复变期末考试与答案

华南农业大学期末考试试卷（ A 卷）
2005-06学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括
号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）
A. 4+3i
B. -3-3i
C.-1+3i
D.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·
z =Re (z·z ) .arg(3)arg()B i i -=-
.rg(3)arg(3)C A =
2.||D z z z ⋅=
3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部
B.上半平面
C. 角形区域
D.圆的内部
4．积分
||32
2z dz z =-⎰的值为（ ）
A. 8i π
B.2
C. 2i π
D. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）
.z A z e +
.sin z B z e + .tan z C z e + .Re()sin D z z +
6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）
A. cosz 是周期函数
B. z
e 是解析函数
.cos sin iz C e z i z =+
.
||D z =
7．在下列复数中，使得z
e =成立的是（ ）
.ln 224
i
A z i ππ=++
.ln 424
i
B z i ππ=++
.ln 22C z i π=+
.ln 42D z i π=+
8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dz
z
⎰等于（ ）
A ．2π
B ．2πi
C ．0
D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则
21
(1)C dz z i --⎰等于（ ）
A.
i
21
π B. 0 C.i 2π
D.2i π-
10．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n
n i ∞
=+⎛⎫
⎪⎝
⎭∑是绝对收敛的
B.级数
212
(1)n n i
n n ∞
=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2
n n n i n ∞
=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的
D.级数
212
n n i n ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑是收敛的
11．已知3
1z i =+，则下列正确的是（ ）
12
.i
A z e π=
34
.i B z e
π=
712
.i C z e
π=
3.i
D z e π=
12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛
13．0=z 是函数sin z e z z
的（ ）
A.本性奇点
B.一级极点
C.二级极点
D.可去奇点
14．
cos z z
z π
-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-
.B π
C.1
D. -1
15．关于0Im lim z z
z
ω→=下列命题正确的是（ ）
A.0ω=
B. ω不存在
C.1ω=-
D. 1ω=
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
16.sin
cos 33
z i π
π
=+复数的三角形式为____________. 17. 已知2
2
()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =
3z
t te dt ⎰
，则)(z f 等于____________.
19. 幂极数n n
2n 1(-1)z n
∞
=∑的收敛半径为_______.
20.
设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
____________.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]C
I x y ixy dz =-+⎰
22. 设2
()cos 4z
e f z z z
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '
23. 将函数
1
()
(1)(2)
f z
z z
=
--
在点0
=
z处展开为泰勒级数.
24. 将函数
1
1
2
()
(1)
z
e
f z
z
-
=
-
在圆环0|1|
z
<-<∞内展开成洛朗级数.
四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）
25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。

26. 计算 2||2(1)(1)(3)z dz
z z z =-+-⎰.
27. 求函数1,10
()1,
010,t f t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。

28．求函数 ()cos3f t t = 的拉氏变换
复变函数与积分变换期末试卷答案
一、选择题
1．D. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B
二、填空题 16．cos
sin
6
6
z i π
π
=+, 17. 1, 18. 3(1)z z
ze e -+,
19. 1,
20.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]C
I x y ixy dz =
-+⎰
解：设曲线C 的参数方程为:(23)0 1.C z i t t =+≤≤ 2分
1
20
[(2)](266)(23)C
I x y ixy dz t t t i i dt =-+=-++⎰⎰ 2分
1
223100
(46)(23)(23)(22)|t t i i dt i t t i =-++=+-+⎰ 2分
102.i =-- 1分
22. 设2
()cos 4z
e f z z z
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 解：(1)由方程 2
40z -=得2z =±， 2分
故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -. 1分
(2) ()2()cos 4z e f z z z '
⎛⎫''=+ ⎪
-⎝⎭
1分
222(4)(2)sin (4)z z e z e z z z ---=-- 2分
所以222
(42)
()sin .(4)z e z z f z z z -+'=-- 1分
23. 将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在点0=z 处展开为泰勒级数.
解：111
()(1)(2)(2)(1)
f z z z z z =
=+---- 1分
11
(1)
2(1)
2
z z -=
+
-- 1分 00
122n
n n n z z ∞∞
==-⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭∑∑ 3分 100
2n n
n n n z z ∞
∞+==-=+∑∑ 1分
|| 1.z < 1分
24. 将函数1
1
2
()(1)z e
f z z -=
-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.
解：z
e 的泰勒展式为0!
n
z
n z e n ∞
==∑， 2分
且为函数的孤立奇点， 1分
故11
z e
-的罗朗展式为11
11!n
z n z e
n ∞-=⎛⎫
⎪-⎝⎭=∑， 2分 所以1
1220111()(1)(1)!
n
z n e z f z z z n ∞-=⎛⎫ ⎪-⎝⎭==--∑ 1分 2
01
!(1)
n n n z ∞
+==-∑
. 1分
四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）
25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。

解：由柯西－黎曼方程得
2,v u
y x y
∂∂=-=∂∂ 1分 所以0
(,)2()2().x
v x y ydx C y xy C y =
+=+⎰
2分
2()22,v u x C y x y x
∂∂'=+==+∂∂ 2分 所以0
()()2.y
C y C y dx C y C '=
+=+⎰
1分
所以(,)22.v x y xy y C =++
从而2
2
()2(22).f z x y x xy y C i =-++++
又(0) 2.
f Ci i ==所以 2.C = 1分 所以2
2
()2(222).f z x y x xy y i =-++++ 1分
26. 计算
2||2(1)(1)(3)z dz
z z z =-+-⎰.
解：由柯西积分定理得 1分
原式2112|1||1|2
2
11(1)(3)(1)(3)
22(1)(1)z z z z z z i
dz i dz z z ππ-=
+=+---=+-+⎰
⎰ 2分 21
1
1
22(1)(3)(1)(3)
z z i i z z z z ππ=-='⎛⎫=+
⎪
+---⎝⎭
3分
22
1
2222(1)(3)16
z z i
i z z ππ=-=⋅
-
+- 1分 .8
i
π=-
1分
27. 求函数1,10
()1,
010,t f t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。

解： ()()i t F f t e dt ωω+∞
--∞=
⎰
2分
1
10
i t
i t e
dt e dt ωω---=-+⎰⎰ 1分
1
1
i t i t e e
i i ωωω
ω---=
+
- 2分 11i i e e i i ωωωω---=- 2分
22cos .i ωωω
=
- 1分 28．求函数 ()cos3f t t = 的拉氏变换 解：0
()()st F s f t e dt +∞
-=
⎰
2分
330
cos32
it it
st
st
e e e tdt e
dt -+∞
+∞
--+==⎰⎰ 2分 (3)(3)001122
i s t i s t
e dt e dt +∞+∞---=
+⎰⎰ 1分 111233s i s i ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭ 2分 2
.9
s
s =
+ 1分。