2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1

1.2 集合间的关系(精练)
【题组一 集合间的关系】
1．(2021·浙江高一期末)下列表述正确的是( ) A ．{},x x y ⊆ B ．{}{},x x y ∈
C ．{}{},,x y y x ⊆
D ．0φ∈
【答案】C
【解析】对于A ：{},x x y ∈，故A 错误；对于B ：{}
{},x x y ，故B 错误；对于C ：{}{},,x y y x =，故
满足{}{},,x y y x ⊆，故C 正确；对于D ：0∉∅，故D 错误；故选：C 2．(多选)(2021·三亚华侨学校高一开学考试)下列选项正确的是( )
A R
B ．Z Q ∈
C ．0∈∅
D ．{0}∅⊆
【答案】AD
【解析】A R ，故正确； B ．因为,Z Q 都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误； C ．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误； D ．因为空集是任何集合的子集，所以{0}∅⊆，故正确； 故选：AD.
3．(多选)(2021·全国高一单元测试)下列四个选项中正确的是( ) A ．{}{},a b ∅⊆ B ．(){}{},,=a b a b C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅⊆
【答案】CD
【解析】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合
(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.
对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选CD.
4．(2021·全国高一课时练习)(多选题)下列关系中，正确的有 A ．{}0∅
B ．13
Q ∈
C ．Q Z ⊆
D ．{}0∅∈
【答案】AB
【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:
1
3是有理数，故13
Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.
5．(2021·安徽省舒城中学高一开学考试)如果集合S ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N}，T ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z}，则( ) A ．S ⊆T B ．T ⊆S C ．S ＝T D ．S ⊈T
【答案】A
【解析】由{|323(1)1T x x k k ==-=-+，}{|3(1)1k Z x x k ∈==-+，1}k Z -∈， 令1t k =-，则t Z ∈，所以{|31T x x t ==+，}t Z ∈， 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N Z ，故S T ．
故选：A ．
6．(多选)(2021·全国)给出下列关系：其中不正确的是( ) ①{}0∅⊆；②πQ ∈；③{}{}11,2∈；④0N ∉. A ．① B ．② C ．③ D ．④
【答案】BCD
【解析】为π是无理数，而Q 表示有理数集，∴πQ ∉，故②不正确； ③由于{}1和{}1,2均为集合，故{}{}11,2∈不正确，故③不正确； ④因为0是自然数，N 表示自然数集，∴0N ∈，故④不正确. 故选：BCD.
7．(2021·福建)已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( ) A ．M P ⊂≠ B ．P M ≠⊂ C ．M ＝P D ．M ，P 互不包含
【答案】D
【解析】由于集合M 为数集，集合P 为点集，因此M 与P 互不包含，故选D.
8．(2021·上海)下列集合中：①{}0；②{}
2
|1,0,x x n x n R =+<∈；③{}∅；④∅；⑤
{|,}x x n R x R =∈∈；⑥(){}0,0，是空集的为_______(只填序号).
【答案】②④⑤.
【解析】①中有元素0，③中有元素∅，⑥中有元素()0,0，它们都不是空集； ②中元素211x n =+，∴不存在任何一个元素属于集合②，②是空集； 同理，⑤也是空集；∅代表空集，即④是空集. 故答案为：②④⑤. 【题组二 (真)子集的个数】 1．(2021·全国高三二模)集合{}=1,2,3A 的子集个数为( )
A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】由题意得集合A 的子集个数为328=.故选：D
2．(2021·广东)若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是( ) A ．62 B ．32
C ．64
D ．30
【答案】D
【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个.故选：D
3．(2021·陕西西安市)满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 的个数是( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】由题意，可得满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 为：{}1，{}1,2，{}1,3，{1,2，3}，共4个． 故选C ．
4．(2021·海原县)集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个
C ．6个
D ．8个
【答案】B 【解析】
中含有元素的子集有：
，共四个，故选B.
