伸缩变换与极坐标系

那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
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• 思考：我们已经学了直角坐标系和
极坐标系两种刻画点的方式，平面 内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示，那么，他们 之间能不能找到一种关系让他们之 间怎么互相转化呢？
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极坐标与直角坐标的互化公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
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题组一. 如图，写出各点的极坐标：

2

5
4
6

D• E•
•C
•
B
。
O
A
•
x
F
•
4 3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7, 5 ) 3
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思考： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
1、在同一平面直角坐标系中，求满 足下列图形变换的伸缩变换：曲线 4x2 9 y2 36变成曲线x2 y2 1
x1 x 3
y1 y 2
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸
x y 1 缩变换{x 3x 后，曲线C变为曲线 y y
2
2
Байду номын сангаасx2 - 9 y2 9, 求曲线C的方程。
.
归纳总结：
坐标伸长变换
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标 x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'( x' , y' ), 即有{ x' x (2)
y' 3 y 此时，我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸长变换.
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问题分析：
(3)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin2x ?
坐标伸缩变换
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，经过上述
变换后变为点P'( x' ,
y' ),即有{ x'

1 2
x (3)
y' 3 y
此时，我们把(3)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸缩变换.
.
归纳总结：
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一
点，在变换：{ x x( 0) y y( 0)
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
6
6
.
课后练习：
1.在极坐标系中，已知两点A
3，-
3
，B
1，23

求A, B两点间的距离。
2.已知点的极坐标分别为

3，
4
， 2，23
， 4，2
，
3 ，
2
，

2x 3y
x 得 到{
y

1
2 1
x (**)
y
3
将(**)代入2 x 3 y 0, 得到经过伸缩变换
后的方程为x y 0
所以，经过伸缩变换{ x 2 x 后，直线 y 3 y
2 x 3 y 0变成直线x y 0.
.
(2)、将(**)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换 后的图形的方程是x2 y2 1
49 故经过伸缩变换{ x 2x 后，圆x2 y2 1
y 3 y 变成椭圆x2 y2 1
49
.
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
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巩固练习：
练习1：
P'( x' ,
y' ),即有{ x'

1 2
x
(1)
y' y
此时，我们把(1)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
压缩变换。
.
问题分析：
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x ? 如图示：在正弦曲线y sin x上任取一点P( x, y), 保 持 横 坐 标x不 变 ， 将 纵 坐 标y伸 长 原 来 的3倍 ， 则正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x.
设P( x, y)是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的任 意 一 点 ， 先 保 持 纵 坐 标y不 变 ， 将 横 坐 标x缩 为 原 来 的1 ，
2
在 此 基 础 上 再 将 纵 坐 标y伸 长 为 原 来 的3倍 ，
就可以由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin2x
.
归纳总结：
x
极化直：x cos , y sin
.
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式 y
极坐标化直角坐标：
x cos , y sin
O
M(, )

θ
y
xx
直角坐标化极坐标：
一般地，极坐标 (, ) 与
( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
.
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
平面内确定唯一的一点M。
(ρ,θ)…
[2]给定平面上一点M，但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
2曲线x2 y2 2x 0变成曲线x '2 16 y '2 4x ' 0.
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极坐标系
.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针

方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
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二、极坐标系内一点的极坐标的规定
求它们的直角坐标。
3.已知点的直角坐标分别为
3，3
， 0，-
5 3
， 72
,
0
，-2，- 2
3，
求它们的极坐标。
.
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
.
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)

(1, ) 2
(3,0) (3, )
直角坐标 (3, 3 ) ( 3,1) (5,0)
如图示：在正弦曲线y sin x上任取一点P( x, y) 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1 ，此
2 时正弦曲线y sin x就变成曲线y sin 2x.
.
归纳总结：
坐标压缩变换：
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1 ，得到点 2
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称为平面
直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
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例1、在平面直角坐标系中，求下列方程所 对应的图形经过伸缩变换{x 2x 后的图形。
y 3y (1)、2x 3y 0 (2)、x2 y2 1
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解：(1)由伸缩变换{ x y
选修4-4 极坐标与参数方程 平面直角坐标系中的伸缩变换
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思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
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问题分析：
怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y sin2x？
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1.在同一平面直角坐标系中， x1 x
求下列方程所对应的图形经 过伸缩变换后的图形。

3 y 1
2
y
1 x2 y2 1 2 x2 y2 1 3 y2 2x
94
18 12
2.在同一平面直角坐标系中，求满足下 列图形变换的伸缩变换。
1直线x 2 y 2变成直线2x ' y ' 4;
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极

角，有序数对（，）就

叫做M的极坐标。
O
X
指出：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0
， 可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），
可取任意值。