专题02 代数和几何的多解问题(原卷版)-2021年中考数学选填压轴题专项复习
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〔3〕逐类逐级进行讨论；
〔4〕综合概括、归纳得出最后结论．
【典例引领】
〔一〕代数多解问题
例1：〔2021浙江绍兴〕有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，假设能用券时用券，这样两人共付款150元，那么所购商品的标价是元．
变式训练：〔2021改编〕某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a＝6米，b＝8米.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充局部是以b为直角边的直角三角形，那么扩建后的等腰三角形花圃的周长为________米.
【强化训练】
1．〔2021·齐齐哈尔〕等腰三角形的两条边长分别为3和4，那么这个等腰三角形的周长是．
7.〔2021·凉山州〕在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3两局部,连接BE,AC相交于F,那么S△AEF∶S△CBF=.
8．〔2021·云南〕四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．假设AB＝6，AC＝2 ，那么DE的长是．
9.〔2021江苏无锡〕二次函数 的图像过点 ，且与 轴交于点 ，点 在该抛物线的对称轴上，假设 是以 为直角边的直角三角形，那么点 的坐标为__________．
12.〔2021·徐州〕函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,假设△ABC为等腰三角形,那么满足条件的点C共有个.
13.〔2021·菏泽〕如图7,直线y=- x-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线AB相切时,点P的坐标是.
16.〔2021江苏盐城〕如图，点 ，直线 轴，垂足为点 其中 ，假设 与 关于直线 对称，且 有两个顶点在函数 的图像上，那么 的值为：_______________________．
【2021年中考数学填选重点题型突破】
专题二：代数和几何的多解问题
【备考指南】
“代数和几何的多解题〞是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一．而此类问题因其能更好的表达学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因无视问题中的“不确定性〞而导致所得出的答案不全，从而失分．
变式训练2：〔2021江西〕矩形纸片 ，长 ，宽 ，折叠纸片，使折痕经过点 ，交 边于点 ，点 落在点 处，展平后得到折痕 ，同时得到线段 ， ，不再添加其它线段，当图中存在 角时， 的长为厘米.
例2：〔2021黑龙江龙东〕在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，连接 ，将 沿 折叠．假设点 对应点 落在矩形 的边上，那么折痕的长为______．
10.〔2021·鄂州〕 如图3,线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°, P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=
.
11.〔2021四川乐山〕我们用符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ．那么：
〔1〕当 时， 的取值范围是______；
〔2〕当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下方．那么实数 的范围是______．
变式训练3：设a,b为非零实数,那么 的所有可能的值为.
〔二〕几何多解问题
例1：〔2021浙江绍兴〕如图，边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．假设BD的长为2 ，那么m的值为．
变式训练1：〔2021青海〕⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，那么 与 之间的距离为________cm．
应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．
分类讨论思想就是人们面比照拟复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决．
其解题步骤为：
〔1〕根据研究的需要确定同一分类标准；
〔2〕恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉〞也不能“附属〞，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏〞；
2.〔2021改编题〕假设关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两个交点,那么a的值为 .
3.〔2021黑龙江哈尔滨〕在 中， ， 为BC边上的高， ，那么BC的长为___________．
4.〔2021·荆州〕如图2,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,过B点的切线交AC的延长线于点D,E为弦AC的中点,AD=10,BD=6,假设点P为直径AB上的一个动点,连接EP,当△AEP是直角三角形时,AP的长为
.
5.(2021·宁波)如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为.
6.〔2021·黑龙江牡丹江鸡西〕在半径为 的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，那么S△ACP＝______________.
例2：____．
变式训练1：〔2021最新改编〕a，b为某直角三角形的两条边的长，且满足 ＋|b2－4|＝0，那么该直角三角形第三边的长为________．
变式训练2：〔2021改编〕一元二次方程x2＋(a－2)x＋3－a＝0的两根是x1、x2，假设x1(x －x )＝0，那么a的值为________．
14．〔2021改编题〕如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．
15.〔2021枣庄育才中学模考〕如图8,直线y=- x+3与坐标轴相交于A,B两点,动点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当点P的运动时间t=秒时,△PAB是等腰三角形.
