新人教版九年级数学知识点归纳总结

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第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
一个等式中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为
ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足a≠0.
21.2 降次——解一元二次方程
1.一元二次方程的解法
直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如(x-a)^2=b(a≥0)，(x+a)^2=b(a≥0)类的一元二次方程。

对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为(x-a)^2=b 或(x+a)^2=b的形式，也可以用此法解。

因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解。

要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0，使方程x(x-3)=0的条件是x=0或x-3=0.x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x-3)=0有两个根，而不是一个根。

配方法：任何一个形如x^2+bx的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程。

如解x^2+6x+7=0时，可把方程x^2+6x化为(x+3)^2-2，即22(x+3)^2-2=0，从而得解x=-3±√2.
注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1.(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点。

公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的。

在b^2-4ac≥0的前提下，用公式法解一
元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即
ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)；③计算b^2-4ac的值，若为负数，则方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根。

二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是
常数，a≠0，x为自变量，y为因变量。

其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

二次函数的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。

在解一元二次方程时，可以使用公式法、直接开平方法或因式分解法，根据方程的特征灵活选用方法。

对于一元二次方程的根，有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。

根的情况由判别式△=b²-4ac的值来确定。

当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方
程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。

韦达定理是指如果方程ax²+bx+c的两个根是x1和x2，那么b=-a(x1+x2)，c=a(x1x2)。

应用韦达定理可以求解一元二次
方程的参数系数和另一个根，或者求出含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数。

此外，韦达定理还可以用于求解已知方程两根的一元二次方程，或者已知两数和与积求两数的问题。

在应用一元二次方程时，常常需要解决面积问题、数字问题和平均增长率问题。

解决这些问题的关键步骤是分析题意、设未知数、列方程、解方程和检验答案是否符合题意。

二次函数的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，
顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。

二次函数公式大全
一、定义与定义表达式
二次函数是指函数表达式为y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，其中自变量 x 和因变量 y 存在特定的关系。

二、二次函数的三种表达式
1.一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
2.顶点式：y=a(x-h)²+k（h，k 为顶点坐标）
3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（x1，x2 为与 x 轴交点的横坐标）
三、二次函数的图象
二次函数的图象是一条抛物线。

四、抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=-b/2a，对称轴
与抛物线的顶点 P 的交点是唯一的。

2.抛物线的顶点坐标为 P（-b/2a，(4ac-b²)/4a），当 b=0 时，顶点在 y 轴上，当Δ=b²-4ac=0 时，顶点在 x 轴上。

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a>0 时，抛物线向上开口，当 a<0 时，抛物线向下开口，|a| 越大，开
口越小。

4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 和 b 同号时，对称轴在 y 轴左侧，当 a 和 b 异号时，对称轴在 y 轴右侧。

5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴的交点，抛物线与 y 轴交于点（0，c）。

6.抛物线与 x 轴的交点个数取决于Δ=b²-4ac 的值，当Δ>0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，当Δ=0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，当Δ<0 时，抛物线与 x 轴没有交点。

V。

二次函数与一元二次方程
二次函数（以下简称函数）y=ax²+bx+c，当y=0时，即为关于x的一元二次方程（以下简称方程），即ax²+bx+c=0.此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

例如，若二次函数配方为标准形式，则方程的根为(-
b±√(b²-4ac))/2a。

从函数的角度看一元二次方程：
1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那
么当x=x时，函数的值是0，因此x=x就是方程的一个根。

2.二次函数的图像与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数：
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章：旋转
23.1 图形的旋转
1.图形的旋转
1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度称为旋转角。

本节重点了解旋转、平移性质，以及点的对称变换。

二、知识要点
1.旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。

其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2.旋转性质：
①旋转后的图形与原图形全等。

②对应线段与O形成的角叫做旋转角。

③各旋转角都相等。

3.平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。

其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4.平移性质：
①平移后的图形与原图形全等。

②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）。

③各组对应线段平行且相等。

5.中心对称与中心对称图形
①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。

其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，
能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

其中，这个点叫做该图形的对称中心。

6.轴对称与轴对称图形。

轴对称是一种图形变换，当两个图形沿着某条轴对折后完全重合时，这两个图形就成为轴对称图形。

对称轴是指轴对称图形沿着的那条轴。

轴对称的性质有两个：一是两个图形全等，二是对应点连线被对称轴垂直平分。

轴对称图形是指一个图形沿着某条轴对折后能够完全重合的图形。

点的对称变换包括关于原点、x轴、y轴、直线y=x和直
线y=-x对称的点。

对于关于原点对称的点，它们的坐标符号
相反；对于关于x轴对称的点，它们的坐标中x相等，y的符
号相反；对于关于y轴对称的点，它们的坐标中y相等，x的
符号相反；对于关于直线y=x对称的点，它们的横纵坐标对换；对于关于直线y=-x对称的点，它们的横纵坐标完全相反。

直线y=x是一三象限的角平分线，直线y=-x是二四象限的角平分线。

圆是平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形，或者是平面上一条线段绕它的一端旋转360°留下的轨迹。

