2x2model (1) - 副本

0


所以
du a f a, x * a da a

这个结论称为包络定理（Envelope Theorem） 。考虑行业 A 的成本最小化问题： 问题 2： min C A wLA rK A 满足约束条件： F LA , K A Aw, r
LA , K A
于是
A
令 t 1 ，则
A
即
A MPL A LA MPK A K A
（2）
上式称为 Euler 恒等式（ Euler's Identity） 。 1．一般均衡分析（General Equilibrium Analysis） 考虑行业 A 的利润最大化问题： 问题 1： max A p A F LA , K A wLA rK A
LA , K A
上述问题的一阶条件为
0 A F L A , K A pA w p A MPL A w L A L A
设 LA w, r 和 K A w, r 是最优要素投入（内点解） ，最优要素投入下的产量为
Aw, r F LA w, r , K A w, r
L A L A w, r
K A K A w, r
和
K B K B w, r
LB LB w, r
2）行业间要素市场出清：
K A K B K A w, r K B w, r K
LA LB LA w, r LB w, r L
p A q A w l A w, r q A r k A w, r q A c A w, r q A p B q B w l B w, r q B r k B w, r q B cB w, r q B
rybcszynski定理如果在劳动力禀赋增加之前经济处于一般均衡状态从两个原点出发的两条射线的交点则在劳动力禀赋增加之后产业的原点以及从原点出发的射线都向右平移
国际贸易理论
授课教师：陈谦勤
单个国家的 2 ×2 模型
考虑一个两产品两投入经济。两个行业分别使用两种投入，劳动力（L）和资本（K） ， 生产两种产品 A 和 B。经济体由两个行业和很多消费者构成。两个行业都有很多很小的企 业。 每个消费者和每个企业都是产品和投入的价格接受者。 消费者是全部生产要素的提供者， 消费者既是企业的雇员（获得劳动力报酬） ，又是企业的股东（获得资本报酬） 。假设两种投 入在行业内和行业间自由流动，两种投入都得到充分利用。 表 1：2×2 模型的产品和投入 投入 行业 Labor Capital L KA A A B 要素禀赋 要素价格 要素报酬
把上面两个式子相加得到
0 p A MPL A L A w, r MPK A K A w, r w L A w, r r K A w, r p A Aw, r w L A w, r r K A w, r R A w, r C A w, r A w, r
在行业（企业）扩大生产规模的过程中，根据 Euler 恒等式（2） ：
Aw, r MPL A LA w, r MPK A K A w, r
1 MPL A L A w, r K w, r MPK A A Aw, r Aw, r MPL A l A w, r MPK A k A w, r
3）行业内产品市场出清：
A Aw, r B Bw, r 和 p A Aw, r C A w, r p B Bw, r C B w, r
p A Aw, r pB Bw, r wL rK
4）行业间产品市场和要素市场出清：
根据行业（企业）均衡条件（4） ，单位产品的市场价值等于单位产品的生产成本：
，对任意 t 0
（1）
等产量线凸向原点。
图 1：位似的（Homothetic）等产量线
第 3 章补充材料：2×2 模型 第 1 页，共 8 页
国际贸易理论
授课教师：陈谦勤
在（1）式两端对 t 求导：
d tA F tLA , tK A d tLA F tLA , tK A d tK A dt tLA dt tK A dt F tLA , tK A F tLA , tK A LA KA tLA tK A F LA , K A F LA , K A LA KA LA K A
第 3 章补充材料：2×2 模型
第 3 页，共 8 页
国际贸易理论
授课教师：陈谦勤
L A w, r K w, r r A Aw, r Aw, r L w, r K w, r pB w B r B Bw, r Bw, r pA w
q A F q A l A w, r , q A k A w, r q B Gq B l B w, r , q B k B w, r
由于消费者、劳动者、股东、企业和行业都是价格接受者，他们的个体行为并不会影响要素 的价格 w, r 和产品的价格 p A , pB ，产出 q A 和 q B 的最小成本为
第 3 章补充材料：2×2 模型
第 2 页，共 8 页
国际贸易理论
授课教师：陈谦勤
p A Aw, r w LA w, r r K A w, r p B Bw, r w LB w, r r K B w, r
（4）
两个式子相加：
p A Aw, r p B Bw, r w LA w, r LB w, r r K A w, r K B 种投入的边际产出也保持不变：
所以单位产品的销售收入和生产成本刻画了一般均衡的特征：
p A c A w, r w l A w, r r k A w, r p B c B w, r w l B w, r r k B w, r
A F L A , K A 0 pA r p A MPK A r K A K A
（3）
分别称
A w, r R A w, r C A w, r
C A w, r w L A w, r r K A w, r
ua f a, x* a max f a, x
x


