八年级数学下册第一章三角形的证明11等腰三角形教案2北师大版

《等腰三角形》
第1课时 教学目标
1．知识与技能：
经历观察实验、猜想证明，掌握等腰三角形的性质，会运用性质进行证明和计算． 2．过程与方法：
(1)历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维．
(2)经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力． 3．情感态度与价值观：
经历同学间的合作与交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处． 教学重难点
1．教学重点：等腰三角形性质的发现、证明及应用． 2．教学难点：等腰三角形三线合一的发现、证明及应用． 教学过程
一．提出问题，创设情境
1．①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
2．满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
二．导入新课
1．同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A
C
A
B
I
作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连结AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形．
思考：
(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． (2)．等腰三角形的两底角有什么关系？
(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．(它的两个底角有什么关系？) 3．等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的)
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”)． 三．随堂练习 四．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等(等边对等角)，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 第2课时 教学目标
经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程． 教学重难点
教学重点：
等边三角形判定定理的发现与证明． 教学难点：
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理． 教学过程
一、复习知识要点
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪
⎧⎨
⎨⎪
⎩⎩
不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 二．新课学习
1．提出问题，创设情境
(1)把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ (2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
2．导入新课
(1)探索等腰三角形成等边三角形的条件．
如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC(等角对等边)． 又∵∠A=∠C，
∴BC=AC(等角对等边)．
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形． 等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三．随堂练习 四．课时小结
这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用． 第3课时 教学目标
探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 教学重难点
教学重点：
1．等腰三角形的判定定理及其应用．2．探索等腰三角形的判定定理． 教学难点：
等腰三角形的判定定理及其应用． 教学过程
一．提出问题，创设情境 1．等腰三角形有些什么性质呢？
2．满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？ 二．导入新课
A
B
C
A
1．思考：如图，位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
2．在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 例．已知：在△ABC中，∠B=∠C(如图)． 求证：AB=AC ．
证明：作∠BAC的平分线AD ． 在△BAD和△CAD中
12,,,B C AD AD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAD≌△CAD(AAS) ∴AB=AC．
3．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC(如图)． 求证：AB=AC ．
2
1E
D
A
B
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC(等角对等边)． 练习：已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC．求证：AB=AD ．
D
C
A
B
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC(两直线平行，内错角相等)． 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD(等角对等边)．
2
1D C
A
B
三．随堂练习 四．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，•在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力． 第4课时 教学目标
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． 教学重难点
教学重点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明． 教学难点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明及应用． 教学过程
一．提出问题，创设情境
1．用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
二．导入新课
1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
(1)
D C
A
B
(2)
D C
A
B
其中，图(1)是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC ，又因为Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
图(1)中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=12BC ．所以BD=1
2
AB ，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边A B 的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
1
2
AB ． A
D
C
A
B
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．
练习：下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A =30°，立柱BD 、DE 要多长？
D C
A
E
B
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=
12AD ，BC=1
2
AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=
1
4
AB ． 三．随堂练习 四．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，广场中心菱形花坛ABCD 的周长是32米，∠A ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为（ ）
A ．4米
B ．43米
C ．8米
D ．83米
2．如图，□ABCD 中，∠C ＝100°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB 的度数为（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
3．解分式方程
22111
x x x x +-=+-，去分母后正确的是（ ） A ．(1)21x x x --+= B ．2(1)21x x x x --+=- C ．(1)21x x x ---=
D ．2(1)21x x x x ---=-
4．点(2,1)P -关于原点对称点的坐标是（ ） A ．(2,1)-
B ．(2,1)--
C ．(1,2)-
D ．(1,2)-
5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是AD 、AB 边上的中点，连接EF ，若EF=3，OC=2，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．3
B ．3
C ．3
D ．36．一组数据3、7、2、5、8的中位数是( ) ． A ．2 B ．5 C ．7 D ．8
7．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若4AC =，5BD =，3BC =，则BOC ∆的周长为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．8
D ．12
8．一次函数1y kx =-的图象经过点P ，且y 的值随x 的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．()5,3-
B ．()5,1-
C ．()2,1
D ．()1,3-
9．若关于x 的一元二次方程()22
110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．1或-1
D ．
12
10．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数
2
3
2
3
4
1
则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为（ ） A ．1.75，1.70 B ．1.75，1.65
C ．1.80，1.70
D ．1.80，1.65
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．
12．计算3393
a
a a ． 13．在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （km ）与甲车行驶时间t （h ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km ；③乙车出发5
2
7
h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km ．其中正确的是______（填写所有正确结论的序号）．
14．若式子5
x-在实数范围内有意义，则x应满足的条件是_____________.