5(2021·河南)已知集合{}{}0,1,2,1,0,1B C ==-，非空集合A 满足,A B A C ⊆⊆，则符合条件的集合A
的个数为( ) A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】A
【解析】根据题意，得()A B
C ⊆，即求B C ⋂的非空子集个数，
{}0,1B C ⋂=，{}0,1的非空子集个数是2213-=，所以集合A 的个数是3．故选：A ．
6．(2021·全国)已知集合{1,2,3,4}P =，则满足{1,2}Q P ⊆⊆的集合Q 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D
【解析】由题题意可知，满足条件的集合Q 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.故选：D ． 7．(2021·湖北荆州市)已知集合{
}
2
20|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为( ) A ．{}1,1- B ．{}1,0,1- C ．{}0,1
D ．∅
【答案】B
【解析】由集合A 仅有两个子集可知集合A 仅有一个元素.
当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集
当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()2
2240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集 综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B
8．(2021·河南)已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆，则符合条件的集合M 有______个．
【答案】7
【解析】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M
⊆的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，
{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个，故答案为：7.
9．(2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪
==+++⎨⎪⎩
∣，x 、y 、z
为非零实数} ，则M 的子集个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【答案】D
【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪
==+++⎨⎪⎩
∣，x 、y 、z 为非零实数
} ，
所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；
当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，
所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选：D. 10．(2021·全国高一课时练习)写出集合{,,}a b c 的所有子集. 【答案】∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c .
【解析】集合{,,}a b c 的所有子集有：∅,{}a ,{}b ,{}c ,{,}a b ,{,}a c ,{,}b c ,{,,}a b c . 【题组三 集合相等】
1．(2021·全国)已知集合}
1,2A =-，{},2B b =，若A B =，则a b +=________.
【答案】1-
【解析】因为集合}
1,2A =
-，{},2B b =，A B =，所以12,
2,b ==-⎪⎩
解得1,
2,
a b =⎧⎨
=-⎩从而1a b +=-.故答案为：1-.
2．(2021·全国)含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，又可表示成{}
2
,,0a a b +，则20212020a b +=_______．
【答案】1-
【解析】由题意,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,,0a a b =+，显然0a ≠，故0a b
=，即0b =，此时{},0,1a {}
2
,,0a a =，故21a =，
且1a ≠，即1a =-.所以()2021
202120202020101a b +=-=-+.
故答案为：1-.
3．(2021·全国)已知集合{}
2
,1M a a =-，{}0,1N =-，若M
N ，则a =______.
【答案】0
【解析】由题可知，{}
2
,1M a a =-，{}0,1N =-，
因为M
N ，而20a ≥，所以20a =，11a -=-，则0a =.故答案为：0.
4．(2021·全国高三专题练习)已知互异实数0mn ≠，集合{}{
}2
2
,,m n m n
=，则m n +=______．
【答案】-1
【解析】互异实数m n ≠,集合{}{
}2
2
,,m n m n
=,
∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠． 由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．
由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-． 故答案为：1-．
5．(2021·全国高一课时练习)已知集合{}{}01
2a b c =,,,,，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________． 【答案】201
【解析】由{a ，b ，}{0c =，1，2}得，a 、b 、c 的取值有以下情况： 当0a =时，1b =、2c =或2b =、1c =，此时不满足题意； 当1a =时，0b =、2c =或2b =、0c ，此时不满足题意；
当2a =时，1b =、0c
，此时不满足题意；
当2a =时，0b =、1c =，此时满足题意；
综上得，2a =、0b =、1c =，代入10010201a b c ++=， 故答案为：201．
【题组四 根据集合关系求参数】
1．(2021·河南开封市)设,a b ∈R ，{}1,A a =，{}1,B b =--，若A B ⊆，则a b -=( ) A ．1- B ．2-
C ．2
D ．0
【答案】D
【解析】由A B ⊆知：A B =，即11
a b =-⎧⎨
-=⎩，得1
1a b =-⎧⎨=-⎩，∴0a b -=.故选：D.
