求二部图的最大匹配图的一种算法

边集为 Ｅ （ ） （ ） 如果 Ｇ 则 Ｇ Ｇ ． ∪Ｅ １ ２ １和 Ｇ ２是不相交的，
基金项目： 国家自然科学基金（ ） ； 山西省自然科学基金（ ） Ｎ ｏ ． ６ ０ ７ ７ ３ １ ３ １ Ｎ ｏ ． ２ ０ ０ ８ ０ １ １ ０ １ ０
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定义 １ 简单图 Ｇ的最大匹配图 Ｍ（ ） （ 的 Ｇ ＝ ν， ε） 是 的 一 个 最 大 匹 配｝ ， 边 集 顶点集 ν ＝｛ Ｍ∶ Ｍ Ｇ ε＝ ｛ ｝ 最大匹配图作为一类变换图， Ｍ Ｍ ∶ ｜ Ｍ － Ｍ ｜ ＝１ ． １ ２ １ ２ 在１ 年分别独立地提出并开始 首先由王世英与 Ｅ ｒ ｏ ｈ ９ ９ ８ ］ １ 研究 ． 王世英［ 研究了最 大匹配图的 结构 性质 ． 同年， ［ ］ ２ Ｅ ｒ ｏ ｈ 研究了最大匹配图的判别及多重匹配图的性质 ． 近年来， 人们相继研究了最大匹配图的围长、 连通度和 子图， 进而给出了最大匹配图是树或完全图的条件； 刻 画了最大匹配图是正则图或圈的图， 并且证明了二部图 ］ ３ ～ ６ 但是有关 的最大匹配图的连通度等于它的最小度［ ． 最大匹配图算法方面的研究， 目前尚未见到 ．
１ ６ ２ 电 子 学 报 年 ２ ０ １ ０
记并图为 Ｇ ． １＋Ｇ ２ 定义 ６ 简单图 Ｈ １和 Ｈ ２的积图是指具有顶点集
′ （ ） （ ） 的简单图 Ｈ ， 其中， （ ， ） 与（ ， Ｖ Ｈ ×Ｖ Ｈ ｕ ｖ ｕ １ ２ １×Ｈ ２
引理 ２ Ｘ ＝ ∩Ｘ ｉ ｊ ｛ ， ， ， ｝ ０ １ ２ ３ ． ∈
［ ］ ８ 定理 １ （ 结构定理） Ｇ ａ ｌ ｌ ａ ｉ Ｅ ｄ ｍ ｏ ｎ ｄ ｓ
′ ′
′
′
′
设 Ｍ 是 Ｇ的 任 意 一 个 最 大 匹 配， （ ） ， （ ） ， Ａ Ｇ Ｃ Ｇ （ ） 如上述定义 ． 则 Ｍ 包含 Ｇ ［ （ ） ］ 的每个分支的 Ｄ Ｇ Ｄ Ｇ 一个几乎完美匹配， ［ （ ） ］ 的一个完美匹配并且将 Ｇ Ｃ Ｇ （ ） 中的每个点匹配到 Ｄ （ ） 中不同分支的点 ． Ａ Ｇ Ｇ
： Ｔ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｏ ｆ ａ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｉ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗ ｈ ｏ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｓ ａ ｎ ｄ ｗ ｈ ｅ ｒ ｅ ｔ ｗ ｏ ， ｗ ｅ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｌ ｙ ｉ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｗ ｏ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｓ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｂ ｙ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｌ ｙ ｏ ｎ ｅ ｅ ｄ ｇ ｅ ． Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｏ ｆ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｋ ｉ ｎ ｄ ｓ ｏ ｆ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ｉ ｎｔ ｈ ｅ Ｇ ａ ｌ ｌ ａ ｉ Ｅ ｄ ｍ ｏ ｎ ｄ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｏ ｎｂ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ ｎ ｗ ｅ ｓ ｈ ｏ ｗｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｉ ｔ ｙｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ， ｏ ｆ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ｗ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ａ ｎ ｄｇ ｉ ｖ ｅａ ｎａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ｏ ｎｂ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ． ： ； ； Ｋ ｅ ｙｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇｇ ｒ ａ ｐ ｈｂ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ
摘
要： 一个图的最大匹配图是以这个图的最大匹配集作为顶点集， 两个顶点相邻当且仅当这两个最大匹配恰
本文首先对 Ｇ 结构定理中的三部分顶点在二部图中进行了详细刻画 ． 然后讨论了构造最 有一条边不同 ． ａ ｌ ｌ ａ ｉ Ｅ ｄ ｍ ｏ ｎ ｄ ｓ 最后深入研究了二部图最大匹配图的结构性质并给出了构造二部图的最大匹配图的一 大匹配图问题的计算复杂性 ． 种算法 ． 关键词： 最大匹配图；二部图；算法 Ｏ １ ５ ７ ６ 文献标识码： Ａ 文章编号： ）０ ０ ３ ７ ２ ２ １ １ ２（ ２ ０ １ ０ １ ０ １ ６ １ ０ ６ 中图分类号：
收稿日期： ； 修回日期： ２ ０ ０ ８ ０ １ ０ ３ ２ ０ ０ ９ ０ ４ １ ９
定义 ４ 图 Ｇ的一个覆盖是指顶点集的一个子集
， 使得 Ｇ的每条边都至少有一个端点在 Ｋ中 ． 一个覆 Ｋ ′ 使得 盖 Ｋ 称 为 Ｇ 的 最 小 覆 盖 如 果 Ｇ 没 有 覆 盖 Ｋ，
′ Ｋ ＜ Ｋ ． 定义 ５ 设 Ｇ ， 若 Ｇ ， Ｇ Ｇ １ ２是图 Ｇ的子图 ． １ ２没有 公共顶点， 则称它们是不相交的 ． Ｇ ∪ １和 Ｇ ２的并图 Ｇ １ 是指 的一个子图， 其顶点集为 （ ） （ ） ， 其 Ｇ Ｇ Ｖ Ｇ Ｖ Ｇ ２ １ ∪ ２
， Ｙ ＝ ∩Ｙ ｉ ｊ
， 其中 ｉ ， ， ｉ ｊ ≠ｊ
证明 由 Ｘ 有 Ｘ ＼Ｘ ０是 Ｘ中 Ｍ 未饱和点集合， ０
