高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数

课时分层训练(二十五)数系的扩充与复数的引入
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]
2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2
D ．3
A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
B [∵z ＝2
1－i
＝
21＋i 1－i 1＋i
＝
2
1＋i
2
＝1＋i ，∴z －＝1－i.] 4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]
5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2
≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2
≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0
C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2
＝a 2
－b
2
＋2ab i ，由z 2
≥0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
ab ＝0，
a 2－
b 2
≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z 为实数，故选项A
为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]
6．若i 为虚数单位，图4­4­3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
图4­4­3
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
D [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴
z
1＋i ＝3＋i 1＋i
＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i
2
＝2－i. ∴表示复数z
1＋i 的点为H .]
7．已知复数z ＝1＋2i 1－i
，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019
＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．i
D ．0
D [z ＝1＋2i 1－i ＝1＋
2i
1＋i 2
＝i ，∴1＋z ＋z 2
＋…＋z
2 019
＝
1×
1－z 2 020
1－z
＝
1－i 2 020
1－i ＝1－i
4×505
1－i
＝0.]
二、填空题
8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2
＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i
为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】
－12 [1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a
5
i.
∵
1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－1
2
.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝x －2
2
＋y 2
＝3，
∴(x －2)2
＋y 2
＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x
max ＝
3
1
＝ 3.] B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－3
2i ，则下列命题中错误的是 ( )
A ．z 2
1＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 3
1－z 3
2＝1
D ．z 1，z 2互为共轭复数
C [依题意，注意到z 2
1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；
注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－3
2i ＝z 2，因此选项D 正确；注
意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 3
2＝1，因
此z 3
1－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]
2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
C [f (n )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，
f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，
∴集合中共有3个元素．]
3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2
－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】
3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，
∴m ≠－1,3＋(m 2
－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2
－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]
4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2
＝________.
12＋3
2
i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。