15．在学校的社会实践活动中，一批学生协助搬运初一、二两个年级的图书，初一年级需要搬运的图书数量是初二年级需要搬运的图书数量的两倍.上午全部学生在初一年级搬运，下午一半的学生仍然留在初一年级（上下午的搬运时间相等）搬运，到放学时刚好把初一年级的图书搬运完.下午另一半的学生去初二年级搬运图书，到放学时还剩下一小部分未搬运，最后由三个学生再用一整天的时间刚好搬运完.如果这批学生每人每天搬运的效率是相同的，则这批学生共有人数为______.
16．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的中位数是_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，且点A坐标为（0，4），BC在x轴正半
轴上，点C在B点右侧，反比例函数
k
y
x
=（x＞0）的图象分别交边AD，CD于E，F，连结BF，已知，BC=k，
AE=3
2
CF，且S四边形ABFD=20，则k= _________．
三、解答题
18．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接BE并延长交AD延长线于点F．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若AB=2BC，连接AE，试判断AE与BF的位置关系，并说明理由．
19．（6分）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求该三角形的腰的长度．
20．（6分）如图所示，在中，点在上，于，且平分，.
求证：.
21．（6分）如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．
22．（8分）列方程解应用题：
某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1
3
，小丽家去年12月的水费是
15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．
23．（8分）已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
(3)若函数的图象平行直线y ＝3x ﹣3，求m 的值；
(4)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．
24．（10分）一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是14． （1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？
25．（10分）已知x=2+3，求代数式2(743)(23)3x x -+--的值.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
分析：由四边形ABCD 为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，将问题转化为求OA ；根据∠BAD=60°得到△ABD 为等边三角形，即可求出OB 的长，再利用勾股定理求出OA 即可求解. 详解：设AC 与BD 交于点O.
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC ，OB=OD ，AB=BC=CD=AD=32÷4=8米.
∵∠BAD=60°，AB=AD ，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD=AB=8米，
∴OD=OB=4米.
在Rt△AOB 中，根据勾股定理得：3，
3.
故选D.
点睛：本题主要考查的是勾股定理，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，由平行线的性质得出∠AEB=∠CBE，∠ABC=80°，由角平分线定义求出∠CBE=40°，即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°-∠C=180°-100°=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=1
2
∠ABC=40°，
∴∠AEB=40°；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．3．D
【解析】
【分析】
两个分母分别为x+1和x2-1，所以最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．
【详解】
方程两边都乘(x+1)(x−1)，
得x(x−1)−x−2=x2−1.
故选D.
【点睛】
本题考查了解分式方程的步骤，正确找到最简公分母是解题的关键.
4．A
【解析】
【分析】
根据原点对称的点的坐标特点，横坐标、纵坐标都互为相反数，求出对称点的坐标
【详解】
由直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标、纵坐标都互为相反数
可得点(2,1)P -关于坐标原点的对称点的坐标为(2,1)-，
故答案为A
【点睛】
本题了考查了关于原点对称的坐标的性质以及求解，掌握原点对称的坐标特点是解题的关键
5．B
【解析】
【分析】
由三角形中位线定理可得AC ⊥BD ，AC=2AO=4，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
∵E 、F 分别是AD 、AB 边上的中点，
∴
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO=2，
∴AC=4，
∵菱形ABCD 的面积=
1
2， 故选B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．
6．B
【解析】分析：先从小到大排列，然后找出中间的数即可.
详解：从小到大排列：2,3,5,7,8，
∴中位数是5.
故选B.
点睛：本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.
7．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质进行计算即可.
【详解】
解：在ABCD 中，BO=12BD=52, CO=12AC=2, ∴BOC ∆的周长为：B0+CO+BC=
52+2+3=7.5 故答案选：B
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和计算法则是解题关键.