在上式两端对参数 a 求导：
因为函数 f a, x 取极大值的一阶条件为
dua f a, x * a f a, x * a dx * a da a x da f a, x * a x
（5）
定义（产品生产的要素密集度） ：在一般均衡条件下，如果
l A w, r l B w, r ，对任意要素价格 w, r 成立 k A w, r k B w, r
（6）
则称产品 A 的生产相对于产品 B 是劳动密集的 （The production of Good A is relatively more
R A w, r p A Aw, r
是行业 A 最优要素投入下的收入、成本和利润。用最优要素投入分别乘以一阶条件的两个 式子
0 p A MPL A LA w, r w LA w, r 0 p A MPK A K A w, r r K A w, r
LB
L w
产出 产量
A B
价格
PA PB
销售收入
APA BPB
KB
K
r
rK
wL
两个行业的生产函数：
B G LB , K B
A F L A , K A
两种产品的产量都是两种要素的增函数，即两种投入的边际产出都大于等于零。两个行业 的生产技术都规模报酬不变：
tB GtLB , tK B tA F tLA , tK A
问题 2 是问题 1 的对偶问题（Dual Problem） ，问题 1 是原问题（Primal Problem） 。原问题和 对偶问题有相同的解 LA w, r , K A w, r ，对偶问题的值函数（Value Function）为
1 F l A w, r , k A w, r 1 Gl B w, r , k B w, r
单位产出的最小成本为
p A c A w, r w l A w, r r k A w, r p B c B w, r w l B w, r r k B w, r
全部产品的总支出等于全部要素的总收入。
图 2：用 Edgeworth 盒表示的一般均衡 如果要素价格 w, r 和产品价格 p A , pB 不满足一般均衡条件， 则某些个体获得好处另一些个 体遭受损失。 趋利避害的动机驱使全部个体的行为趋于一致， 要素价格和产品价格发生变化， 直到 w, r 和 p A , pB 满足条件 1）行业内要素市场出清：
产出 q A 和 q B 的最大利润为
0 A w, r A w, r q A p A 1 w l A w, r r k A w, r q A 0 B w, r B w, r q B p B 1 w l B w, r r k B w, r q B p B c B w, r q B p A c A w, r q A
记
L A w, r k A w, r Aw, r L w, r l B w, r B k B w, r Bw, r l A w, r K A w, r Aw, r K B w, r Bw, r
分别表示在一般均衡条件下，单位产品的成本最小要素投入。即
第二个等号根据 Euler 恒等式（2） 。上式说明，如果行业 A 的企业都是产出和要素的价格 接受者，则每个企业都只能够获得零利润，产品的销售收入全部用于生产要素的补偿。这个 结论对于行业 B 同样适用。 一般均衡指，产品和要素都处于市场出清（Market Clearing）状态。要素市场出清：在要素 的需求方面，每个企业对要素的需求都得到满足； 在要素的供给方面，全部要素都得到充分 利用。产品市场出清：根据单个行业的均衡条件
第 3 章补充材料：2×2 模型 第 4 页，共 8 页
国际贸易理论
授课教师：陈谦勤
Intensive in factor Labor than the production of Good B） 。 2．比较静态分析（Comparative Static Analysis） 设 f a, x 是关于 x 的函数， a 是参数。假设 x * a 是函数 f a, x 的极大值点。令
单位产出的最大利润为
0 A w, r p A 1 w l A w, r r k A w, r 0 B w, r p B 1 w l B w, r r k B w, r
根据规模报酬不变（1）的假设，分别把两个行业（企业）的投入按比例扩大 q A 倍和 q B 倍， 则行业（企业）的产量为