谈中考图形折叠问题

谈中考图形折叠问题
童桂恒（浙江金华市第四中学 321000）
图形折叠试题是考查学生空间想像能力和动手实践能力的一种题型.它不仅可以考查学生的素质水平，而且也为“注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现空间与图形的教育
价值”起着导向和督促作用 ①
.在近年来全国各地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点问题. 一 处理图形折叠问题的思想方法
图形折叠问题实质是对称问题的应用.在处理图形折叠问题中，关键是抓住下面两点： (1)折叠前后的不变量：被折叠的图形与叠折后所得图形关于折痕所在直线成轴对称.因 此，折叠前后对应的边相等，对应的角相等.
(2)折叠前后的变化量：被折叠的图形与折叠后所得图形的对应顶点关于折痕所在直线对称.因此，折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.
二 常见图形折叠问题的三种类型 1.三角形折叠
三角形折叠有三种形式：主要形式是沿三角形一边上的中线(或高线、角平分线等)折叠；另两种形式是沿平行于底边的一直线折叠和使两顶点重合的折叠.
例1 在△ABC 中，已知AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的1
4
，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于
32
a 2
；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等.其中正确结论的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
(2003年天津市中考题)
分析 题中给出的三个结论，①、②属存在性结论，我们可采用构图法予以解决.
构造图1-(1)，AC ＝ a ，∠A ＝30°，AD ＝DB ＝a ，
则∠ADC ＝∠ACD ＝75°.把△ACD 沿CD 对折得图1-(2).根据折叠前后边角对应相等，在图中1-(2)中有：∠ADB ＝∠CDB-∠ADC ＝105°-75°＝30°＝∠A ，因此AC ∥DB ；又AC ＝DB ＝a ，故知四边形ACDB 是平行四边形，Ｓ重叠部分＝Ｓ△CCD ＝12Ｓ△ACD ＝1
4
Ｓ△ABC ，所以结论①正确.由平行四边形的性质知结论③也正确. 对于结论②可构造图1-(3)，便知结论正确(如图1-(4)).
注释：①《数学教学实施指南》(初中卷)华中师范大学出版社2003年4月第1版第75页
2.四边形折叠
这类问题折叠方式有四种：沿四边形的一条对角线(或一边上高线)折叠，沿平行一边的直线(如对称轴)折叠，沿指定的直线折叠和使两顶点重合的折叠.
例2 在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积.
(2001年上海市中考题)
分析 如图2-(1)，在Rt △ABE 中，∵BE ＝ABcos45∴CE ＝B ′E ＝BE>EC ，∴点B ′在EC 的延长线上(如图2-(2)).
设AB ′与CD 交于点F ，则△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分即为四边形AECF.
∵△ABE ≌△AB ′E ，∴EB ′＝BE CB ′＝EB ′-EC ＝， ∠B ′＝∠B ＝45°， ∠B ′AE ＝ ∠EAB ＝45°.∴∠BAB ′＝90°，
即AB ′⊥AB.∵CD ∥AB ，∴AB ′⊥CD.∴△CFB ′为等腰直角三角形，CF ＝FB CB ′＝∴Ｓ重叠部分＝Ｓ△AEB ′-Ｓ△CFB ′
＝Ｓ△ABE –Ｓ△CFB ′＝
12×2-12
×2
＝例3 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN(如图3-(1))；
第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB ′E(如图3-(2))； 第三步：沿EB ′线折叠得折痕EF(如图3-(3)). 利用展开图3-(4)探究：
(1)△AEF 是什么三角形?证明你的结论；
(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.
(2003年山西省中考题)
分析 (1)由具体的折叠操作过程知：∠1＝∠2＝∠3＝60°，∠4＝∠5＝30°， ∴∠6＝90°-30°-30°＝30°，
∠EAF ＝60°.∴△AEF 是正三角形.
(2)不一定，由上面的分析可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽：长＝AB ∶AF ＝sin60°＝3∶2时正好能折出.如果设矩形的长为a ，宽为b ，可知当b ≤32
a 时，按此法一定能折出等边三角形；当32a<b<a 时，按此法无法折出完整的等边三角形. 例4 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6.
