福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考
数学（理）试题
一、单选题（共12题；共60分）
1.已知复数满足，则对应点所在的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D。

2.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合定积分计算叶形图的面积，再根据几何概型概率计算公式即可求解
【详解】叶形图的面积为：
故选
【点睛】本题主要考查的是定积分与随机事件的概率，属于基础题
3.等比数列中，，函数，（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将看成两项相乘的形式，即，根据乘法求导公式，可得
，所求，则含x的项均为0，代入数据即可求解。

【详解】由题意知，所以，
令，则= ，故选C
【点睛】本题考查乘法求导法则，等比数列的性质，属中档题。

4.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
x<−2时,f′(x)<0,则f(x)单减；
−2<x<0时,f′(x)>0,则f(x)单增；
x>0时,f′(x)<0,则f(x)单减。

则符合上述条件的只有选项A.
故选A.
5.设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：求出原函数的导函数，由题意得到关于a的不等式组，求解得答案．
详解：由，得，
所以函数f(x)的减区间为（0,4）
∵在区间[a﹣1，a+2]上单调递减，
则∴实数a的取值范围是（1，2]．
故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用,意在考查学生对这些基础知识
的掌握能力. (2) 已知函数的增（减）区间，等价于≥（≤）0.（3）本题主要a-1
＞0，不能取等.如果a=1,区间为[0,3],当取到0时，函数没有意义.
6.若函数的图象与直线相切，则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。

【详解】设切点为，则由题意知即解得或者
故选B
【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：
（1）已知切点求切线方程；
（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；
（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
7.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件求解实数的取值范围即可.
【详解】由题意可得：，
令可得：，
且：，
据此可知函数在区间上的最小值为，
结合恒成立的条件可得：，
求解关于m的不等式可得实数的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查导函数求解函数的最值，恒成立条件的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.已知函数，则（）
A.
有个零点 B. 在上为减函数
C.
的图象关于点对称 D. 有个极值点
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，故可判断无零点，而，
当，可通过的符号确定其单调性，通过考虑与可得极值点的个数.最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于对称.
【详解】因此，故，所以，故判断无零点判断，A错.
又，
当时，故在为减函数，所以B正确.
，因，故函数的图像不关于对称，所以C错误.
考虑及的图像（如图所示），
它们在上有且仅有一个交点，
故在上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故有一个极值点，所以D错.综上，选B.
【点睛】（1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要零点存在定理和函数的单调性来考虑.
（2）如果函数的解析式满足，那么函数的图像关于对称.
9.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
点是曲线上任意一点,
所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，
直线的斜率为1，由，解得或（舍）.
所以曲线与直线的切点为.
点到直线的距离最小值是.选C.
10.直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（）
A. 3
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设，则，所以，所以，
令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数的最小值为，故选D.
考点：导数的应用.
11.若函数对任意都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：确定函数在上是增函数，函数在上为减函数，由题意
设，则等价于函数在上是减函数，从而可求得答案.
详解：由题意，当时，恒成立，此时函数在上是增函数，
有函数在上为减函数，
不妨设，则，
所以，即为，
令，
则等价于函数在上是减函数，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即不小于在内的最大值，
而函数在内是增函数，所以的最大值为，
所以，又，所以实数的取值范围是，故选D.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
12.若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论
详解：由题得：令，故得函数在单调递增，在
单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.
点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出是解题关键.
二、填空题（共4题；共20分）
13.是虚数单位，复数__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简题目所给复数，从而得到正确结论.
【详解】依题意，原式.故填.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及运用，属于基础题.
14.已知函数在处取得极值，则实数_______________．
【答案】
【解析】
由题可得，因为函数在处取得极值，
所以且，解得或．
当时，，不符合题意；
当时，，满足题意．
综上，实数．
15.（e为自然对数的底数）＝____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先应用定积分的性质，将函数分开，之后结合偶函数的性质，再改变积分区间，以及将变量转换，应用公式求得结
果.
【详解】根据定积分的性质，可得
，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关定积分的运算问题，涉及到的知识点有定积分的运算法则以及相应的运算性质以及对应的公式，属于较难题目.
16.定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，则a,b,c的大小关系为__________
【答案】b>a>c
【解析】
【分析】
根据题意，可设函数，求出，结合题意可得，即函数为减函数，进而分析可得
，，，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】根据题意，设函数，则.
∵当时，恒成立
∴，即函数为增函数
∵，，
∵为增函数
∴
故答案为.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“，”和“，
”的联系构造函数.
三、解答题（共6题；共70分）
17.如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点.
（1）求以为切点的切线方程；
（2）若与，两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大．
【答案】(1)；（2）M(，.
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义先求切线的斜率，再写出直线的点斜式方程.(2)先求出，再利用导数求函数的最大值得解.
【详解】因为y=
所以切线方程为
（2）由题得0≤t≤8，当y=0时，0=2tx-
当x=8时，，
.
.
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以当x=时，.此时M(.
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和曲线的切线方程的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.(3)利用导数解应用题的步骤：①读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;②分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系
（注意确定函数的定义域）；③求函数的导数，解方程；④如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，
又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.
18.设函数，若函数在处与直线相切.
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
求出函数的导数，计算，，根据对应关系求出a，b的值即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题．
【详解】的定义域是，
，，
，
故函数在的切线方程是：
，
即，
而，
故，
解得：，；
由，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
，
故．
【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．19.在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：(1)由,将沿折起，使得平面平面,即可得AB垂直于平面BCD.从而得到结论.
(2)依题意,可得,又由平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线与平面所成角的正弦值.等价于求出直线与平面的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.
试题解析：(1)因为平面,平面平面平面所以平面又平面所以.
(2)过点在平面内作,如图.由(1)知平面平面平面所以.以
为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得
.则.设平面的法向量.则即.取得平面的一个法向量.设直线与平面所成角为,则
即直线与平面所成角的正弦值为.
考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.
20.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为．
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用导数求得函数的单调减区间为，单调增区间为．，其中
，由题意知在上恒成立，再利用导数求出≥0，记，再利用导数求得所以，即=0，所以a=1.
【详解】（1）依题意，，令，解得，故，
故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；
故函数的单调减区间为，单调增区间为．
（2），其中，
由题意知在上恒成立，，
由（1）可知，∴，
∴，记，则，令，得．
当变化时，，的变化情况列表如下：
∴，故，当且仅当时取等号，
又，从而得到．
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21.已知函数，．，e为自然对数的底数．
（1）如果函数在(0， )上单调递增，求m的取值范围；
（2）设，，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1），则在上恒成立，转化为，令，求导判断单调性，解
得当x=1时，有最小值为，∴ 。

