高一数学系列总复习之《函数下》

高一数学系列总复习之《函数2》
一、内容提示：
1.增函数、减函数的定义: 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)<=f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。

2.函数单调性可以从三个方面理解，这三方面是研究函数单调性的基本途径. （1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义.
3.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数.
偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称f （x ）为偶函数.
4.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.
二、例题分析：
【例1】如果二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间（2
1，1）上是增函数，求f （2）的取值范围.
【例2】 讨论函数f （x ）=1
2
-x ax
（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.
【例3】 定义在R 上的函数y=f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a+b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.
【例4】 函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；
（3）如果(4)1f =，(31)(26)3f x f x ++-≤，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围.
【例5】 已知函数f （x ）=x+x
p
+m （p ≠0）是奇函数.求m 的值.
三、典题精练：
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 ( )
A.y=－x+1
B.y=x
C.y=x 2－4x+5
D.y=x
2
2.有下列几个命题：
①函数221y x x =++在(0,)+∞上不是增函数；②函数y=
1
1
+x 在(,1)(1,)-∞⋃-+∞上是减函数；③函数y=245x x -+的单调区间是[2,)-+∞；④
已知f （x ）在R 上是增函数，若a+b ＞0，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-.其中正确命题的序号是___________________.
3.函数()log (1)x a f x a x =++在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为( ) A. 4
1
B.2
1 C.
2 D.4
4.如果函数22(1)2y x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是
______.
5.函数y=f （x ）的图象与y=2x 的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f （4x －x 2）的递增区间是___________________.
6.函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在
［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是 ( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
7.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x
+11
，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.
8.若f （x ）=1
22
2+-+⋅x
x a a 为奇函数，求实数a 的值.
9.已知f （x ）＝x （
121-x
＋2
1
）. （1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）证明f （x ）＞0.
10.讨论函数f （x ）=2
1++x ax （a ≠21
）在（－2，+∞）上的单调性.
11. 已知函数1()()f x m x x =+的图象与函数11
()()24h x x x
=++的图象关于点A （0，1）
对称.
（1）求m 的值；
（2）若()()4a
g x f x x
=+在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.
12.已知函数f （x ）=|x －a|，2()21g x x ax =++（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等.
（1）求a 的值；
（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；
13. 设函数f （x ）＝
b
x a
x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.
14. 已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a+b ≠0时，有b
a b f a f ++)
()(＞0.
15. 已知函数21
()ax f x bx c
+=
+(,,)a b c Z ∈是奇函数，又(1)2,(2)3f f =<，求,,a b c 的值.
四、方法反馈：
1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如
y=函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不
相交区间的并.
2.函数单调性定义中的x
1、x
2
有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，
即x
1、x
2
是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以
两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x
1＜x
2
.三者缺一不可. 函数单调性的
重要作用在于化归，要重视运用函数的单调性将问题化归转化，培养化归意识.
3.在解决与函数单调性有关的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，但最基本的方法是定义法，几乎所有的与单调性有关的问题都可用定义法来解决.
4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行.
5.证明函数单调性的一般步骤：1°设值；2°作差；3°变形；4°定号；5°结论.
6.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.
7.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.
8.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.
9.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合，应加强知识横向间的联系，注意数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.
标准答案
例题分析：
【例1】 解：二次函数f （x ）在区间（2
1
，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=2
1-a 或与直线x=21重合或位于直线x=21
的左
侧，于是
2
1-a ≤21
，解之得a ≤2，故f （2）≥－2×2+11=7，即f （2）≥7. 评述：由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a+11，求f （2）的取值范围就
是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域. 【例2】 解：设－1＜x 1＜x 2＜1，
则
f
（x 1
）－f （x 2）=
1
2
11-x ax －
1
2
22-x ax =
)
1)(1(2
22
12
2
1212
21--+--x x ax x ax ax x ax =
)
1)(1()1)((2
22
12112--+-x x x x x x a .
∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0， ∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数. 【例3】 （1）证明：令a=b=0，则f （0）=f 2（0）.
又f （0）≠0，∴f （0）=1.
（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.
∴f （－x ）=
)
(1
x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0， ∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.
（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）. ∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1. 又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数. （4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，
∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.
评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2
－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. 【例6】 （1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.
（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.
解得f （－1）=0.
令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.
∴f （x ）为偶函数.
（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.
∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组
⎩⎨
⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤--<>53
7,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－3
1＜x ＜3.
∴x 的取值范围为{x|－3
7≤x ＜－3
1或－3
1＜x ＜3或3＜x ≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反. 【例5】解：（1）∵f （x ）是奇函数，
∴f （－x ）=－f （x ）.