8．C
【解析】
【分析】
根据函数图象的性质判断y 的值随x 的增大而增大时，k>0，由此得到结论．
【详解】
∵一次函数y=kx-1的图象的y 的值随x 值的增大而增大，
∴k ＞0，
A 、把点（-5，3）代入y=kx-1得到：k=-45
＜0，不符合题意； B 、把点（5，-1）代入y=kx-1得到：k=0，不符合题意；
C 、把点（2，1）代入y=kx-1得到：k=1＞0，符合题意；
D 、把点（1，-3）代入y=kx-1得到：k=-2＜0，不符合题意；
故选C ．
【点睛】
考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k ＞0是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方程()22110a x x a -++-=得到关于a 的一元二次方程，然后解
此方程即可
【详解】
把x=0代入方程()22110a x x a -++-=得210a -=，解得a=±1．
∵原方程是一元二次方程，所以 10a -≠，所以1a ≠,故1a =-
故答案为B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解． 10．A
【解析】
【分析】
1、回忆位中数和众数的概念；
2、分析题中数据，将15名运动员的成绩按从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的一个数即为运动员跳高成绩的中位数；
3、根据众数的概念找出跳高成绩中人数最多的数据即可.
【详解】
解：15名运动员，按照成绩从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.2，
所以中位数是1.2，
同一成绩运动员最多的是1.1，共有4人，
所以，众数是1.1．
因此，众数与中位数分别是1.1,1.2．
故选A ．
【点睛】
本题考查了中位数和众数的计算，解题的关键是理解中位数和众数的概念，直接根据概念进行解答.此外，也考查了学生从图表中获取信息的能力.
二、填空题
11．(
【解析】
【分析】
根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
【详解】
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…2，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，
∴B122(−1,1),B32,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为2
【点睛】
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.
12．3a
【解析】
分析：先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．
详解：原式333
a a a
=3a
点睛：本题主要考查二次根式的加减，比较简单．
13．②③④．
【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=
5
2
7
（h），∴乙车出发
5
2
7
h时，两车相遇，结论③正确；
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
14．5
x≥
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
在实数范围内有意义，则x-1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
15．8
【解析】
【分析】
设二年级需要搬运的图书为a本，则一年级搬运的图书为2a本，这批学生有x人，每人每天的搬运效率为m，根据题意的等量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】
解：设二年级需要搬运的图书为a本，则一年级搬运的图书为2a本，这批学生有x人，每人每天的搬运效
率为m，由题意得：
111
2 222
11
11 22
mx x m a
xm m a
+⨯
⨯
⎧
⎪⎪
⎨
⎪⨯⨯
⎪
+
⎩
＝
＝
解得：x=8，即这批学生有8人
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，设参数法列方程解实际问题的运用，解答时根据工作量为2a和a建立方程是关键，运用整体思想是难点．
16．7.5
【解析】
【分析】
根据中位数的定义先把数据从小到大的顺序排列，找出最中间的数即可得出答案.
【详解】
解：因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7环、8环，则中位数是
872+=7.5（环）． 故答案为：7.5.
【点睛】
此题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
17．6011
【解析】
【分析】
由题意可设E 点坐标为（4k ，4），则有AE=4
k ，根据AE=32CF ，可得CF=6k ，再根据四边形ABCD 是菱形，BC=k ，可得CD=6CF ，再根据S 菱形ABCD =S 四边形ABFD +S △BCF ，S 四边形ABFD =20，从而可得S 菱形ABCD =24，根据S 菱形ABCD =BC•AO ，即可求得k 的值.
【详解】
由题意可设E 点坐标为（4k ，4），则有AE=4
k ， ∵AE=32
CF ，∴CF=2346k k ⨯=， ∵四边形ABCD 是菱形，BC=k ，
∴CD=BC=k ，
∴CD=6CF ，
∴S 菱形ABCD =12S △BCF ，
∵S 菱形ABCD =S 四边形ABFD +S △BCF ，S 四边形ABFD =20，
∴S 菱形ABCD =24011
， ∵S 菱形ABCD =BC•AO ，
∴4k=
24011
， ∴k=6011
， 故答案为6011. 【点睛】
本题考查了菱形的性质、菱形的面积，由已知推得S 菱形ABCD =6S △BCF 是解题的关键.
