新人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测卷(含答案解析)(4)

一、选择题
1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +
B ．12n -
C ．132n -⨯
D ．123n -⨯
2．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
3．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若
150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}
n a 的最小项是（ ） A ．第6项
B ．第7项
C ．第12项
D ．第13项
5．已知数列{}n a 满足11a =，()*12
n
n n a a n a +=
∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫
=-⋅+∈ ⎪⎝⎭
N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．23
λ>
B ．32
λ>
C ．23
λ<
D ．32
λ<
6．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取
值范围是（ ）
A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
7．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点1(,)()n n P a a n N *
+∈在直线
10x y -+=上，则
123
2019
1111S S S S ++++
=（ ）
A ．
2019
2020 B ．
2019
1010 C ．
2019
4040
D ．
20192020
2
⨯ 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ）
A ．2m
B ．21m +
C ．22m +
D ．23m +
9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32
f x f x f -=-=，数列
{}n a 满足11a =，且
21n n
S a n n
=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）
A ．1
B ．3
C ．-3
D ．0
10．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8
1
i
i a
==
∑（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
11．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
12．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
二、填空题
13．设数列{}n a 是以4为首项，
1
2
为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.
14．有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ………………………………………
则第40行从左至右第6个数字为______. 15．已知{}n a 是等比数列，14a =，41
2
a =
，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 16．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项
n T =________．
17．中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为
1
2
.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是_____. 18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131413140,0,a a a a ><>，若10k k S S +<，则k =_________.
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.
20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()(
)*
1n n n n a a a n N
+-=∈，且3
a
π=，则
4tan S 等于______.
三、解答题
21．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设+1
4
n n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额. 23．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()
1
2121n
n n a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.
24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
231n n S a n N =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()
111n
n n n a b a a +=
--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，不等式
141
n k T n >
-+都成立，求实数k 的取值范围. 25．设数列{}n a 的前n 项和2*
,n S n n N =∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若不等式11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.
26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =，515S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得
2
333221a a a q q
++=，解得2q =±或1
2
q =±
，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n n
a
【详解】
{}n a 为等比数列，设其公比为q ，
()
3
36231261
1364a a a a q a q
a ∴====，则34a =，
13521a a a ∴++=，
23
33221a a a q q
∴
++=， 即
2
244421q q
++=， 解得2q =±或12
q =±， 又
{}n a 各项为正且递增，
2q ∴=，
3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为
23
33221a a a q q
++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．A
解析：A 【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案． 【详解】
解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2n
n b =，
2321n n n n b c a a ==⨯-=，
123n T c c c ∴=+++…n c +
123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-
(1233222=⨯+++…)
2n n +-
()212312
n n ⨯-=⨯
--
1326n n +=⨯--，
当8n =时，9
8326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，10
9326930572020T =⨯--=>，
n ∴的最大值为8.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T .
3．B
解析：B 【分析】
①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，
使100
n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.
【详解】 ①若100S =，则
()()
110561010022
a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0
的等差数列，所以50a >，60a <，那么
()()
()()18281212458402
a a S S a a a a a a ++=++
=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()
115158151502
a a S a +=
=>，
()()
11689161616022
a a a a S ++=
==，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502
a a S a +=
=>，()
()116168916802a a S a a +=
=+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】
方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质
求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2
n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n
的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.
4．B
解析：B 【分析】
可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】
由题意12130,0S S ><及()()()121126713113713
66,132
S a a a a S a a a =+=+=
+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .
【点睛】
等差数列的前n 项和n S 具有以下性质
()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.
5．C
解析：C 【分析】 由数列递推式()*
12n n n a a n a +=
∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是首项为2，公比为2的等比数列，求
出其通项公式后代入1(2)2n
n b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的
取值范围. 【详解】 解：由12n n n a a a +=
+得，
112
1n n
a a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
由11a =，得
1
1
12a +=， ∴数列11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是首项为2，公比为2的等比数列， ∴
11
1222n n n
a -+=⨯=， 由()*11(2)1n n
b n n a λ+⎛⎫
=-⋅+∈
⎪⎝⎭
N ， 得1(2)2n
n b n λ+=-⋅， 因为数列{}n b 是单调递增数列， 所以2n ≥时，1n n b b +>，
1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即1
2
n λ+<
， 所以32
λ<
， 又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-， 由21b b >，得24λλ->-，得23
λ<， 综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 故选：C . 【点睛】
解决数列的单调性问题的3种方法：
（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法根据
1
n n
a a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断； （3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.
