第7讲向量空间的基

Y A1X
1 0 0 0 0
故
y1 y2
yn
1 0 0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0 0 0
x1
x2
xn
,
0 0 0 1 1
所求坐标关系为: y1 x1, yk xk xk1 ( k 1, 2,, n) 。
例 设1,2,3 和 1, 2, 3 是三维向量空间的两组基 , 且
11 22 mm , 故 1 2 V。
R , 令 i ki , 则 (k11 k22 kmm ) ( k1)1 ( k2 )2 ( km )m 11 22 mm ,
故 R , V。
综上所述, 由向量空间的概念可知V 是一个向量空间。
2. 不妨设1,2,,k 是向量组 1,2,,m 的一个最大
解（二）
2 1 2 3 3 2(1 2 ) (21 32 23) 3(1 32 23) 31 142 23 ,
故向量 在基 1,2 ,3 下的坐标为 (3, 14, 4) 。
解 Rn , 设 在标准基 1,2 ,,n 下的坐标为
(x1, x2,, xn ) x11 x22 xnn , 设 在基 1, 2,, n 下的坐标为
( y1, y2,, yn ) y11 y22 ynn 。
由基的定义, 得
1 11 12 1n1 1n ,
2 01 12 1n1 1n ,
该公式称为向量 由基 1, 2,, r 到基1,2,,r 下的
坐标变换公式, 其中矩阵 A为坐标变换的过渡矩阵, 而称
公式 Y A1X 为由基 1,2 ,,r 到基 1, 2 ,, r 下
的坐标变换公式。
基变换与坐标变换的关 系
(x1, x2 ,, xr ) x11 x22 xrr X ;
是 R3 的一个基。
1. 证明: e1 (1,1, 0 ) , e2 ( 2, 3, 2 ) , e3 (1,3, 2 )
也是 R3 的基。
2. 求向量 2 e1 e2 3 e3 在基 e1, e2 , e3 下的坐标。
3. 试对以上的过程进行分析 , 得出你认为重要的结论。
解 1. 由向量 e1, e2 , e3 构成矩阵
,
n 0 1 0 2 0 n1 1n ,
1 0 0
即
(1 2, n)
(1
2
,
n
)
1
1
0
,
1
1
1
过渡矩阵
1 0 0
A＝1
1
0
。
1
1
1
过渡矩阵 A的逆矩阵为
1 0 0 0 0
1 1
0 0
0
A 1
0
1 1
0
0 ,
0 0 0 1 0
0
0
0
1
1
A
两组基 , 且有
1 a111 a212 ar1r ,
2 a121 a222 ar2r ,
,
r a1r1 a2r2 ar rr ,
换基矩阵 一定满秩
即
(1, 2,, r ) (1,2,,r ) A,
则称矩阵 A为由基1,2,,r 到基 1, 2,, r 的过 渡矩阵; 称 A1 为由基1, 2 ,, r 到基 1,2 ,,r 的
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（3）
——线性代数 第七讲 向量空间的基
脚本编写：彭亚新
教案制作：彭亚新
第三章 向量空间
第三节 向量空间的基 本节教学要求：
▲ 理解向量空间的基和维数的概念。 ▲ 熟悉向量在给定基下的坐标。 ▲ 了解向量空间的基变换，会求过渡矩阵。 ▲ 了解向量的坐标变换。
(1,2,,r ) ,
(1, 2,, r ) ,
a11 a12 a1r
A
a21
a22
a2r
,
ar1
ar 2
ar
r
x1
X
x2
,
xr
y1
Y
y2
.
