成都市盐道街中学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ） A ．8
B ．8或10
C ．12
D ．10
2．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）
A ．()900180y x x =-<<︒
B ．()1
01802
y x x =<<︒ C ．()3
9001802
y x x =-
<<︒ D ．()2
01803
y x x =
<<︒ 4．已知123
n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4
A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则
CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒
6．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD
ACD
S
S
=．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ）
A ．A
B
C ∠=∠=∠
B ．,60AB A
C B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒
D ．AB AC =，且B C ∠=∠
9．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
10．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝
1
2
BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④
11．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）
A ．A
B 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分AB
C ．C
D 平分ACB ∠
D ．AB 垂直平分CD
12．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点
D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于
1
2
BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）
A ．
125
B ．
95
C ．
85
D ．75
二、填空题
13．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．
15．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．
16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．
17．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）
18．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、
C 重合），连接A
D ，作40AD
E ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________
19．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么
AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．
20．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．
三、解答题
21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．
（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________； （2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．
22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ． （1）求证：BCG DCG ∠=∠．
（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．
23．（1）问题：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，
PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD ∠=︒；
（2）问题：如图②，在三角形ABC 中，45B C ∠=∠=︒，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD ∠=︒．求
AE AP
PC
+的值．
24．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．
25．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(3,1)--．
（1）将ABC 关于x 轴对称得到111A B C △，画出111A B C △，并写出点1B 的坐标； （2）把111A B C △平移，使点B 平移到2(3,4)B ，请作出111A B C △平移后的222A B C △，并写出2A 的坐标；
（3）已知ABC 中有一点(,)D a b ，求222A B C △中的对应点2D 的坐标． 26．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．
（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______） （2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △．
（3）求ABC的面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求a、b的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】
解：∵a2－4a＋4+(b－4)2=0，
∴(a－2)2+(b－4)2=0，
∴a−2＝0，b−4＝0，
解得：a＝2，b＝4，
当a＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a，b的值，再根据a或b作为腰，分类求解．
2．D
解析：D
【分析】
写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．
【详解】
解：根据题意吧，如图：
由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，
易证△ABD≌△ACE；
命题1：若AB=AC，AD=AE，则BD=CE，此命题为真命题；
命题2：若AB=AC，BD=CE，则AD=AE，此命题为真命题；
命题3：若AD=AE，BD=CE，则AB=AC，此命题为真命题．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．
3．B
解析：B 【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式． 【详解】
解：∵AB AC =，ACE x ∠=， ∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ， ∵CE DE =，BCD y ∠= ∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，
∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角， ∴∠ABC=∠D+∠BCD ， 即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ， 即x=2y ，
∴()1
01802y x x =
<<︒， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．
4．A
解析：A 【分析】
根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到． 【详解】
解：A 1与A 2关于x 轴对称，A 2与A 3关于y 轴对称，A 3与A 4关于x 轴对称，A 4与A 5关于y 轴对称，
A 1与A 5是同一个点， 四次一循环， 100÷4=25， A 100与A 4重合， 即第一象限，
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．B
解析：B 【分析】
根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案． 【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒， ∴∠B=∠C=50︒， ∵AD AE =， ∴∠AED=∠ADE=70︒， ∵∠AED=∠C+∠CDE ， ∴CDE ∠=20︒， 故选：B ． 【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ． 【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， CD 是斜边AB 上的高， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∴BC=2BD ＝4， 同理，AB=2BC=8， AD=AB-BD=8-2=6， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于
斜边的一半是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝1
2
AD，
∴BC＝CD+BD＝1
2AD+AD＝
3
2
AD，S△DAC＝
1
2
AC•CD＝
1
4
AC•AD．
∴S△ABC＝1
2AC•BC＝
1
2
AC•
3
2
AD＝
3
4
AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝1
4AC•AD：
3
4
AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
8．D
解析：D
【分析】
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】
A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
9．B
解析：B
【分析】
根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出
a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1=16，进而得出答案．
【详解】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=2，
a3=4a1=22，
a4=8a1=32，
a5=16a1=42，
，
以此类推：a2019=22018．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出
a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
11．D
解析：D
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
∵AC AD
=，BC BD
=，
∴AB垂直平分CD，
故D正确，A、B错误，
OC不平分∠ACB，故C错误，
故选：D．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
12．A
解析：A
【分析】
根据作图过程可得AP 是BD 的垂直平分线，根据勾股定理可得BC 的长，再根据等面积法求出AE 的长即可．
【详解】
解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，
∴BC
5=，
根据作图过程可知：AP 是BD 的垂直平分线，
∴BE ＝DE ，AE ⊥BD ，
∴△ABC 的面积：
12AB•AC ＝12
BC•AE ， ∴5AE ＝12， ∴AE ＝
125
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
二、填空题
13．①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD 根据全等三角形的
解析：①③④
【分析】
根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形，但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD ，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE 和BD 边上的高相等，即CH=CG ，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC ，故可判断④．
【详解】
解：①∵∠ACD=∠BCE ，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE ，
∴∠ACE=∠DCB ，
在△ACE 和△DCB 中
CA CD ACE DCB CE CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DG，故①正确；
②∵AC=DC，BC=EC，∠ACD =∠BCE=60°，
∴△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD=AC=DC，BE=BC=EC，
但AC不一定等于BC，
故AD不一定等于BE，所以②错误；
③∵∠APB是△APD的外角，
∴∠APD=∠ADP+∠DAP
由①得△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
∵AC=DC
∴∠CAD=∠CDA
∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故③正确；
④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，
∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．14．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA为腰或底分别讨论当A是顶角顶点时P是以A为圆心以OA为半径的圆与x轴的交点共有1个当O是顶角顶点时P是以O为圆心以OA为半径的圆与x轴的交点共有2
解析：90°，45°，135°
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．
综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．1【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A（1+m1-n）与点B（-32）关于y轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m＋n）202
解析：1
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．【详解】
解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1-n=2，
∴m=2，n=-1，
∴（m＋n）2020=（2-1）2020=1；
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．16．40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形可知DP＝DE所以可以分两种情况考虑:①点P在AB上；②点P在AC上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形
解析：40°或100°或140°
【分析】
根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可知DP＝ DE，所以可以分两种情况考虑: ①点P在AB上；②点P在AC上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，
∴∠EDB＝20°，
∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
∴DP＝ DE，
①如图，当点P在AB上时，记为P1，
∵DE ＝DP 1，
∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，
∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，
∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴∠BAD ＝∠CAD ，
过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，
∴DG ＝DH ，
在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，
2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），
∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，
∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，
∴∠EDP 2＝140°，
同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），
∴∠EDG ＝∠P 3DH ，
∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，
故答案为：40°或100°或140°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．
17．都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征 解析：都是轴对称图形
【分析】
利用已知图形的特征分别得出其公共特征．
【详解】
解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，
故答案为：都是轴对称图形．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．
18．110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠BAC的度数然后分3种情况：①AD＝AE时②AD＝ED时③当AE＝DE时分别求解即可【详解】∵在△ABC中AB＝AC∠B＝40°∴∠B＝∠C=40
解析：110°或80°
【分析】
根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC的度数，然后分3种情况：①AD＝AE时，②AD＝ED时，③当AE＝DE时，分别求解，即可．
【详解】
∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠B＝∠C=40°
∴∠BAC＝100°，
①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，
②AD＝ED时，∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝1
（180°−40°）＝70°，
2
∴∠BAD＝∠BAC−∠DAE＝100°−70°＝30°，
∴∠BDA＝180°−∠B−∠BAD＝110°，
③当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝100°−40°＝60°，
∴∠BDA＝180°−40°−60°＝80°，
综上所述：∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
故答案是：110°或80°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．
19．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO
解析：>
【分析】
如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知
∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．
【详解】
如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴∠BOE=45︒，
过点C作CF⊥OC，使FC=OC，
∴∠FCO=90︒，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴∠FOC=45︒，
由图知∠FOC>∠COD，
∴∠AOB>∠COD，
故答案为：>．
．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．
20．7【分析】根据已知条件BFCF分别平分∠ABC∠ACB的外角且DE∥BC可得∠DBF=∠DFB∠ECF=∠EFC根据等角对等边得出DF=BDCE=EF根据BD-CE=DE即可求得【详解】解：∵BFC
解析：7
【分析】
根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
【详解】
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴BD-CE=FD-EF=DE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm，
∴EC=5cm，
∴AC=AE+EC=2+5=7cm，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
三、解答题
21．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析
【分析】
（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；
（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，
故答案为：(3，2)；
（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，
连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【点睛】
本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．
22．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．
【分析】
（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；
（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得
1612
GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．
【详解】
解：（1）∵BE 平分ABC ∠，
∴12
ABF CBF ABC ∠=∠=
∠． ∵AB CD ∥，
∴ABF E ∠=∠，
∴CBF E ∠=∠，
∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．
∵F 为BE 的中点，
∴CF 平分BCD ∠，
即BCG DCG ∠=∠．
（2）∵AB CD ∥， ∴180ABC BCD ∠+∠=︒．
∵58ABC ︒∠=，
∴122BCD ︒∠=．
∵CG 平分BCD ∠， ∴1612
GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，
∴111ADE ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE 是等腰三角形是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论；
（2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】
（1）∵BP PC BC +=，BP AB BC +=，
∴PC AB =，
在t R ABP △与t R PCD 中
∵AP PD AB PC =⎧⎨=⎩
， ∴()ABP PCD HL ≅△△，
∴APB PDC ∠∠=，
∴180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，
在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
A PFD ∠∠=，
∵90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，
∴DPF AEP ∠∠=，
在APE 与FDP 中 A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()APE FDP AAS ≅△△，
∴AE PF =，AP DF =，
∵在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，
∴DF FC =，
∴AP FC =，
∴PC PF FC AE AP =+=+， ∴
1AE AP PC
+=．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
24．AC BD ⊥，见解析
【分析】
根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】
解：AC BD ⊥；
证明：∵AB AD =，
∴点A 在BD 的垂直平分线上，
∵CB CD =，
∴点C 在BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分BD ，
即AC BD ⊥．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．
25．（1）图见解析，点B1的坐标为（-2，4）；（2）图见解析，A2的坐标为（2，1）；（3）D2的坐标为（a+5，-b）．
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称得到的对应点，再顺次连接可得；
B，可得平移方式为向右平移5个单位，分别作出△A1B1C1（2）根据B1（-2，4）和2(3,4)
向右平移5个单位所得对应点，再顺次连接可得；
D的坐标．
（3）根据图形的变换方式即可得出D点的变换方式，从而可得点2
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（-2，4）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（2，1）；
（3）△A2B2C2中的对应点D2的坐标为（a+5，-b）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变换—轴对称和平移．理解点的变换和对应图形变换的关系是解题关键．
26．（1）3，−3，1，−1，4，1；（2）见详解；（3）5
【分析】
（1）由关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到答案；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】
（1）∵点A（3，3），B（1，1），C（4，−1）．
∴点A关于x轴的对称点A1（3，−3），B关于x轴的对称点B1（1，−1），C关于x轴的对称点C1（4，1），
故答案为：3，−3，1，−1，4，1；
（2）如图所示，即为所求；
（3）△ABC的面积为：3×4−1
2
×2×2−
1
2
×2×3−
1
2
×1×4＝5．
【点睛】
本题主要考查作图−轴对称变换和点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．。