新教材高中数学第四章积化和差与和差化积公式课后素养落实含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学北师大版必修第二册：
课后素养落实(三十) 积化和差与和差化积公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．cos 15° sin 105°＝( ) A ．34＋1
2 B ．34－12 C ．
3
2
＋1 D ．
32
－1 A [cos 15°sin 105°＝1
2[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]
＝12[sin 120°－sin (－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12.] 2．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( ) A ．0 B ．
32 C ．1
2
D ．1 A [原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.] 3．sin 10°＋sin 50°
sin 35°·sin 55°＝( )
A ．14
B ．1
2
C ．2
D ．4
C [原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12
（sin 70° sin 0°）＝2cos 20°cos 20°
＝2.]
4．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2
3，则sin (x ＋y )＝( )
A ．23
B ．－23
C ．13
D ．－1
3
A [因为cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，
所以cos ()x －y ＝1
2，
因为sin 2x ＋sin 2y ＝2
3，
所以2sin ()x ＋y cos ()x －y ＝2
3
，
所以2sin ()x ＋y ·12＝23，所以sin (x ＋y )＝2
3
，故选A.]
5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6cos x 的最大值为( ) A ．12 B ．14 C ．1 D ．2
2
B [y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
6cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6＋x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－x ＝1
2⎣⎡⎦⎤sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝1
4.]
二、填空题
6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________． 2sin 5α2sin α2 [cos 2α－cos 3α＝－2sin 2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α
2
sin ⎝⎛⎭⎫－α2＝2sin 5α2sin α2
.] 7．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋β化为和差的结果是________． 12cos (α＋β)＋12sin (α－β) [原式＝12[sin (π2＋α＋β)＋sin ()α－β]＝12cos (α＋β)＋1
2sin (α－β).]
8.
sin 35°＋sin 25°
cos 35°＋cos 25°
＝________．
33 [原式＝2sin
35°＋25°2cos 35°－25°
22cos 35°＋25°2cos
35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝3
3
.] 三、解答题
9．求下列各式的值： (1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°. [解] (1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝1
2.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×1
2(cos 120°＋cos 26°)
＝2×⎝⎛⎭⎫－12×cos 26°＋⎝⎛⎭
⎫－1
2＋cos 26°
＝－cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26°＝－12
. 10．在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围． [解] 由题意，得
cos A sin C ＝1
2[sin (A ＋C )－sin (A －C )]
＝12[sin (π－B )－sin (A －C )]＝14－1
2sin (A －C ). ∵B ＝30°，
∴－150°＜A －C ＜150°， ∴－1≤sin (A －C )≤1， ∴－14≤14－12sin (A －C )≤34
.
∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－14，3
4.
11．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝( ) A ．－12 B ．12 C ．23 D ．3
2
B [cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°
＝12＋cos 80°－cos 80°＝12.] 12.sin 45°＋sin 15°cos 45°＋cos 15°＝( ) A ． 3 B ．
33 C ．1
2
D ．1 B [原式＝2sin
45°＋15°2cos 45°－15°
2
2cos 45°＋15°2cos
45°－15°2
＝
2sin 30°cos 15°2cos 30°cos 15°
＝tan 30°＝3
3，故选B.]
13．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π
3的最大值是________． 34 [y ＝12⎣⎡⎦⎤cos （2x ＋π）＋cos ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝1
2⎝
⎛⎭⎫－cos 2x ＋cos π3＝14－12cos 2x ， 因为－1≤cos 2x ≤1，所以y max ＝34
.]
14．若sin α＋sin β＝3
3(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan α－β2
的值为________，α－β的值为________．
3
2π
3
[∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0， ∴cos β－cos α>0，
∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数， ∴β<α，0<α－β<π，由原式可知： 2sin α＋β2cos α－β
2
＝
33⎝⎛
⎭
⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan
α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π
3
.]
15．若sin α＋cos β＝13，cos α＋sin β＝2
3，求tan α－β2的值．
[解] 令θ＝π2－β，则sin α＋sin θ＝13，cos α＋cos θ＝2
3 ，
由和差化积公式得，2sin α＋θ2cos α－θ2＝1
3
， 2cos
α＋θ2cos α－θ2＝23
， 两式相除得，tan
α＋θ2＝1
2
， 即tan α＋π
2－β
2＝1
2，
tan (π4＋α－β2)＝1
2，
所以1＋tan
α－β21－tan
α－β2＝1
2，
解得tan α－β2＝－1
3
.。