2019-2020学年人教A版高中数学必修五培优新方案浙江专用课件：第一章 1.2 第二课时 三角形

所以 sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcos B－cos∠
ADCsin B＝473×12－17× 23＝3143
第十九页，编辑于星期六：二十三点 三十八分。
(2)在△ABD 中，由正弦定理得
BD＝ABsi·nsi∠n∠ADBBAD＝8×4 31343＝3. 7
在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以 AC＝7.
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2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知 ssiinnAA－ ＋BB＝b＋c c. (1)求角 A 的大小； (2)当 a＝6 时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大 时△ABC 的形状．
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当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝2 3；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12AB·ACsin A＝ 3． 故△ABC的面积为2 3或 3．
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[类题通法]
(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最 简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
BC＝ccooss
BC．
法二：由余弦定理，得cb－－bcccooss AA＝bc－－bb22＋＋22cccb22－－aa22
a2＋c2－b2 a2＋c2－b2
＝b2＋2ac2－c2＝b2＋2aa2c－c2＝ccooss BC．
2b
2ab
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＋1－sin4
A2＝1，sin
A＝187．
答案：187
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考点一 三角形面积的计算
[典例] 已知△ABC中，B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC
的面积．
[解]
由正弦定理，得sin C＝ABAsiCn B＝2
3sin 2
30°＝
23．
∵AB>AC，∴C＝60°或C＝120°．
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[法二 化边为角]
左边＝sin sin
A－sin B－sin
Ccos Ccos
BA＝ssiinnBA＋＋CC－－ssiinn
Ccos Ccos
B A
＝ssiinn
Bcos Acos
CC＝ssiinn
BA＝右边(cos
C≠0)，
∴ab－－ccccooss BA＝ssiinn BA．
[典例] 在△ABC中，求证：ab－ －ccccooss BA＝ssiinn BA． 证明：[法一 化角为边] 左边＝ab－－ccab22＋＋22abcccc22－－ba22＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2 ＝ba＝22RRssiinn BA＝ssiinn BA＝右边， 其中R为△ABC外接圆的半径．∴ab－－ccccooss BA＝ssiinn BA．
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[类题通法] (1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的 已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关 系，求解三角形使问题获解． (2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题， 用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量取 值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识． (3)解三角形时，角的取值范围至关重要．角的取值范围往 往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．
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[类题通法] 1．三角恒等式证明的三个基本原则 (1)统一边角关系． (2)由繁推简． (3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本方法 (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进 行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然 后利用三角函数公式进行恒等变形．
即b2＋c2＝5．
②
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解①②可得b＝1或2． 由正弦定理知sina A＝sinb B，∴sin B＝bsian A＝b2． 当b＝1时，sin B＝12，B＝30°； 当b＝2时，sin B＝1，B＝90°．
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考点二 三角恒等式证明问题
B．3
3 2
C． 3
D．3
解析：选B S△ABC＝12absin C＝12×2×3× 23＝323．
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3．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝ 3，则A的大小为 ( )
A．60°或120°
B．60°
C．120°
D．30°或°
解析：选A 由S△ABC＝12bcsin A得
1
1
(2)S＝12absin C＝__2_b_cs_i_n_A__＝_2_a_c_s_in__B__．
[点睛] 三角形的面积公式S＝12absin C与原来的面积公式S
＝12a·h(h为a边上的高)的关系为： h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
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三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式S＝12absin C适合求任意三角形的面积 (2)三角形中已知三边无法求其面积
(√ ) (×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积
(√ )
解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
算，还能使计算结果更加接近真实值．
(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△
ABC＝
1 2
absin
C＝12bcsin A＝12acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边 或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上 述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
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32＝12×2× 3×sin A，
所以sin A＝ 23， 故A＝60°或120°，故选A．
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4．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sin
A＝________．
解析：由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccos A＝12bcsin A，所以sin A＋4cos A＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A
考点三 与三角形有关的综合问题 [典例] (1)已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形 ABCD 的面积 S. (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 满足(2c－a)cos B－bcos A＝0. ①求角 B 的大小； ②求 3sin A＋sinC－π6的取值范围．
∴△ABC 面积的最大值为 3 3，此时△ABC 为等腰钝角三角形．
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“多练悟·素养提升”见“课时跟踪检测(四)” (单击进入电子文档)
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第二课时 三角形中的几何计算
一、预习教材·问题导入 预习课本P16～18，思考并完成以下问题
(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？ (2)已知三角形的面积如何求其他量？
第一页，编辑于星期六：二十三点 三十八分。
二、归纳总结·核心必记
三角形的面积公式
(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．
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(2)①由正弦定理得：(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0， 即 sin C(2cos B－1)＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝12， ∵B∈(0，π)，∴B＝π3. ②由①知 B＝π3，∴C＝23π－A， ∴ 3sin A＋sinC－π6＝ 3sin A＋cos A＝2sinA＋π6. ∵A∈0，23π，∴A＋π6∈π6，56π，∴2sinA＋π6∈(1,2]， ∴ 3sin A＋sinC－π6的取值范围是(1,2]．
[针对训练]
△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝
3，△ABC的面积S△ABC＝ 23，求边b的长和B的大小． 解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°．
∵S△ABC＝12bcsin A＝ 23，sin A＝ 23，
∴bc＝2．
①
又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2×2×12，
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦
值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一
边的对角，可求得其他边和角，再求面积．
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2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝ ( )
A．
3 2
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[针对训练]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．求证：
cos B cos C
＝
c－bcos b－ccos
AA．
证明：法一：由正弦定理，得cb－－bcccooss
A＝ A
2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
Bcos Ccos
AA＝ssiinnAA＋＋BC－－ssiinn
第十五页，编辑于星期六：二十三点 三十八分。
解：(1)如图，连接 BD，则 S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C.∵A＋C＝180°， ∴sin A＝sin C，
∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝20－16cos A， 在△CDB 中，由余弦定理得 BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C. 又 cos C＝－cos A，∴cos A＝－12，∴A＝120°， ∴S＝16sin A＝8 3.
∴sin B＋2 cos Asin B＝0，
又 sin B≠0，∴cos A＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝23π.
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 三十八 分。
(2)S＝12bcsin A＝ 43bc＝ 43×2Rsin B·2Rsin C ＝ 3R2sin B·sin C ＝ 3R2sin B·sinπ3－B ＝ 23R2sin2B＋π6－ 43R2，B∈0，π3. 由正弦定理 2R＝sina A＝sin623π＝4 3，∴R＝2 3. 当 2B＋π6＝π2，即 B＝C＝π6时，Smax＝3 3，
第十八页，编辑于星期六：二十三点 三十八分。
[针对训练]
1.如图，在△ABC 中，B＝π3，AB＝8，点 D 在
BC 边上，且 CD＝2，cos∠ADC＝17. (1)求 sin∠BAD； (2)求 BD，AC 的长．
解：(1)在△ADC
中，因为
cos∠ADC＝17，所以
sin∠ADC＝4
7
3 .
解：(1)由ssiinnAA－ ＋BB＝b＋c c，
得ssiinnAA－ ＋BB＝sin
B＋sin sin C
C .
又 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
∴sin(A－B)＝sin B＋sin C，
∴sin(A－B)＝sin B＋sin(A＋B)．
∴sin Acos B－cos AsinB＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，