三、解答题
18．（1）见解析；（2）AE ⊥BF ，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD=BC ，然后利用AAS 即可证出BC=DF ，从而得出AD=DF ，即可证出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=EF ，然后证出AB=AF ，利用三线合一即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠CBE=∠F ，
∵点E 为CD 的中点，
∴CE=DE ，
在△BCE 和△FDE 中，
CBE F CEB DEF CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△FDE （AAS ），
∴BC=DF ，
∴AD=DF ，
即点D 是AF 的中点；
（2）∵△BCE ≌△FDE ，
∴BE=EF ，
∵AB=2BC ，BC=AD ，AD=DF ，
∴AB=AF ，
∴AE ⊥BF ．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质和三线合一是解决此题的关键．
19．（1）见解析；（2）
503
【解析】
试题分析：()1根据勾股定理的逆定理直接证明即可.
()2设腰长为x ，则12AD x =-，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
试题解析：
（1）∵BC ＝20cm ，CD ＝16cm ，BD ＝12cm ，满足222BD CD BC +=，
根据勾股定理逆定理可知，∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ；
（2）设腰长为x ，则12AD x =-，由上问可知222AD CD AC +=，
即：()2221216x x -+=，解得：腰长503
x cm =. 点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
20．详见解析
【解析】 【分析】 首先根据已知易证，可得是中点，再根据三角形的中位线定理可得．
【详解】
证明：∵，平分，
∴，， 又∵
， ∴
（ASA ），
∴
. 又∵
， ∴. 【点睛】
此题主要考查了三角形中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
21．（1）见解析；（2）24
5
【解析】 【分析】
（1）由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形；
（2）由菱形的性质得出OB ＝12BD ＝4，OC ＝1
2AC ＝3，AC ⊥BD ，由勾股定理得出BC
5，证出△BOC ∽△BED ，得出OC BC
DE BD
=，即可得出结果． 【详解】
（1）证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ， ∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠AOD ＝∠COB ， 在△OAD 和△OCB 中，
OAD OCB OA OC
AOD COB ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAD ≌△OCB （ASA ）， ∴OD ＝OB ，
∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵DB 平分∠ADC ， ∴∠ADB ＝∠CDB ， ∴∠CBD ＝∠CDB ， ∴BC ＝DC ，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴OB ＝
12BD ＝4，OC ＝1
2
AC ＝3，AC ⊥BD ， ∴∠BOC ＝90°，
∴BC
5， ∵DE ⊥BC ，
∴∠E ＝90°＝∠BOC ， ∵∠OBC ＝∠EBD ， ∴△BOC ∽△BED ，
∴OC BC
DE BD
=，即
35
8
DE
=，
∴DE＝24
5
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．2.4元/米3
【解析】
【分析】
利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【详解】
解：设去年用水的价格每立方米x元，则今年用水价格为每立方米1.2x元
由题意列方程得：
3015
5 1.2x x
-=
解得x2
=
经检验，x2
=是原方程的解
1.2x
2.4
=(元/立方米)
答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．
23．(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣1
2
．
【解析】
【分析】
(1)根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；
(2)根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；
(3)根据两函数图象平行，k值相等可得2m+1＝3；
(4)根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．
【详解】
解：(1)∵函数图象经过原点，
∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，
解得：m＝3；
(2)∵函数图象在y轴的截距为﹣2，
∴m ﹣3＝﹣2，且2m+1≠0， 解得：m ＝1；
(3)∵函数的图象平行直线y ＝3x ﹣3， ∴2m+1＝3， 解得：m ＝1；
(4)∵y 随着x 的增大而减小， ∴2m+1＜0， 解得：m ＜﹣12
． 【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y 轴的交点就是y ＝kx+b 中，b 的值，k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降． 24． (1)
3
4
(2)袋中的红球有6只． 【解析】 【分析】
（1）根据取出白球的概率是1-取出红球的概率即可求出；
（2）设有红球x 个，则总求出为（x+18）个，再根据红球的概率即可列出方程，从而解出x. 【详解】
解：（1）()()P 1P =-取出白球取出红球=13
144
-= （2）设袋中的红球有x 只， 则有
1
184
x x =+ 解得6x =
所以，袋中的红球有6只．
25．2 【解析】 【分析】
把2x =+ 【详解】
解：((2
7x 2x -+
((2
7222=-++-+。