2018一轮北师大版理数学课件：第8章 第4节 直线与圆、

|m| (1)A (2)C [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ 2 <1< 5. m ＋1 故直线 l 与圆相交． 法二：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2 ＝5 的内部，∴直线 l 与圆 C 相交．
(2)由圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. ∴圆心为 C(2,1)，半径 r＝2， 由于直线 x＋ay－1＝0 是圆 C： x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴， ∴圆心 C(2,1) 在直线 x＋ay－1＝0 上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． 于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，则|AB|＝6.]
3．(2017· 合肥调研)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的值是( ) 【导学号：57962384】 A．－2 或 12 C．－2 或－12
D
B．2 或－12 D．2 或 12
[ 由 圆 x2 ＋ y2 － 2x － 2y ＋ 1 ＝ 0 ， 知 圆 心 (1,1) ， 半 径 为 1 ， 所 以
2 2
3 52 2 22－ 5 ＝
55 5 .]
5．(2016· 全国卷Ⅰ)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A， B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为________．
4π
[圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
抓 基 础 · 自 主 学 习
第四节
明 考 向 · 题 型 突 破
直线与圆、圆与圆的位置关系
课 时 分 层 训 练
[考纲传真]
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根
据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
直线与圆的位置关系
(1)(2017· 豫南九校联考)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－ 1)2＝5 的位置关系是( A．相交 C．相离 ) B．相切 D．不确定
(2)已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称 轴．过点 A(－4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝( A．2 C．6 B．4 2 D．2 10 )
[规律方法]
1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可
利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与 圆的位置关系； (2)注意灵活运用圆的几何性质， 联系圆的几何特征， 数形结合， 简化运算． 如 “切线与过切点的半径垂直”等． 2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成 直角三角形进行求解．
|3×1＋4×1－b| ＝1，解得 b＝2 或 12.] 2 2 3 ＋4
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为__________．
2 55 [圆心为(2，－1)，半径 r＝2. 5 |2＋2×－1－3| 3 5 圆心到直线的距离 d＝ ＝ 5 ， 1＋4 所以弦长为 2 r －d ＝2
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条 件．( ) )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共 弦所在直线的方程．( )
[变式训练 1] (1)(2017· 山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线 有且只有一条，则该切线的方程为( ) 【导学号：57962385】 A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0
(2)(2016· 全国卷Ⅲ)已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两 点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝__________.
[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2． (教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( A．内切 C．外切 B．相交 D．相离
)
B [两圆圆心分别为(－2,0)， (2,1)， 半径分别为 2 和 3， 圆心距 d＝ 42＋1＝ 17. ∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]
2．圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2>0).
方法 位置 关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何法：圆心距 d 与 r1，r2 代数法：联立两个圆的方程组成 的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r2－r1|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x＋2a 即 x
2 32 |0－a＋2a|2 |0－a＋2a| 2 －y＋2a＝0 的距离 d＝ ，由勾股定理得 ＋ ＝ a ＋2， 2 2 2
解得 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝2，所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π.]
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： d<r ⇔相交；
d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
(2)代数法：联立直线 l 与圆 C 的方程，消去 y(或 x)，得一元二次方程，计 算判别式 Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔ 相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．