〔4〕综合概括、归纳得出最后结论．
【典例引领】
〔一〕代数多解问题
例1：〔2021浙江绍兴〕有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，假设能用券时用券，这样两人共付款150元，那么所购商品的标价是元．
变式训练：〔2021改编〕某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a＝6米，b＝8米.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充局部是以b为直角边的直角三角形，那么扩建后的等腰三角形花圃的周长为________米.
【强化训练】
1．〔2021·齐齐哈尔〕等腰三角形的两条边长分别为3和4，那么这个等腰三角形的周长是．
7.〔2021·凉山州〕在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3两局部,连接BE,AC相交于F,那么S△AEF∶S△CBF=.
8．〔2021·云南〕四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．假设AB＝6，AC＝2 ，那么DE的长是．
9.〔2021江苏无锡〕二次函数 的图像过点 ，且与 轴交于点 ，点 在该抛物线的对称轴上，假设 是以 为直角边的直角三角形，那么点 的坐标为__________．
12.〔2021·徐州〕函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,假设△ABC为等腰三角形,那么满足条件的点C共有个.
13.〔2021·菏泽〕如图7,直线y=- x-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线AB相切时,点P的坐标是.
16.〔2021江苏盐城〕如图，点 ，直线 轴，垂足为点 其中 ，假设 与 关于直线 对称，且 有两个顶点在函数 的图像上，那么 的值为：_______________________．
【2021年中考数学填选重点题型突破】
专题二：代数和几何的多解问题
【备考指南】
“代数和几何的多解题〞是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一．而此类问题因其能更好的表达学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因无视问题中的“不确定性〞而导致所得出的答案不全，从而失分．
变式训练2：〔2021江西〕矩形纸片 ，长 ，宽 ，折叠纸片，使折痕经过点 ，交 边于点 ，点 落在点 处，展平后得到折痕 ，同时得到线段 ， ，不再添加其它线段，当图中存在 角时， 的长为厘米.
例2：〔2021黑龙江龙东〕在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，连接 ，将 沿 折叠．假设点 对应点 落在矩形 的边上，那么折痕的长为______．
10.〔2021·鄂州〕 如图3,线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°, P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=
.
11.〔2021四川乐山〕我们用符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ．那么：
〔1〕当 时， 的取值范围是______；
〔2〕当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下方．那么实数 的范围是______．
变式训练3：设a,b为非零实数,那么 的所有可能的值为.
〔二〕几何多解问题
例1：〔2021浙江绍兴〕如图，边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．假设BD的长为2 ，那么m的值为．
变式训练1：〔2021青海〕⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，那么 与 之间的距离为________cm．
应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．
分类讨论思想就是人们面比照拟复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决．
其解题步骤为：
〔1〕根据研究的需要确定同一分类标准；
〔2〕恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉〞也不能“附属〞，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏〞；
2.〔2021改编题〕假设关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两个交点,那么a的值为 .
3.〔2021黑龙江哈尔滨〕在 中， ， 为BC边上的高， ，那么BC的长为___________．
4.〔2021·荆州〕如图2,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,过B点的切线交AC的延长线于点D,E为弦AC的中点,AD=10,BD=6,假设点P为直径AB上的一个动点,连接EP,当△AEP是直角三角形时,AP的长为
.
5.(2021·宁波)如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为.
6.〔2021·黑龙江牡丹江鸡西〕在半径为 的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，那么S△ACP＝______________.
例2：____．
变式训练1：〔2021最新改编〕a，b为某直角三角形的两条边的长，且满足 ＋|b2－4|＝0，那么该直角三角形第三边的长为________．
变式训练2：〔2021改编〕一元二次方程x2＋(a－2)x＋3－a＝0的两根是x1、x2，假设x1(x －x )＝0，那么a的值为________．
14．〔2021改编题〕如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．
15.〔2021枣庄育才中学模考〕如图8,直线y=- x+3与坐标轴相交于A,B两点,动点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当点P的运动时间t=秒时,△PAB是等腰三角形.