12-
第十二页，编辑于星期日：点 四十七分。
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2.基本不等式
题型一
题型二
题型三
知识梳理
≥
典例透析
题型四
1

2
.

证明：∵a,b,c>0,a+b+c=1,∴ − 1 =
1
同理: − 1

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2 1
, −1


≥
1-

=
+

≥
2
.

由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
的解析式.

解:(1)由题意可设 3-x= +1 (≠0),
2
将 t=0,x=1 代入,得 k=2,∴x=3− +1.
当年生产 x 万件时,∵年生产成本=年生产费用+固定费用,∴年
生产成本为 32x+3=32
2
3+1
+ 3.
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,则年销售收入为
150% 32 3-
典例透析
题型四
反思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步.
(1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语
言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将
实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问
题中量与量之间的关系,初步形成借用数学模型解决问题的思路,明确解题方
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典例透析