∴－x －
x p +m=－x －x
p
－m. ∴2m=0.∴m=0. 评述：f （x ）=x+
x
p
（p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法. 典题精练： 1. 答案：B
2. 解析：①函数y=2x 2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=
1
1
+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=245x x -+的单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的. 答案：④
3.解析：f （x ）是［0，1］上的增函数或减函数，故f （0）+f （1）=a ，即1+a+log a 2=a ⇔log a 2=－1，∴2=a －1⇔a=2
1. 答案：B
4.解析：对称轴x=1－a ，由1－a ≥4，得a ≤－3. 答案：a ≤－3
5.解析：先求y=2x 的反函数，为y=log 2x ，∴f （x ）=log 2x ，f （4x －x 2）=log 2（4x －x 2）.令u=4x －x 2，则u ＞0，即4x －x 2＞0.∴x ∈（0，4）.又∵u=－x 2+4x 的对称轴为x=2，且对数的底为2＞1，∴y=f （4x －x 2）的递增区间为（0，2）. 答案：（0，2）
6.解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数. 答案：A
7.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg
x
-11
=lg （1－x ）.
答案：lg （1－x ）
8.解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0， 即 a －
122+x +a －1
22
+-x =0，得a=1. 9.（1）解：f （x ）＝x ·)
12(21
2-+x
x ，其定义域为x ≠0的实数. 又 f （－x ）＝－x ·)12(212-+--x x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)
12(21
2-+x x ＝f （x ），
∴f （x ）为偶函数.
（2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0.
又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，
即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0.
10.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则
f （x 1）－f （x 2）=
2
1
212211++-++x ax x ax =
)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax =)
2)(2()
21)((2112++--x x a x x .
∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2，
∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0.
∴当1－2a ＞0，即a ＜2
1时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数.
11.解：（1）设P （x ，y ）为函数h （x ）图象上一点，点P 关于A 的对称点为Q （x ′，y ′），
则有x ′=－x ，且y ′=2－y.
∵点Q （x ′，y ′）在f （x ）=m （x+x
1）上， ∴y ′=m （x ′+
x
'1
）. 将x 、y 代入，得2－y=m （－x －x
1
）. 整理，得y=m （x+x
1）+2.∴m=4
1. （2）∵g （x ）=41（x+
x
a
+1），设x 1、x 2∈（0，2］，且x 1＜x 2，
则g （x 1）－g （x 2）=4
1
（x 1－x 2）·
2
121)
1(x x a x x +-＞0对一切x 1、x 2∈（0，2］
恒成立.
∴x 1x 2－（1+a ）＜0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立. ∴由1+a ＞x 1x 2≥4，得a ＞3. 12.（1）解：由题意，f （0）=g （0），|a|=1，又a ＞0，所以a=1. （2）解：f （x ）+g （x ）=|x －1|+x 2+2x+1.
当x ≥1时，f （x ）+g （x ）=x 2+3x ，它在［1，+∞）上单调递增；
当x ＜1时，f （x ）+g （x ）=x 2+x+2，它在［－2
1
，1）上单调递增. 13.解：函数f （x ）＝
b
x a
x ++的定义域为（－∞，－b ）∪（－b ，＋∞）， 任取x 1、x 2∈（－∞，－b ）且x 1＜x 2， 则f （x 1）－f （x 2）＝
b x a x ++11－b x a x ++22＝)
)(()
)((2112b x b x x x b a ++--. ∵a －b ＞0，x 2－x 1＞0，（x 1＋b ）（x 2＋b ）＞0， ∴f （x 1）－f （x 2）＞0，
即f （x ）在（－∞，－b ）上是减函数.
同理可证f （x ）在（－b ，＋∞）上也是减函数. ∴函数f （x ）=
b
x a
x ++在（－∞，－b ）与（－b ，＋∞）上均为减函数. 14. 解：任取x 1、x 2∈［－1，1］，且x 1＜x 2，则－x 2∈［－1，1］.又f （x ）是奇函数， 于是
f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）+f （－x 2）
=
)
()
()(2121x x x f x f -+-+·（x 1－x 2）.
据已知
)
()
()(2121x x x f x f -+-+＞0，x 1－x 2＜0，
∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）. ∴f （x ）在［－1，1］上是增函数. 15.解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx+c=－（bx+c ）. ∴c=0.
由f （1）=2，得a+1=2b.
由f （2）＜3，得
1
1
4++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ， ∴a=0或a=1.若a=0，则b=2
1
，与b ∈Z 矛盾.∴a=1，b=1，c=0.。