初三数学开放探索性试题的分类简析

开放探索性试题的分类简析
徐利根 杨惠琴
探索性试题是中考中必考的试题。

它主要考查学生的探索能力。

也可以充分考查考生观察问题、解决问题的能力，是新课程改革的重要标志。

近几年各地中考试题中，这是一个热点问题。

下面我们分类讨论这类问题的具体处理方法，供大家在中考复习时作参考。

一、存在性探索题
这一类试题主要是在某种条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在。

例1. （2007年某某市中考压轴题）已知在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，AB ＝2，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系。

点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线)0a (bx ax y 2≠+=经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 是线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：（1）C （3，3）
（2）x 32x y 2+-=
（3）如图1，由于CD ∥PM ，要探索四边形CDPM 是否为等腰梯形，我们运用点参数的方法表示出点P 、点Q 、点D 的坐标，假设CE ＝QD ，问题转化为二次方程是否有解。

解：因为x 32x y 2+-=的顶点坐标为C （3，3），MP ⊥x 轴，设垂足为N ，设PN ＝t 。

因为∠BOA ＝30°，所以t 3ON =， 所以P （t ,t 3）。

作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E ，把t 3x =代入 ,x 32x y 2+-=
得.t 6t 3y 2+-=
所以M ：)t 6t 3,3(E ),t 6t 3,t 3(22+-+-，同理Q （t ,3），D （1,3）。

要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD ，
即04t 7t 3,1t )t 6t 3(322=+--=+--，
解得1t ,3
4t 21==
（舍去）， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛34,334P 。

所以，存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时，点P 为⎪⎭⎫ ⎝⎛34,33
4。

探索性试题的解法是：我们首先假设满足题意的结论成立，如果经过推理，得出合理的结果，说明的确存在，如果得出矛盾，说明满足题意的结论不成立。

二、猜想型探索题
这类问题一般结论不明确，要求考生猜想，然后再进行计算或证明。

例2. （2007年某某市中考数学试题）如图2，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F 。

（1）求证：AB AC 2
1EF =+
； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动。

如图3，11F A 平分11C BA ∠，
交BD 于点1F ，过点1F 作1111C A E F ⊥，垂足为1E ，请猜想11F E ，11C A 2
1与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想。

（3）在（2）的条件下，当2E C ,3E A 1111==时，求BD 的长。

分析：（1）如图2，只要过点F 作FM ⊥AB 于点M ，证明Rt △AMF ≌Rt △AEF ，结论成立。

（2）探求动点移动的规律，关键是抓住动点移动的过程中哪些是不变的因素。

利用全等三角形这一桥梁，大胆猜想，小心求证。

结论是：AB C A 2
1F E 1111=+仍然成立。

证明：如图3，连接11C F ，过点1F 作B A P F 11⊥于点P ，BC Q F 1⊥于点Q ，11F A 平分11C BA ∠，
所以111PF F E =，
同理11PF QF =，
所以1111QF PF F E ==。

又1111F A F A =，
所以111F E A Rt ∆≌11PF A Rt ∆，
所以P A E A 111=，
同理11C QF Rt ∆≌111C F E Rt ∆，
所以111E C Q C =。

由题意：C C AA 11=，
所以.AB 2BC AB C C BC A A AB BC B A 1111=+=-++=+
,QB QF PF PB 11===
所以,F E 2Q C P A Q C QB PB P A BC B A 11111111++=+++=+
即,F E 2C A F E 2E C E A AB 21111111111+=++=
所以.AB C A 2
1F E 1111=+
下面我们运用数形结合法来解决第（3）小题。

设x PB =，则2C E ,3E A ,x QB 1111===，由（2）可知：
.2E C QC ,3E A P A 111111==== 在11BC A Rt ∆中，2112121C A BC B A =+，
即,5)x 2()x 3(222=+++
,06x 5x 2=-+
所以6x ,1x 21-==（舍去）
所以PB ＝1，所以1F E 11=。

又5C A 11=，由（2）的结论：
AB C A 21F E 1111=+得：2
7AB =， 所以.22
7BD = 本题是一道开放性问题。

在解决后面的小题时，往往要利用前面小题的思想方法和结论。

三、动态探索题
例3. （2007年某某市中考数学试题）如图4，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。

（1）求证：AE ·AB ＝AF ·AC ；
（2）如果将图4中的直线BC 向上平移与圆O 相交得图5，或向下平移得图6，此时，AE ·AB ＝AF ·AC 是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。

分析：（1）如图4，只要连接DE ，
证明Rt △AED~Rt △ADB 得2AD AB AE =⋅，
同理连接DF ，可证Rt △AFD~Rt △ADC ，
得2AD AC AF =⋅，
所以AE ·AB ＝AF ·AC 成立。

（2）虽然BC 的位置改变了，但是BC 在上、下移动的过程中，始终与AD 垂直，故
可判定结论AE ·AB ＝AF ·AC 仍然成立。

现证明如下：
如图5，连接DE ，设BC 与AD 交于点D ′，
因为AD 是圆O 的直径，所以∠AED ＝90°。

又因为∠D ′AB ＝∠EAD ，
所以Rt △AD ′B~Rt △AED ，
所以AE
D A AD AB '=， 即A
E ·AB ＝AD ′·AD ，
同理AF ·AC ＝AD ′·AD ，
所以AE ·AB ＝AF ·AC 。

同理可证，当直线BC 向下平移与圆O 相离如图6时，AE ·AB ＝AF ·AC 仍然成立。

说明：解这类题的关键是：动态问题静态看，紧紧抓住不变量或不变的位置关系。

四、结论探索型
这类问题一般的结构是：给定条件去寻求满足条件的结论。

例4. （2007年市中考数学压轴题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊的四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 、AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，A 2
1EBC DCB ∠=∠=∠。

请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且
A 2
1EBC DCB ∠=∠=∠。

探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

分析：（1）略。

（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）。

四边形DBCE 是等对边四边形。

（3）凭直觉，我们可以判定四边形DBCE 是等对边四边形。

要证明BD ＝CE ，问题可转化为证明包含BD 和CE 的两个三角形全等。

证明：如图7，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点。

因为A 2
1EBC DCB ∠=
∠=∠，BC 为公共边， 所以△BCF ≌△CBG 。

所以BF ＝CG 。

因为∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，
∠BEC ＝∠AEC ＋∠A ，
所以∠BDF＝∠BEC。

可证△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，
所以四边形DBCE是等对边四边形。

特别地，当AB＝AC时，BD＝CE仍然成立。

开放探索型中考试题，一般试题较长，信息量也较大，审题是关键步骤，审题就是要求考生对条件和结论进行全面的认识，弄清问题中所涉及的概念哪些是已知的，哪些是未知的，要求什么，它们之间有什么逻辑联系，有哪些数学模型与它可以联系上，要用到哪些数学思想方法，等等。

它主要是提高学生的分析、发现已知条件和隐含条件以及把它们转化成自己需要的数学素材的能力。

考试中要反复回顾学过的知识，保持良好的心态，对考试要有必胜的信念。

小心谨慎，大胆尝试，细心证明或计算。