6．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *
∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 7．B
解析：B 【分析】
由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】
点1(,)()n n P a a n N *
+∈在直线10x y -+=上，所以11n n a a +=+，即1=1n n a a +-
所以{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，即=n a n ，(1)=
2
n n n
S +， 所以1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
，
123
201911111111112121223
201920202020S S S S ⎛⎫⎛
⎫++++
=-+-++
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2019
1010=
. 故选：B. 【点睛】 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.
8．C
解析：C 【分析】
首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】
由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()12121
12121>02
m m m m a a S m a +++++==
+，
()()()12323
22323<02
m m m m a a S m a +++++==
+，
()()()()122221222102
m m m m m a a S m a a ++++++=
=
++>.
故选:C.
【点睛】
关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11
,2
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨
=⎩，判断数列的项的正负，
第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.
9．C
解析：C 【分析】
判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】
依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3
()()2
f x f x -=， 所以()333332222f x f x f x f
x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫
=---=--= ⎪⎝⎭
，所以()f x 是周期为3的周期函数.
由
21n n
S a n n
=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，
当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，
①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），
所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，
652163a a =+=.
所以
56()()f a f a +=
()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-
故选：C 【点睛】
如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .
10．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8
1
i i a =∑即可
【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯1
1332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
128
1
8123(122)2831612
i i
a
a a a =-=++=⨯++
+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
11．A
解析：A 【分析】
设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】
设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是
()11002
n n +≤，且()
110012
n n n +-
<+，解得13n =，剩余的根数为1314
10092
⨯-
=． 故选：A. 【点睛】 本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.
12．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
二、填空题
13．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比 解析：3288n n -+-
【分析】
先根据题意得382n
n S -=-，由于数列{}32
n
-是以4为首项，12
为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】
解：由等比数列的前n 项和公式得
()13141121818211212
n n n
n n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，
由于数列{}32
n
-是以4为首项，12
为公比的等比数列， 设{}n S 的前n 项和n T ，
则31412188812881212
n n
n n
T n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】
本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出
382n n S -=-，再结合数列{}
32n -是以4为首项，
1
2
为公比的等比数列，再次求和即可. 14．1030【分析】利用观察法和累加法得到进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；…
解析：1030 【分析】
利用观察法和累加法得到()17895n a a n -=+++++，进而求解即可
【详解】
第1行从左至右第6个数字：116a = 第2行从左至右第6个数字：223a =； 第3行从左至右第6个数字：331a =； 第4行从左至右第6个数字：440a =； 第5行从左至右第6个数字：550a =； ……………………………………；
第n 行从左至右第6个数字：n a ； 利用累加法得：
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-，
()17895n a a n -=+++
++，
()()175162
n n n a -++⎡⎤⎣⎦
=
+
得，403952
1639261610302
a ⨯=
+=⨯+= 故答案为：1030 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于观察得到，
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-
最后，使用累加法求出数列的通项n a ，属于中档题
15．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主
解析：321134n
⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
【分析】
由等比数列的通项公式，求得12q =，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为1
4
的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =
，可得
3
4218a q a ==，解得12
q =， 又由2111114
n n n n n n a a a q a a a ++--===，且2
1218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为
1
4
的等比数列， 所以122311
8[1()]3214113414
n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+=
=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n
⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
16．【分析】首先利用求出的通项即可得【详解】∵∴当时；当时又当时符合上式∴∴∴当是偶数时当是奇数时∴∴数列的前项和故答案为:【点睛】本题主要考查了已知求考查了奇偶并项求和属于中档题 解析：()1n
n -
【分析】
首先利用2
n S n =求出{}n a 的通项，即可得()
()121n
n b n =--.