yr
三. 基变换、坐标变换
过渡矩阵、换基公式
设1,2,,r 和 1, 2,, r 是 r 维向量空间的
最大无关组, 即是 R3 的一个基。
2. 求向量 2 e1 e2 3 e3 在基 e1, e2 , e3 下的坐标。
因为 e1 (1,1, 0 ) e1 e2 , e2 ( 2, 3, 2 ) 2 e1 3 e2 2 e3 , e3 (1, 3, 2 ) e1 3 e2 2 e3 ,
故向量组1,2,,m 的最大无关组即为V 的基。
二. 向量在给定基下的坐标
向量在给定基下的坐标
设1,2,,n 是 n 维向量空间V 的一个基, 则 V , 有
x11 x22 xnn ,
其中, 系数 x1, x2 , , xn 由向量 和基 1,2 ,,n
唯一确定,
称之为向量
在基
1
,
2
,,
过渡矩阵 。
坐标变换
设1,2,,r 和 1, 2,, r 是 r 维向量空间的两组 基 , 向量 在两组基下的坐标分别为
(x1, x2,, xr ) x11 x22 xrr X ;
( y1, y2,, yr ) y11 y22 yr r Y ,
则由 A 得
X AY ,
1 2 1 A 1 3 3 。
0 2 2
因为
121 | A| 1 3 3
022
r2 r1
12 1 0 5 2 14 , 02 2
即矩阵 A 满秩 , 所以, 向量 e1, e2 , e3 线性无关。
显然, e1 (1,1, 0 ) , e2 ( 2, 3, 2 ) , e3 (1,3, 2 ) 是 R3 的一个
3
3 。令
X
x2
,
Y 1 ,
0 2 2
x3
3
X AY
得 X AY :
x1 1 2 1 2
x2 x3
1 0
3 2
3 1 2 3
3 14 ,
4
即 31 142 43 。
故向量 2 1 2 3 3 在基 1, 2 ,3 下的坐标为 (3, 14, 4) 。
第三节 向量空间的基与向量的坐标
一. 向量空间的基与维数 二. 向量在给定基下的坐标 三. 基变换、坐标变换
一. 向量空间的基与维数
基、维数的定义
1,2,,n 是最大无关组
设V 是一个向量空间, 向量1, 2, , n V。若
1. 1, 2, , n 线性无关;
2. V , 有 ＝k11 k22 knn , ( 线性组合)
( y1, y2,, yr ) y11 y22 yr r Y ,
基
坐标
A
Y A1X
A1
X AY
例 已知空间 Rn 的标准基 1 (1,0,,0,0)T , 2 (0,1,,0,0)T , , n (0, 0,,0,1)T
和另一组基
1 (1,1,,1,1 )T , 2 (0,1,,1,1)T , , n (0, 0,, 0,1 )T , 求 Rn 中任一向量在这两个基下的坐标关系。
e1 (1, 1, ,1, 1) , e2 (1, 1, ,1, 0 ) , , en (1, 0, , 0, 0 ) 也是 Rn 的一组基。
例 仅由一个零向量构成的 向量空间称为零空间 。
由于它没有最大无关组, 所以, 规定 零空间的维数为零 。
例 设 m 个 n 维向量1,2,,m 的所有线性组合的集合为 V { | k11 k22 kmm, ki R, i 1, 2,, m },
构成向量空间 V 的一组基。
向量组的最大无关组不唯一, 但所含向量个数相同。 向量空间的基不是唯一的, 但基所含向量的个数相同。
一个向量空间的维数是 唯一的。
例
全体 n 维向量构成向量空间Rn。
空间Rn 的任何一个基所含向量的个数均为n。
e1 (1, 0, , 0, 0 ) , e2 ( 0, 1,, 0, 0 ) , , en ( 0, 0,, 0, 1) 是 Rn 的一组基。该基称为Rn 的标准基。
下的坐标。
n
此时, 记 (x1。 一个向量空间的基不是唯一的, 那么, 同一个向量在
不同的基下的坐标应该 也不相同？
不同基下的坐标之间有 什么关系？ 基与基之间又有什么关系？
先来看一个例题。
例
已知 e1 (1, 0, 0 ) , e2 ( 0,1, 0 ) , e3 ( 0, 0,1)
所以 ,
2 e1 e2 3 e3
2 (e1 e2 ) (2 e1 3e2 2 e3) 3 ( e1 3e2 2 e3) 3e1 14e2 4 e3 ,
故向量 在基 e1, e2, e3 下的坐标为 3 , 14 , 4。
三. 基变换、坐标变换
在以下的叙述中i, i均为列向量，且记
无关组, 则有
1 a111 a122 a1kk , 2 a211 a222 a2kk , , m am11 am22 amkk 。
k11 k22 kmm , 则有 k1(a111 a122 a1kk ) k2 (a211 a222 a2kk ) km (am11 am22 amkk ) (k1a11 k2a21 kmam1)1 (k1a12 k2a22 kmam2 )2 (k1a1k k2a2k kmamk )k h11 h22 hkk (hj R , j 1, 2 ,, k ) 。
则 1. V 是一个向量空间;
2. 向量组1,2,,m 的最大无关组即为V 的基。
证 1. 设 1 , 2 V , i , i , R , i 1, 2,, m :
1 11 22 mm ,
则有
2 11 22 mm ,
1 2 (1 1)1 (2 2 )2 (m m )m
则称1, 2, , n 为向量空间V 的一组基。 i 基向量
基所含向量的个数n 称为向量空间V 的维数, 记为 dim (V ) n 。
由定义可知 : V 中的任何一个向量均可由它的基线性表出。 求向量空间V 的基 , 就是求它的最大无关组。 如果 dim (V ) r , 则 V 中任意r 个线性无关的向量均可
1 1 2 , 2 21 32 23 , 3 1 32 23 ,
求向量 2 1 2 3 3 在基1,2 ,3 下的坐标。
解
1 2 1
(1 2 3 ) (123)1 3 3 ,
0 2 2
A
故由基1,2 ,3 到基 1, 2 , 3 的过渡矩阵为
1 2 1
x1
2
A 1