高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练19 立体几何

专题强化训练(十九)
1．(2019·江苏南通调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面A1DC；
(2)求证：平面A1DC⊥平面ABC．
[证明](1)如图，连接C1A，交A1C于点E，连接DE.
∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点．
又∵在△ABC1中，D是AB的中点，∴DE∥BC1.
又∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．
(2)连接A1B．∵侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB 为等边三角形．
又∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．
∵AC＝BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．
又A1D∩CD＝D，∴AB⊥平面A1DC．
又AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．
2．(2019·河北衡水中学二模)如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD ＝2.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)求三棱锥B－SAD的体积．
[解](1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD．∵SA＝SC，∴OS⊥AC．
∵DA＝DC，∴DO⊥AC．
又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，
∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，
∴AC⊥SD．
(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC 的中点．
∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.
∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，
∴∠ADC＝90°，且OD＝1.
∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2
∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD．
又∵OS⊥AC，且AC∩DO＝O，∴SO⊥平面ABCD．
∴V B－SAD＝V S－BAD＝1
3S△BAD·SO＝1
3×1
2AD·CD·SO＝
1
3×
1
2×2×2
×3＝
3 3.
3．(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面P AC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．
[解](1)证明：因为P A⊥平面ABCD，
所以P A⊥BD．
又因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC．
又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC．
(2)证明：因为P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以P A⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD．所以AB⊥AE.
又P A∩AB＝A，因为AE⊂平面P AE，
所以AE⊥平面P AB．
所以平面P AB⊥平面P AE.
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面P AE.
取F为PB的中点，取G为P A的中点，连接CF，FG，EG.
则FG∥AB，且FG＝1
．
2AB
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝1
．
2AB
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG.
因为CF⊄平面P AE，EG⊂平面P AE，
所以CF∥平面P AE.
4．(2019·贵州遵义一模)如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：PC⊥AC；
(2)求点B到平面ACM的距离．
[解](1)证明：∵BC⊥PC，AB⊥PC，AB∩BC＝B，
∴PC⊥平面ABC．
又∵AC⊂平面ABC，∴PC⊥AC．
(2)取BC的中点N，连接MN，AN，过点N作NH⊥AC，交AC 的延长线于H，连接MH.过点N作NE⊥MH于E.易知平面ACM即为平面AHM.
由题设，易知MN∥PC，又PC⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC，∴AC⊥MN.
又∵NH⊥AC，MN∩NH＝N，∴AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE.
又NE⊥MH，MH∩AC＝H，∴NE⊥平面ACM.
∴点N到平面ACM的距离为NE＝MN·NH
MH.
∵在△ACN中，AC＝1，CN＝1，∠ACN＝120°，∴由余弦定理得
AN ＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝ 3. ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°，PC ∥MN ，MN ⊥AN ， ∴∠AMN ＝60°，∴MN ＝1.
∵∠ACN ＝120°，∴∠NCH ＝60°，
∴NH ＝32，∴MH ＝
MN 2＋NH 2＝72. ∴NE ＝1×327
2
＝217. 又∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面ACM 的距离是点N
到平面ACM 的距离的2倍，为2217.。