海南省海口市第一职业中学2018-2019学年高三数学文模拟试卷含解析

海南省海口市第一职业中学2018-2019学年高三数学文
模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量。

则是的
A．充分不必要祭件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
2. 中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了
A．60里 B 48里C．36
里 D.24里
参考答案：
C
3. 已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
C
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【分析】由题意可得：，进而得到与||，
||，再由cos＜，＞=可得答案．
【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，
所以cos＜，＞==，
∴的夹角为60°
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题
4. 函数图象的大致形状是
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：由题意得，，所以
，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，
C；令，则，故选B．
考点：函数的奇偶性及函数的图象．
5. 双曲线E：（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为a，则E 的离心率是（）
A．B．C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，
设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，
又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，
则b=，
c==2a，
故双曲线的离心率e==2；
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．
6. 已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，
则它的离心率为（）
A.2
B.
C.
D.
参考答案：
A
7. 若，则cos+sin的值为
A． B． C． D．
参考答案：
答案：C
8. 已知点，向量a=(1,2)，若，则实数y的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
参考答案：
C
,因为，所以，即，选C.
9. 为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )
A．B．16πC．8πD．
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二
∴AD=×=，
在直角三角形OAD中，AD=，OD==1
∴OA==
则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=
故选：D．
【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为_____________．参考答案：
㎝2
略
12. 已知，且，则的最小值是.
参考答案：
8
13. 函数的定义域是．
参考答案：
略
14. 研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为。

根据上述解法，已知
关于的不等式的解集为，则关于的不等式
的解集为 .
参考答案：
15. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_____________
参考答案：
略
16. 已知半径为r的球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱都相切，记球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线的总长度为f（r），则f（1）=．
参考答案：
6π
【考点】球内接多面体．
【分析】由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆，即可得出结论．
【解答】解：由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆，
∴f（1）=6×2π×=6π，
故答案为6π．
17. 某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．
参考答案：
7
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条
件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．
【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：
对于需要求该校招聘的教师人数最多，
令z=x+y?y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，
截距最大时的直线为过?（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．
故答案为：7．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分) 已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2．
(I)求椭圆C的方程及离心率；
(II)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知
解得，． (3)
故椭圆的方程为，离心率为． (5)
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方
19. 如图，已知四面体ABCD中，且DA，DB，DC两两互相垂直，点O是的中心.
（1）过O作，求绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积；
（2）将绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角记为，求的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥
的高的和为，底半径为，代入圆锥的体积公式，即可得到答案．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
利用向量夹角公式求得，令，结合点的轨迹方程求得t的范围，可得结果.
【详解】（1）过作，经计算得，，，由此得，
所以绕直线旋转一周所形成的几何体的体积. （2）过作交于，取AC的中点F，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，所以，
在平面上，点的轨迹方程为，
令，将看作直线y=x+t，
则直线y=x+t与圆有公共点，
则，
所以，于是.
【点睛】本题考查了旋转体的体积，考查了利用空间向量进行异面直线所成的角的求法，
涉及点的轨迹问题，属于中档题．
20. （本小题13分）设为抛物线准线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，设切点为、.
（Ⅰ）直线是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由;
（Ⅱ）当直线的斜率均存在时，求证：直线的斜率的倒数成等差数列.
命题意图:考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等.难题.
参考答案：
（Ⅰ）设，两切点为，
由得，求导得．
∴两条切线方程为①② (2)
分
对于方程①，代入点得，，又,
∴整理得：，
同理对方程②有，即为方程的两根．∴③……………………………………
…4分
设直线的斜率为，，
所以直线的方程为，展开得：
，代入③得：
，∴直线恒过定点．……………… ………………………6分另解：同上得两条切线方程为①②得
∴AB方程为即
∴直线恒过定点．…………………6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）的结论，设，，，
且有，
∴，
∴
=，又∵，
所以.
即直线的斜率倒数成等差数列．…………………13分
另解：设切线方程为
由
因为直线与抛物线相切
所以………………①
知切线MA，MB的斜率是方程①的两个根
所以
又
即直线的斜率倒数成等差数列．…………………13分21. (本小题满分12分)
已知圆C：，直线l1过定点A (1，0).
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1与圆C相交于P、Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1
的方程.
参考答案：
解：(Ⅰ) ①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得. 所求直线l1的方程是或.
（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝时，S取得最大值2.
∴＝∴ k＝1 或k＝7
所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；
（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．利用点到直线的距离公式，根据直l线与圆C相切的性质即可得出a．
（2）由直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：直线
m的斜率为﹣．再利用点斜式可得直线m的方程，把代入可得极坐标方程．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程：3x﹣4y﹣a=0．
圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）
2+y2=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．
∵直l线与圆C相切，∴=2，化为：|a﹣6|=10，解得a=16或﹣4．
（2）∵直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，∴斜率为，∴直线m的斜率为﹣．
∴直线m的点斜式为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为4x+3y﹣7=0，把代入可得极坐标方程：4ρcosθ+3ρsinθ﹣7=0．。