因此 Ｘ ＝Ｘ ＝ ， ｉ ∪Ｘ ∪Ｘ ∩Ｘ １ ２ ３是 Ｍ 饱和点集合 ． ０ ｉ ， ， 是显然的 ． 由定义 Ｘ ， 故 ＝ １ ２ ３ ＝ Ｘ － Ｘ － Ｘ － Ｘ Ｘ ３ ０ １ ２ ３ ， ， ， 下面只需证 若 ＝ ｉ ＝０ １ ２ ． Ｘ Ｘ ＝ ． Ｘ ∩Ｘ ∩ ｉ １ ２ １ 则存在点 ｕ 因为 ｕ ， 所以存 ． ∩Ｘ ≠ ， ∈Ｘ ∩Ｘ ∈Ｘ ２ １ ２ １ 在一条以 ｕ ｕ为 终点 的 Ｍ 交错 路 Ｐ ∈Ｘ ０ ０ 为起 点， １＝ …ｕ 又因为 ｕ ， 所以存在一条以 ｖ ｕ ｖ ． ∈Ｘ ∈Ｙ ０ ｓ ２ ０ ０为起 点， 为终点的 Ｍ 交错路 Ｐ …ｕ 设 Ｑ＝Ｖ （ ） ｕ ｕ ． Ｐ ∩ ２＝ｖ ０ ｔ １ （ ） 因为 ｕ ， 所以 Ｑ 设 ｘ 是路 Ｐ Ｖ Ｐ ． ． ∈Ｑ ≠ ２ ２上第一
） 相邻，当且仅当或者 ｕ＝ｕ， 且 ｖ （ ） ， 或者 ｖ ｖ ｖ Ｈ ∈Ｅ ２ ， 且 ｕ （ ） ＝ｖ ｕ∈ Ｅ Ｈ ． １ 给定图 Ｇ ， 令Ｄ （ ） 表示至少不能被 Ｇ中某个最大 Ｇ 匹配饱和的所有顶点的集合， （ ） 表示至少与 Ｄ （ ） Ａ Ｇ Ｇ （ ） （ ） 中所有点的集合， （ ） 中某点相邻的 Ｖ Ｇ －Ｄ Ｇ Ｃ Ｇ ＝ （ ） （ ） （ ） 其它未给出的定义见文献［ ］ Ｖ Ｇ －Ｄ Ｇ －Ａ Ｇ ． ７ ．
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第１ 期 年１ 月 ２ ０ １ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电 子 学 报 Ａ Ｃ Ｔ ＡＥ Ｌ Ｅ Ｃ Ｔ Ｒ Ｏ Ｎ Ｉ Ｃ ＡＳ Ｉ Ｎ Ｉ Ｃ Ａ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ８ Ｎ ｏ ． １ Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ０
求二部图的最大匹配图的一种算法
李 晶， 王世英
（ 山西大学数学科学学院， 山西太原 ０ ） ３ ０ ０ ０ ６
结构定理中三部分顶点的详细刻 ２ Ｇ ａ ｌ ｌ ａ ｉ Ｅ ｄ ｍ ｏ ｎ ｄ ｓ 画
［ ］ ７ 引理 １ 在二部图中， 最大匹配的边数等于最小
覆盖的顶点数 ．
定理 ２ 在二部图最小覆盖中的任意两顶点之间
的边不在任何最大匹配中 ．
证明 设 Ｋ是二部图 Ｇ的一个最小覆盖， 点 ｕ ， ｖ
， （ ， ） （ ） 反证， 设存在一个最大匹配 Ｍ 使 ｕ ｖ Ｇ ． ∈Ｋ ∈Ｅ 得（ ， ） 由覆盖的定义， ｕ ｖ∈ Ｍ． Ｍ 中每一条边都至少有 一个端点在 Ｋ中 ． 又由于匹配中的边不相邻， 故 Ｍ－ ｛ （ ， ） ｝ 中每一条边都至少有一个端点在 Ｋ－｛ ， ｝ ｕ ｖ ｕ ｖ 中． 此时， ｛ ， ｝ 因此 Ｍ －｛ （ ， ） ｝ 中 ｜ Ｋ－ ｕ ｖ ｜ ＝｜ Ｋ｜ －２ ． ｕ ｖ 条边 ． 从而 Ｍ 最多有 ｜ 最多有 ｜ Ｋ ｜ － ２ Ｋ｜ －２ ＋１ ＝｜ Ｋ｜ 条边 ． 另一方面， 由引理 １ ， ， 矛盾 ． 证毕 ． － １ ｜ Ｍ｜ ＝｜ Ｋ ｜