2．(2021·浙江湖州市)已知集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A ．0a ≤ B ．01a ≤≤
C ．12a ≤≤
D ．2a ≥
【答案】D
【解析】因为集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，B A ⊆，所以2a ≥.故选：D
3．(2021·芷江侗族自治县第一中学)设集合}
{
12A x x =<<，}
{
B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．}
{
2a a ≥ B ．}
{
1a a ≤
C ．}
{
1a a ≥
D ．}
{
2a a ≤
【答案】A 【解析】
}{
12A x x =<<，}{
B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：
由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}
{
2a a ≥故选：A
4．(2021·全国高一)设集合{}
13A x x =-≤，{}
,0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由题[]
2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2.故选：B ． 5．(2021·全国高一课时练习)已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．1
{1,}2
B ．1{1,}2
-
C ．1{0,1,}2
D ．1{0,1,}2
-
【答案】D
【解析】当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，
当0a ≠时, 1{}B a
=，由B ⊆A 得
11a =-或12a =，所以1a =-或12
a =， 因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1
{0,1,}2
-故选：D
6．(2021·平潭县新世纪学校高一月考)已知集合{}2,3A =-，{}
1B x mx ==，若B A ⊆，则由实数m 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【答案】A
【解析】因为B A ⊆，
当0m =时，B =∅，符合题意； 当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
， 因为B A ⊆，所以
12m =-或13m =，解得12
m =-或13m =.
故实数m 的所有可能的取值组成的集合为1
1,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 故选：A
7．(2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中)设集合{|231},{|0}A x x B x x a =+>=+，若A B ⊆，则实数a 的最小值是______. 【答案】1
【解析】{|1},{|}A x x B x x a =>-=-,∵A B ⊆,∴1a --,∴1a .故答案为：1
8．(2021·浙江高一期末)已知集合{
}
2
(1)320A x a x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______．
【答案】1
8
-或1
【解析】A 的子集个数为2个，所以集合A 只有一个元素， 即关于x 的方程2
(1)320a x x -+-=只有一个根. 当1a =时，方程320x -=只有一个根2
=
3
x 符合题意； 当1a ≠时，关于x 的方程2
(1)320a x x -+-=只有一个根，只需()()=94
120a ∆---=，
解得：
1=8
a -.
故1
=8
a -
或1. 故答案为：18
-或1.
9．(2021·上海曹杨二中高一期末)已知集合{
}
{}
2
230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞-
【解析】由{
}
2
230M x x x =--<，得{}
13M x x =-<< 又{}
N x x a =>，且M N ⊆，故1a ≤-，故答案为：(,1]-∞-. 10．(2021·全国高三专题练习)设集合1|2432x A x -⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，{}22|3210B x x mx m m =-+--<. (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数 (2)若A B ⊇，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)254个；(2)2m =-或12m -≤≤.
【解析】化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<. (1)
{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，
因为A 的非空真子集数为822254-=个. (2)①2m =-时，B A =Φ⊆；
②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-,因此，要B A ⊆，则只要
2123
6152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨
-≤⎩
，所以m 的值不存在； ③当2m >- 时,()1,21B m m =-+ ，因此，要B A ⊆，则只要12
12215
m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨
+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.
11．(2020·全国高一课时练习)已知集合{1,1,A x
x a a =-≤≤>-∣且}a R ∈，{21,}B y y x x A ==-∈∣，
{}
2,C z z x x A ==∈∣.是否存在a ，使C B ⊆？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】存在，1a = 【解析】存在.证明如下：
假设存在这样的a 值，由于21y x =-且x A ∈,即1x a -≤≤，
321y a ∴-≤≤-.
而2z x =且x A ∈,
∴当10a -<≤时,21a z ≤≤； 当01a <<时,01z ≤≤； 当1a ≥时,20z a ≤≤.
若10a -<≤,要使C B ⊆,则211a -≥,即1a ≥，矛盾. 同理当01a <<时,也不存在a 的值. 而1a ≥时,要使C B ⊆，则有221a a ≤-， 即2
(1)0a -≤，
1a .
故存在1a =，使得C B ⊆.。