带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题

考点4.6 临界与极值问题
考点4.6.1
“放缩圆”方法解决极值问题
1、圆的“放缩”
当带电粒子射入磁场的方向确定，
但射入时的速度
v 大小或磁场的
强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒
子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④.
1.
（多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为
d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q
的微观粒子，沿图示方向以速度
v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界
QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是(
)
A.Bqd m
B.
(2＋
2)Bqd
m
C.
(2－
2)Bqd
m
D.
2Bqd
2m
2.
(2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，
平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直
于纸面向外。

一带电粒子的质量为m
，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为
v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，
速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON
只有一个交点，并从
OM
上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为(
)
A.
mv 2qB
B.
3mv
qB
C.2mv qB
D.
4mv
qB
3.
（多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为
B ，板间距离也为L ，板不带电，现有
质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度
v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
( )
A 、使粒子的速度
v <BqL 4m B 、使粒子的速度
v >
5BqL
4m
C 、使粒子的速度
v >BqL m
D
、使粒子速度BqL 4m <v <
5BqL
4m
4.如图所示，边长为L的正方形ABCD区域内存在磁感应强度方向垂直
于纸面向里、大小为B的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为－q的粒子从AB边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与
AB边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD边射出磁场，则其速度大
小应满足( )
A．v≤2qBL
m
B．v≥
2qBL
m
C．v≤
qBL
m
D．v≥
qBL
m
5.如图所示，条形区域AA′、BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为
B，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d.一束带正电的某种粒子从AA′上的O点以大小不同的速度沿着AA′成60°
角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区
域内的运动时间为定值t0；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′
射出磁场．不计粒子所受重力．求：
(1)粒子的比荷q m；
(2)带电粒子的速度v0和v1.
6.如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子
的质量为m，带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角
为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大
小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大
值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
(1)两板间电压的最大值U m；
(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.
8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平
向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ
区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴
水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。

今在
曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6×10-25 kg，电
荷量e=1.6×10-19C的带正电的粒子2000个(在OP上
按x均匀分布)。

不考虑粒子之间的相互作用，不计
粒子重力，求：
(1)粒子进入Ⅱ区的最大速度值；
(2)粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数；
(3)粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。

考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题2．定圆“旋转”
当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变
化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的．在确定粒子
运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，
作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进
入单边界磁场时的情景．
【例题】如图所示，在0≤x≤3a区域内存在与xy
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0
时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大
量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向
与y轴正方向的夹角分布在0－180°范围内．已知沿
y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界
上P(3a，a)点离开磁场．求：
⑴、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
⑵、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
⑶、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．
9.（多选）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀
强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。

O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。

已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时
间为
T
12
，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为
T
4。

不计粒子的重力及粒子间的相互作用，
则( )
A．粒子射入磁场的速度大小v＝2qBa m
B．粒子圆周运动的半径r＝2a
C．长方形区域的边长满足关系b
a＝3＋1
D．长方形区域的边长满足关系b
a
＝2
10.如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为
屏上的一个小孔．PC与MN垂直．一群质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内．则在屏MN
上被粒子打中的区域的长度为( )
A．2mv
qB
B.
2mv cos θ
qB
B．2mv(1－sin θ)
qB D.
2mv(1－cos θ)
qB
11.(多选)如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方
向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空
间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子
重力。

已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则( BC )
A．能打在板上的区域长度是2d
B．能打在板上的区域长度是(3＋1)d
C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为7πd 6v
D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为πqd 6mv
12.如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.
某一时刻，粒子源S向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经
过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC＝60°，
从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T
6
(T为粒子
在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.T
3
B.
T
2
C.
2T
3
D.
5T
3
13.（多选）如图所示，宽d = 2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向
垂直纸面向内．现有一群带正电的粒子从O点以相同的速
率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周
运动的轨道半径均为r = 5cm，则（）
A．右边界：-4cm＜y≤4cm的范围内有粒子射出
B．右边界：y＞4cm和y＜-4cm的范围内有粒子射出
C．左边界：y＞8cm的范围内有粒子射出
D．左边界：0＜y≤8cm的范围内有粒子射出
14.如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一
点．大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以
相同速率v从P点射入磁场．这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆
弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的1
3
.不计粒子重力和粒子间的相互
作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )
A.
3mv
2qR
B.
mv
qR
C.
3mv
qR
D.
23mv
3qR
15.（多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、
电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在
xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰
好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用
力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( )．
A．粒子的速度大小为2aBq
m
B、粒子的速度大小为
aBq
m
C、与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
D、与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
16.如图所示，在矩形区域abcd内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在ad边
中点O的粒子源，在t＝0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0～180°范围内．已知沿Od方向发射的粒子在t ＝t0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，ab＝1.5L，bc＝3L，粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：
(1)粒子在磁场中的运动周期T；
(2)粒子的比荷；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间．
17.如图所示，在xOy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴
上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v0，在0<y<d的区域内分布有指向y
轴正方向的匀强电场，场强大小为
2
3
2
mv
E
qd
，其中q与m分别为α粒子的电量和质量；
在d<y<2d的区域内分布有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界．ab 为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示．观
察发现此时恰好无粒子打到ab板上．（不考虑α粒子的重力及粒子间的相互作用），求：（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离;
（2）磁感应强度B的大小；
（3）将ab板至少向下平移多大距离才能使所
有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒
子打中的区域的长度．
考点4.6.3 最小磁场区域求解问题
18.一带电粒子，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中
第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．
19.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场
方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点．现有一质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子(不计重力)从O点以初速度v0沿x轴正方向进入
磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角
为θ＝30°，OP＝L，求：
(1)磁感应强度的大小和方向；
(2)该圆形磁场区域的最小面积．
20.如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁
场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场．
（1）求粒子运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，
碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，
之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形
匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场
区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的
磁感应强度大小之比为多少？
（3）粒子从A点出发后，第一次回到A
点所经过的总时间为多少？
21.电子对湮灭是指电子“e﹣”和正电子“e+”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮
灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆
形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为的正电子束从Q点沿与y轴正
向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形
磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P
点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速
度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，
电子的重力不计．求：
（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和
第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积
S．
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22.如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反
的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。

在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
⑴求匀强电场的电场强度E；
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，
使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？
文案大全。