(1)如图4-(1)，在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式. (2)如图4-(2)，在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′. ①求折痕AD 所在直线的解析式；
②再作E ′F ∥AB ，交AD 于点F ，若抛物线y=-
112
x 2
+h 过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数. (3)如图4-(3)，一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记E ″.请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.
(2003年苏州市中考题)
分析 (1)易知OGEC 为正方形，OG ＝GE ＝EC ＝OC ＝6，∴G(6，0)，C(0，6).
∴CG 所在直线的解析式为y=-x+6.
(2) ①设OD ＝m ，则CD ＝6-m ，DE ′＝OD ＝m ，AE ′＝AO ＝10.
由勾股定理得 BE ′＝(AE ′)2-AB 2
＝8，∴CE ′＝2.
又由勾股定理得(CE ′)2
+CD 2
＝(DE ′)2
，即4+(6-m)２
＝m 2
解得m=103
. ∴D(0，103)，A(10，0).∴AD 所在直线解析式为y=-13x+103. ②∵E ′F ∥AB ，设F(2，n)，∵点F 在直线AD 上，∴n=-13×2+103＝8
3
.
∴F(2，83). ∵抛物线y =-112x 2+h 过点F(2，83).∴83＝-1
12×4+h ，解得h=3.
∴抛物线的解析式为y=-112
x 2
+3
联立方程组 213,12110.33y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
消去y 得 x 2
-4x+4=0. ∵△＝0，∴抛物线与直线AD 只有一个交点. (3)猜想：折痕所在直线与抛物线y=-112x 2+3只有一个交点.验证：在图4-(1)中，折痕为CG ，将y=-x+6代入y=-112
x ２
＋３，
得-112
x 2
+x-3=0，∵△＝1-4×(-3)×(-112)＝0. ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=-112
x 2
+3只有一个交点.
3 交互形折叠
它是三角形折叠与四边形折叠的组合.折叠的图形更为复杂，需要分清每一步折叠过程，综合应用勾股定理，相似形(包括全等形)、方程等思想方法.
例5 在长为4宽为3的矩形纸片ABCD 中，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ′位置，BC ′交AD 于G(如图5-(1)).再折一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN(如图5-(2))，EN 交AD 于M.求折痕EN 的长.(1999年济南市中考题改编)
分析 由两点重合折叠过程知：AM ＝DM ＝
12AD ＝2，EN ⊥AD ，MN ＝12AB ＝3
2
.又由沿矩形对角线折叠过程知：∠C ′＝∠C ＝90°，DC ′＝DC ＝3.易证Rt △EMD ∽Rt △GC ′D. ∴
''EM MD GC C D = ，得EM ＝2
3
GC ′.易证Rt △GC ′D ≌Rt △GAB ，∴C ′G ＝AG. 在Rt △DGC ′中，由勾股定理得：C ′G 2
+32
＝(4-C ′G)2
. 解得C ′G ＝
78，∴EM ＝23×78＝712.∴EN ＝EM+MN ＝712+32＝25
12
.
附：如下中考试卷中的折叠问题可供练习用：
1 如图，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ′处， BC ′ 交AD 于E.下列结论不一定成立的是
( )
A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB
C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝AE ED
(2002年黑龙江省中考题)
2 将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( ) (2003年陕西省中考题)
A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形
3 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折，对折时每次折
痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕.那么对折四次可以得到
条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.
(2003年南宁市中考题)
4 已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点在E处，BE与AD相交于点O.写出一组相等的线段(不包括AB＝CD 和AB＝BC).(2003年昆明市中考题)
5 如图，将 ABCD沿AC折叠，点B落在B′处.AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分(即△MAC)是等腰三角形.(2001年北京市崇文区中考题)
6 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠一次(折痕与折叠后得到的图形用虚线表示).将得到的所有的全等三角形(包括实线、虚线在内)用符号写出来.(2002年宁夏回族自治区中考题)
7 已知:如图,矩形AOBC,以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上.点A坐标为(0，3)，∠OAB＝60°,以AB为轴对折后,使C点落在D点处,求D点坐标.(2002年青海省中考题)
8 已知：如图(1).矩形ABCD中，AD>AB，O为对角线的交点，过O作直线分别交BC、A
D于M、N.
(1)求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积.
(2)如图(2)，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合?(只写出满足的条件，不要求证明)
(3)在(2)中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的12，求BM∶MC的值.(2001年江苏省连云港市中考题)。