（2）利用分析法证明原式，即证成立，令，转换为证明
成立，构造新函数，求导，根据单调性即可得证。

【详解】（1），要使在上单调递增，
则在上恒成立. ∴ ，∴ ，
令，当时，，单调递减，
当时，，单调递增∴当x=1时，有最小值为，
∴
（2）要证，只要证，
两边同时除以得：，令得：
所以只要证：，令，
∴ ，，
∴ 即，
∴原不等式成立
【点睛】本题考查导数在求函数单调性上的应用，其中恒成立问题为常考题型。

考查了分析法证明不等式，属中档题。

22.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求函数的定义域，求导后对分成三类，讨论函数的单调区间.（2）由（1）知当且仅当
时，存在两个极值点，同时用韦达定理写出这两个极值点的关系.化简，并利用导数求得上式表达
式的单调区间以及最值，由此证得不等式成立.
【详解】（1）解：的定义域为，.
①当时，对恒成立，则在上单调递增；
②当时，令，得，.
（ⅰ）当时，，
当时，；当时，.
所以在，上单调递增，
在上单调递减.
（ⅱ）当时，，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知当且仅当时，存在两个极值点.
因为的两个极值点，满足，所以，
又，则.
，
令，，则.
因为，所以，，即，所以在上单调递减.
因为，所以，
从而.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式成立的问题，考查了分类讨论的数学思想，属于难题.在求出函数的定义并对函数求导后，要注意通分，因为根据定义域，分母往往是不用考虑的.再根据开口方向和判别式对参数进行分类讨论，由此得到函数的单调区间.。