2020-2021高三数学下期中第一次模拟试题(含答案)(15)

2020-2021高三数学下期中第一次模拟试题(含答案)(15)
一、选择题
1．在ABC ∆中，2AC =,22BC =,135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，
则CD =( ) A ．
25
5
B ．2
C ．3
D ．5
2．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．24
4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ）
A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *
++∈＜.若
8
7
1a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 6．已知01x <<，01y <<，则
()()
()
()2
2
2
2
22221111x y x y x y x y ++--+-+- ）
A 5
B ．2
C 10
D ．237．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
8．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y x x
=+
B ．22
2
y x =
+
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< 9．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3
B ．13+
C ．12+
D ．4
11．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
12．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
二、填空题
13．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当
42b =，2a c =，ABC ∆的面积为______.
14．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.
15．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有114
1
a m n ++≤，则a 的取值范围是______.
16．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为
1
3
的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞
=__________．(*n ∈N ) 17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
18．在
中，若
，则
__________．
19．已知函数()3a
f x x x
=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.
20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22
a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2
n
n n a b n N *=
∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 23．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设23n
n n a b n n
=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
24．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
13
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
26．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】
根据余弦定理得到2222
.22
AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到
AB=25, 再由等面积法得到11225
252222225
CD CD ⨯⨯=⨯⨯⨯⇒=
故答案为A. 【点睛】
这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
Q A
()1B A B =-
∴()x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
Q ()
x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
13
22
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】
由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()83
1222
a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 1
4
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】
∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12
n n d
-+
＜na 1+n 2d ，
整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d
∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0
∵8
7
a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】
本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
2
+≥
x y
，
边分别相加求解。

【详解】
因为22
2x y xy +≥
所以22222)2((2)≥++=++x y xy x y
x y 2
+≥
x y
所以两边分别相加得
当且仅当1
2
x y == 取等号 故选：B
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos
333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 2424442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；
选项B 错误，化简可得2
2
222y x x ⎛⎫=++
⎪+⎭， 由基本不等式可得取等号的条件为2
2
22
x x +=+，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4，故选C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
9．D
解析：D 【解析】
如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故
max 303z =+=，故选D ．
点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】
当2x >时，20x ->，则()()11
22222
f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
二、填空题
13．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正 解析：
5
7
【解析】 【分析】
由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2
cos 3
B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】
由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=， 在三角形中，()sin sin B C A +=，
所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3
B =， 又0B π<<，所以25sin 1cos B B =-= 由余弦定理得2
2
2
4323b a c ac =+-
=，又2a c =，所以有2967
c =.
故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 27737
S ac B c B c B =====⨯=
.
. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
15．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞
【解析】 【分析】
由题意结合均值不等式首先求得
141
m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
由8m n +=可得19m n ++=，故：
()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝
⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n m
n m m
n +=⎧⎪
+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，
故只需
1
1a
≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[
)1,+∞. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目
解析：9
lim 8
n n T →∞=
【解析】 【分析】
构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。

【详解】
构造新数列{}21n a -，该数列首项为1，公比为
1
9
， 则()
111119*********
n n
n n
a q T q
⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪ ⎪-⎛
⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
==- ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-
而1lim 09n
n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故9lim 8n n T →+∞=
【点睛】
本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和，属于中等难度的题目。

17．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
解析：5 【解析】 【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，
所以(1)(1)2,12
5(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩
. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减
少.
18．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：
【解析】 ∵由正弦定理可得
，∴
，令
，
，
（
），利用余弦定理有
，∵
，∴
，故答
案为
.
19．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30
【解析】 【分析】
先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x a ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.
【详解】 ∵()3a
f x x x
=+
+，*x ∈N ， ∴()222
1a x a
f x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意，
当0a >时，令()0f x '=，解得x =
当0x <<
()0f x '<，函数()f x 在区间(上单调递减，
当x ()0f x '>，函数()f x 在区间)
+∞上单调递增，
∴当x =
()f x 取最小值，又*x ∈N ，
∴x ()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值，
∴56<
<或45<≤，
∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354
a a
++≤++， 解得2030a ≤≤.
故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】
本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.
20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得
2sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故
2
sin sin 1sin sin sin sin 3
C C B A C A ===. 故答案为
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
三、解答题
21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）25
52n n
n T +=- 【解析】
试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -
试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127
989992a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
,解得132a d =⎧⎨
=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n n
n b +=
23435792122222
n n n T +=
++++⋯+ ① 23411
3572121
2
22222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：234113111
12122
22
2222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故25
52n n
n T +=-
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】
（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；
（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】
（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628
b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础. 23．(1)()1
=3n n a n N -*
∈ ；(2)31
n
n + ． 【解析】 【分析】 （1）由31=
22n n S a -可得1131
22
n n S a --=-，两式相减可化为()132n n a a n -=≥从而判断出{}n a 是等比数列，进而求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用（1），化简可得
231131n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪++⎝⎭
，利用裂项求和法求解即可. 【详解】 (1)()
*31
=
22
n n S a n N -∈Q ∵， ① 当1131
1,22
n S a ==
-，∴11a =， 当2n ≥，∵1131
22
n n S a --=-， ② ①-②：133
22
n n n a a a -=-，即：()132n n a a n -=≥ 又
，
对都成立，所以是等比数列，
（2）
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；（2）
n k n ++ 1
n k n k
=
+； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中
容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
24．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =. （Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1
121334n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣
⎦. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 25．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得
，
即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13
ab bc ca ++≤
. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥，
所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++，
即222
a b c a b c b c a
++≥++， 所以2221a b c b c a
++≥.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.
【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 26．（Ⅰ） 1
2n n a += （Ⅱ）见解析，234
n n
+
【解析】 【分析】
（1）利用2
342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式．
（2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和． 【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．
由2348,48a a a =+=得2
8848q q +=，解得2q =． 故2
182
2n n n a -+=⨯= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1
441
log log 22
n n n n b a ++===
． 故11
2n n b b --=
，所以{}n b 是首项为1，公差为12
的等差数列， 所以()21131224
n n n n n
S n -+=⨯+⨯=
． 【点睛】
一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+.。