圆的圆心可以通过不同的方式确定，比如定义中的定点、绕的那一端的端点、任意两条对称轴的交点或垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点。

圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

圆的直径和半径有无数条，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。

在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一，即d=2r或r=二分之d。

圆的周长是围成圆的曲线的长度，用字母C表示，圆周率是圆的周长与直径的比值。

圆周率是一个固定的数，定义为圆的周长除以直径，用π表示。

它是一个无限不循环小数，通常取近似值3.14进行计算。

直径所对的圆周角是直角，即90度。

同时，这个圆周角所对的弦是直径。

圆的面积可以用公式πr^2表示，其中r为圆的半径，S表示圆所占平面的大小。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦和弦心距都是相等的。

周长可以用不同的公式进行计算，包括已知直径、已知半径、已知周长等情况。

点和圆的位置关系包括在圆内、在圆上和在圆外。

而过三点的圆可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做外心。

直线和圆的位置关系包括相交、相切和相离。

它们的性质和判定可以根据圆的半径和圆心到直线的距离来确定。

两个圆的位置关系包括外离、外切和相交。

根据它们的公共点和圆的位置，可以进行分类和判定。

两个圆如果有唯一的公共点，且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，那么它们是内切的。

如果两个
圆没有公共点，且每个圆的点都在另一个圆的内部，那么它们是内含的。

在本章中，我们将研究关于圆的定义、判定点是否在圆上、与圆有关的角、圆的性质以及三角形的内心、外心、重心、垂心等知识。

圆的定义有两种，一种是线段绕着一个端点旋转一周所形成的封闭曲线，另一种是到定点的距离等于定长的点的集合。

要判定一个点是否在圆上，只需求出该点到圆心的距离，然后与圆的半径进行比较即可。

与圆有关的角包括圆心角、圆周角和弦切角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数，而圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半。

圆具有旋转不变性和轴对称性。

在同圆或等圆中，四组量中的任意一组相等，则它所对应的其他各组也分别相等。

垂径定理及其推论包括弦的垂直平分线过圆心、平分弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两条弧等。

此外，平行弦夹的弧相等。

最后，我们将研究三角形的内心、外心、重心和垂心等概念。

1.三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，表示为“I”。

它是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。

2.三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，表示为“O”。

它是三角形外接圆的圆心。

不同类型的三角形外心位置不同，但都满足到三角形三个顶点的距离相等。

3.三角形重心是三角形三边中线的交点，表示为“G”。

它
到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

4.垂心是三角形三边高线的交点。

5.切线的判定和性质：经过半径的外端并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线；到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于过切点的半径，圆心作圆的切线的垂线经过切点，切点作切线的垂线经过圆心。

从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。

从圆外一
点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

6.圆内接四边形和外切四边形：四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，对角互补，外角等于内对角。

各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，对边之和相等。

7.直线和圆的位置关系：直线和圆没有公共点相离，距离大于圆的半径；直线和圆有唯一公共点相切，距离等于圆的半径；直线和圆有两个公共点相交，距离小于圆的半径。

8.圆和圆的位置关系：两个圆的位置关系可以分为外离、内含、外切和相交四种情况，具体的距离关系可以用圆心距和半径之差来表示。

9.两圆的性质：两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线。

相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点。

10.圆的面积公式为πR²，周长为2πR。

圆心角为n°、半径为R的弧长为nπR/180.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积可以通过将弓形的面积转化为扇形和三角形的面积和差来计算。

具体公式如下：
扇形面积= (n/360)πR²
三角形面积 = (1/2)R²sin(n°)
弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积
圆柱的侧面积展开图是一个矩形，其中底边长为圆柱底面圆的周长，高为圆柱的高。

若圆柱的底面半径为R，高为h，
则圆柱的侧面积为2πRh，体积为πR²h。

圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径为圆锥的母线长l，弧长为底面圆的周长2πR。

若圆锥的底面半径为R，母线长为l，高为h，则圆锥的侧面积为πRl，全面积为πRl +
πR²。

需要注意的是，母线长、圆锥高和底面圆的半径之间有
特定的关系。

在计算圆锥和圆柱的面积和体积时，需要掌握圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式，以及扇形和弓形的联系和区别。

对于圆锥的侧面积和全面积的计算，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

在概率初步中，需要了解随机试验、样本空间、随机事件、频率和概率的定义。

随机事件是指在大量重复试验中呈现某种
规律性的事情，而频率是指某个事件在多次试验中出现的次数与总次数的比值。

概率则是指某个事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的数来表示。

1.概率的定义
概率是一个随机事件发生的可能性大小的度量。

在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性，即当试验次数足够大时，频率在一个稳定的值附近波动，规定事件发生的频率的稳定值为概率。

2.古典概率的定义
古典概型是指样本空间是有限集，每个样本点出现的概率相同的随机试验。

在古典概型中，事件A的概率等于A中所
含样本点的个数除以样本空间的样本点个数。

3.几何概率的定义
几何概型是指样本空间是一个区域，每个试验结果的出现具有等可能性的随机试验。

在几何概型中，事件A的概率等
于A的长度（或面积、体积）除以样本空间的长度（或面积、体积）。

4.用列举法求概率
当试验中可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用列举法求解概率。

列举法是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法，但有时需要排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目。