Ａ ｎＡ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｆ ｏ ｒ Ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇｔ ｈ ｅＭａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ Ｍａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇＧ ｒ ａ ｐ ｈ ｓｏ ｎＢ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ
， Ｌ Ｉ Ｊ ｉ ｎ ｇ ＷＡ Ｎ ＧＳ ｈ ｉ ｙ ｉ ｎ ｇ
（ ， ， ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ ０ ３ ０ ０ ０ ６ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ
， 使得 Ｇ的每一条边 顶点集可以分解成两个子集 Ｘ和 Ｙ 的两个端点分别在 Ｘ和 Ｙ中 ．
定义 ３ 图 Ｇ的一个 匹配 Ｍ 是指 Ｇ的一 个边 子
并且这些边中的任意两条在 集， 它的元素是 Ｇ中的边， 若匹配 Ｍ 的某条边与顶点 ｖ 关联， 则称 Ｇ中均不相邻 ． ， 并且称 ｖ 是 Ｍ 饱和的， 否则称 ｖ 是 Ｍ未 Ｍ 饱和顶点 ｖ 饱和的 ． 若 Ｇ的每个顶点均是 Ｍ 饱和的， 则称 Ｍ 为 Ｇ ′ ′ 的完美 匹 配 ． 若 Ｇ没 有 另 外 的 匹 配 Ｍ ， 使得 ｜ Ｍ ｜ ＞ ， 则称 Ｍ 为 Ｇ的最大匹配 ． 若 Ｇ恰有一个顶点是 Ｍ ｜ Ｍ｜ 未饱和的， 则称 Ｍ 为 Ｇ的几乎完美匹配 ．
１ 引言
匹配理论作为图论和组合最优化最重要的内容之 如资料分配， 工作 一， 广泛的应用于理论和实际的研究 ． 安排， 时间分配和人员择偶等 ． 解决这些问题将涉及到 求最大匹配的算法 ． 目前常见的算法只能求出一个最大 匹配 ． 很多时候， 人们需要求出所有的最大匹配并了解 它们之间的关系 ．
定义 ２ 称图 Ｇ＝（ ， ） 是二部图， 若图 Ｇ的 Ｘ Ｅ ∪Ｙ
′ 个属于 Ｑ中的点 ． 若 ｘ ， 则 Ｐ ， ） 节为 Ｐ ｕ ｘ ∈Ｘ １中（ ０ １＝ ′ … ， 中（ ， ） 节为 … 由 的取 ｕ ｖ ｖ ｘ Ｐ ｖ ｘ Ｐ ＝ ｖ ｕ ｖ ｘ ． ｘ ０ｓ ｒ ２ ０ ２ ０ ｔ ｌ ′ ′ 法， （ ） （ ）＝｛ ｝ 因为 ｕ ， Ｖ Ｐ Ｐ ｘ ． ｖ ∩Ｖ １ ２ ０ ０ 都是 Ｍ 未饱和 的， 故（ ， ） ， （ ， ） 此时， 由 ｕ ， ， ｕ ｖ ｖ ｕ ｘ ｖ Ｍ． ∈Ｘ ∈Ｙ ０ ｓ ０ ｔ ０ ０ ′ ′ 知， 因此（ ， Ｐ Ｐ ｖ １是一条交错偶路， ２是一条交错奇路 ． ｒ ′ ′ － ） （ ， ） 从而 Ｐ （ ） １＝ｕ …ｖ …ｖ ｘ ｖ ｘ Ｐ ｖ ｘ ｖ ∈ Ｍ， Ｍ． ｌ １ ２ ０ ｓ ｒ ｌ ０ ′ 是一条 Ｍ 交错路且起点和终点都是 Ｍ 未饱和的 ． 即 Ｐ １ ′ － （ ）１ 是一条 Ｍ 增广路， 这与 Ｍ 是最大匹配矛盾 ． 若 Ｐ ２ ′ ， 则设 ｕ 在路 Ｐ 令Ｐ …ｘ ｘ ｕ ∈Ｙ ｒ是 ｘ １上下一个点 ． １＝ｕ ０ ｒ ′ 是Ｐ 中（ ， ） 节， … 是 中（ ， ） 节 因 ｕ Ｐ ｘ Ｐ ｖ ． １ ０ ｕ ｒ ２＝ｖ ０ ｕ ｌ ２ ０ ｘ ′ ′ 为Ｐ ， 所以（ ， ） （ ， ） Ｐ ｘ ｕ ｕ ｘ ∈ Ｍ， ∈ Ｍ． １ ２都是交错偶路， ｒ ｌ 因此， 从而 ， 与 是路 上第一个属于 ｕ ＝ ｕ ． ｕ Ｑ ｘ Ｐ ∈ ｒ ｌ ｌ ２