2020-2021学年广东省广州市禺山高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年广东省广州市禺山高级中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设f1（x）=|x﹣1|，f2（x）=﹣x2+6x﹣5，函数g（x）是这样定义的：当f1（x）≥f2（x）时，g （x）=f1（x），当f1（x）＜f2（x）时，g（x）=f2（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A．a＜4 B．0＜a＜4 C．0＜a＜3 D．3＜a＜4
参考答案：
D
【考点】函数的最值及其几何意义；带绝对值的函数；二次函数的图象；根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】先画出函数g（x）的图象其图象由三段构成，即
再将方程g（x）=a有四个不同的实数解问题转化为函数g（x）的图象与函数y=a的图象有四个不同交点，最后数形结合求得a的取值范围
【解答】解：f1（x）=|x﹣1|，f2（x）=﹣x2+6x﹣5的图象如图，
函数g（x）的图象为两函数中位置在上的部分，即
由得A（4，3），f2（x）=﹣x2+6x﹣5的顶点坐标为B（3，4）
要使方程g（x）=a有四个不同的实数解，即函数g（x）的图象与函数y=a的图象有四个不同交点数形结合可得3＜a＜4
故选D 【点评】本题考察了函数与方程的关系，考察了数形结合的思想方法，解题时要能将代数问题转化为几何问题，运用函数图象解方程或解决根的个数问题
2. 集合,,则( )
A. {1,2}
B. {0,1,2}
C. {x|0≤x＜3}
D. {x|0≤x≤3}
参考答案：
B
3. 若集合，非空集合，若,,则实数a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
4. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）
A．36πB．πC．8πD．π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．
【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．
则点O为其外接球的球心，半径R=2．
∴这个几何体外接球的体积V==π．
故选：B．
5. 若＝1－i，则复数z的共轭复数为（）
A．0 B．1 C．2
D．－2
参考答案：
C
6. 已知、、为非零的平面向量．甲：，乙：，则（）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
参考答案：
答案：B
7. 设函数f（x）＝ax2＋b（a≠0），若f（x）d x＝3f（x0），则x0＝
A．±1 B． C．± D．2
参考答案：C
8. 在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列
③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0
其中正确的判断是（）
A．① B．①②③ C．③④ D．①④
参考答案：
D
9. 从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表
根据上表可得回归直线方程为，则=（）
A ．﹣96.8
B ．96.8 C．﹣104.4 D．104.4
参考答案：
A
【考点】线性回归方程．
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，
【解答】解：由表中数据可得=165，=55，
∵（，）一定在回归直线方程上，
∴55=0.92×167+a，
解得a=﹣96.84．
故选：A．
10. 函数的大致图像为（）．
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合P＝，集合Q＝，若P Q，则
的最小值为
．参考答案：
4
画出集合
P 的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为，所以k＝?1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以，与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．
12. 校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．参考答案：
【知识点】解三角形的实际应用． C8
【答案解析】0.6 解析：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°
∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°
由正弦定理可知，∴AC=sin∠CEA=20米
∴在Rt△ABC中，AB=AC?sin∠ACB=20 ×=30米
∵国歌长度约为50秒，∴
故答案为0.6.
【思路点拨】先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC?sin∠ACB求得答案．
13. 如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.
参考答案：
-3
14. 命题“若
”的否命题为 。

参考答案：
答案:若
15. 下列函数中，值域为（0，＋∞）的是 （ ）
A ．y ＝x 2－x ＋1
B ．y ＝x ＋（x ＞0）
C ．y ＝e sin x
D ．y ＝
参考答案： D 略
16. （5分） 若在区域
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为 ．
参考答案：
【考点】： 几何概型． 【专题】： 计算题．
【分析】： 由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何
量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．
解：满足约束条件 区域为△ABC 内部（含边界），
与单位圆x 2+y 2=1的公共部分如图中阴影部分所示，
则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率概率为
P=
．
故答案为：．
【点评】： 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据
P=
求解．
17. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +2n ,则a 10=____________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
则c=2，a2﹣b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4．
可得椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），
AF所在直线方程y=（x+2），
取x=0，得y=，
∴N（0，），
AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），
半径r=，
圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．
取y=0，得x=±2．
可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
可得在x轴上存在点P（±2，0），
使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．
【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．
19. （本小题满分12分）如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形，其中位于边上，位于边上．已知
米，，设，记，当越大，则污水净化效果越好．
求关于的函数解析式，并求定义域；
求的最大值，并指出等号成立条件？
参考答案：
（1）因为,………………………2分
………………………4分
…………………………5分
，……………………6分
（2）--9分
当时，即时…………………11分
答：当时，的最大值为
3．……………………12分
20. 设函数
（1）求的最小正周期和值域;
（2）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求函数的单调区间。

参考答案：
（1）函数化简为，所以最小正周期，值域为
（２）函数，所以单调增区间为
减区间为
21. （12分）已知二次函数f（x）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣8），（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，3]上的最值；
（3）求不等式f（x）≥0的解集．
参考答案：
考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）待定系数法：设出f（x）的两根式，把点C坐标代入即可求出；
（2）判断f（x）在[0，3]上的单调性，据单调性即可求得最值；
（3）按二次不等式的求解方法易求：变形，求根，据图写解集；
解答：解：（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
因为f（x）的图象过点C（1，﹣8），所以﹣8=a（1+1）（1﹣3），
解得a=2．
所以f（x）=2（x+1）（x﹣3）．
（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=﹣8，
又f（0）=﹣6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．
所以f（x）在[0，3]上的最小值为﹣8，最大值为0．
（3）f（x）≥0即2（x+1）（x﹣3）≥0，
解得x≤﹣1或x≥3．
所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质及二次函数解析式的求解问题，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键．
22. （12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD.
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
参考答案：
（1）因为=2，由余弦定理得=
从而BD2+AD2= AB2，故
BD AD 又PD底面ABCD，可得BD PD
所以BD平面PAD.故PA BD-----6分（2）如图，以D为坐标原点，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，.，，
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即
因此可取=
设平面PBC的法向量为，则，
可取=（0，-1，），则
故二面角A-PB-C的余弦值为. ------------------12分。