5.用频率估计概率
在大量重复试验中，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。

事件发生的频率与概率有联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率，但频率与概率不一定完全一致。

在实际操作中，我们发现即使多次重复试验，试验结果的频率也可能与理论概率存在一定偏差。

这种偏差是常见的且正常的现象。

同时，由于受到各种因素的影响，试验结果可能并不理想，甚至出现极端情况。

因此，我们需要正确看待这些结果并尝试给出合理的解释。

理解试验结果频率与理论概率偏差的原因是形成随机观念的重要环节。

在实际应用中，随着试验次数的增加，出现极端情况的可能性越来越小。

因此，我们通常通过大量重复试验来获得事件
发生的频率，并将其作为概率的估计值。

试验次数越多，估计结果越可靠。

26.1 反比例函数的定义
一般地，形如y=k(x的倒数)的函数称为反比例函数。

我们可以从以下几个方面理解它：
⑴自变量x是反比例函数的自变量，函数值y是反比例函数的因变量；
⑵自变量x的取值范围为除0以外的实数，函数值y的取值范围为除0以外的实数；
⑶比例系数k是反比例函数定义中的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①y=k(x的倒数) (k≠0)
②y=kx的倒数(k≠0)
③xy=k (k≠0)
⑸函数y=k(x的倒数)与x=k(y的倒数)等价。

因此，当y 是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

当k=0时，y=k(x的倒数)不再是反比例函数。

由于反比例函数y=k(x的倒数)只有一个待定系数，因此，只要有一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.2 用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数y=k(x的倒数)只有一个待定系数，因此，只要有一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.3 反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。

由于反比例函数中自变量x不等于0，函数值y也不等于0，
因此它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支
无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的画法分为三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

在画反比例函数的图像时，我们应注意以下几点：
①列表时应对称选取数值；
②列表时选取的数值越多，画出的图像越精确；
三角形ABC∽三角形A'B'C'，且相似比为
$\dfrac{AB}{A'B'}$。

相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的高、中线、角平分线成比例。

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的高等于斜边的一半，斜边上的中线和高的比为1:2.
27．3相似形的应用
1.测量高度
2.测量距离
3.计算面积
4.图形的放大、缩小
5.图形的旋转
6.建立数学模型
相似三角形的性质
相似三角形的对应线段比等于相似比，包括对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等。

周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

位似图形的性质
如果两个相似图形的每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形就是位似图形，这个点叫做位似中心，相似比又称为位似比。

位似图形的对应点和位似中心在同
一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。

锐角三角函数
锐角角A的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）、余切（cot）以及正割（sec）和余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边。

解直角三角形
勾股定理只适用于直角三角形，即a^2+b^2=c^2，其中a 和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

直角三角形的特征包括两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理。

勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形就是一个直角三角形。

换句话说，在三角形ABC中，如果a²+b²=c²，那么
∠C=90°。

射影定理指的是，在直角三角形ABC中，如果点D是边AB上的一点，那么有AC²=AD×AB，BC²=BD×AB，
CD²=DA×DB。

在直角三角形ABC中，∠C=90°，而∠A、∠B、∠C所
对的边分别为a、b、c。

根据锐角三角函数的定义，XXX= a/c，XXX b/c，XXX a/b，XXX。

特殊角的三角函数值包括30°、45°和60°。

随着角度的变化，它们的三角函数值也会相应地变化。

解直角三角形有三种常见类型：已知一边和一锐角，已知两边，以及直角三角形的应用。

投影是指用光线照射物体，在某个平面上得到的影子。

投影线是指照射光线，投影面是指投影所在的平面。

投影分为平行投影、中心投影、正投影和斜投影。

三视图是指从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

一个物体有六个视图，其中主视图、俯视图和左视图是最常用的。

三视图就是主视图、俯视图和左视图的总称。

视图时，要注意保持比例、位置和尺寸的准确性，以确保整个形体的结构正确无误。

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，以便更好地表达物体的结构形状。

除了三视图外，还有剖面图、半剖面图等辅助图形，可以更加完整地表达物体的结构。

在画三视图时，需要根据形体的投影规律，逐个画出三个视图。

画图的顺序应该是先实后空、先大后小、先轮廓后细节。

同时，要注意保持比例、位置和尺寸的准确性，以确保整个形体的结构正确无误。

在实际的设计和制造中，三视图是非常重要的。

它可以帮助设计师更好地理解和表达物体的结构形状，以便更好地进行设计和制造。

同时，三视图也可以帮助制造工人更好地理解和操作，以确保制造的准确性和质量。

因此，在进行设计和制造时，三视图是必不可少的工具。

三视图的画法需要掌握一定的技巧和方法。

首先要了解形体的投影规律，然后逐个画出三个视图。

在画图时，要注意保持比例、位置和尺寸的准确性，以确保整个形体的结构正确无
误。

同时，还需要注意一些细节问题，如实线和虚线的区分、投影的方向等等。

只有掌握了这些技巧和方法，才能画出准确无误的三视图。