【详解】
∵2
n S n =，∴当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 又当1n =时，11a =符合上式，∴21n a n =-，
∴()()
()1121n
n
n n b a n =-=--，
∴()()135791113121n
n n T =-+-+-+-+-+-
当n 是偶数时，22
n n
T n =⨯
=， 当n 是奇数时，()1
122
n n T n -=-+-⨯=-， ∴()1n
n T n =-，
∴数列{}n b 的前项和()1n
n T n =-．
故答案为: ()1n
n - 【点睛】
本题主要考查了已知n S 求n a ，考查了奇偶并项求和，属于中档题.
17．【分析】构造等差数列求得比赛场次再利用概率公式即可求得结果【详解】根据题意每场比赛的没票收入构成首项为公差为的等差数列设该数列为即可得由可得或（舍）故该比赛共比赛了场前场比赛比分是且第6场比赛是领先 解析：
516
【分析】
构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式，即可求得结果. 【详解】
根据题意，每场比赛的没票收入，构成首项为500，公差为100的等差数列， 设该数列为{}n a ，即可得1500a =，100d =， 由4500n S =，可得6n =或15n =-（舍），
故该比赛共比赛了6场，前5场比赛比分是2:3，且第6场比赛是领先队获胜.
故其概率为5
3515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 故答案为：516
. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和基本量的计算，以及n 次独立重复试验的概率求解，属综合中档题.
18．26【分析】由题意可得等差数列递减且可得可得结论【详解】等差数列中等差数列递减且满足的k 值为故答案为：【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质得出项的正负和前项和的关系是解决问题的关键属中
解析：26 【分析】
由题意可得等差数列递减且13140a a +>，可得2526270,0,0S S S >><，可得结论.
【详解】
等差数列{}n a 中131413140,0,a a a a ><>，
∴等差数列递减且13140a a +>，
1314
2513262714250,26
0,2702
a a S a S S a +∴=>=>=<， ∴满足10k k S S +<的k 值为26,
故答案为：26 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，得出项的正负和前n 项和的关系是解决问题的关键，属中档题.
19．【分析】令得出代入可求出和的值然后令由得出两式相减可判断出数列为等比数列确定该数列的首项和公比由等比数列的通项公式可求出数列的通项公式【详解】当时解得当时由①得②①②得又所以数列是以为首项以为公比的 解析：13-=n n a
【分析】
令1n =得出2121a a =+，代入24S =可求出1a 和2a 的值，然后令2n ≥，由
121n n a S +=+得出121n n a S -=+，两式相减，可判断出数列{}n a 为等比数列，确定该数
列的首项和公比，由等比数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】
当1n =时，2112121a S a =+=+，2121314S a a a ∴=+=+=，解得11a =，23a =， 当2n ≥时，由121n n a S +=+①，得121n n a S -=+②， ①-②得，12n n n a a a +=-，13n n a a +∴
=，又21
3a
a =， 所以，数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，因此11
133n n n a --=⨯=.
故答案为：13-=n n a . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【分析】将变形为利用累乘法求出数列的通项公式求出的值再利用诱导公式可求出的值【详解】则所以因此故答案为：【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项同时也考查了数列求和以及正切值的计算考查计算能力属于中等题
【分析】
将()1n n n n a a a +-=变形为
11
n n a n a n
++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S 的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】
()()
*1n n n n a a a n N +-=∈，()11n n na n a +∴=+，11
n n a n a n
++∴=， 3
211112
123
12
1n n n a a a n
a a a na a a a n -∴=⋅
⋅⋅⋅
=⨯⨯⨯⨯
=-，313a a π==，13
a π∴=， 则3
n a n
π
=
，所以，424103
333
S π
πππ
π=
+
++=，
因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛
⎫==+== ⎪⎝
⎭， 【点睛】
本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．(1) 31n a n =-；（2） ()
24
333+2n T n =-. 【分析】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；
（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =， 所以14112
3413
a a d --=
==-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=， 所以31n a n =-； （2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪--⎝⎭
，所以 41111111
1+++
+32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()
41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪
⎝⎭.
所以()
24333+2n T n =-. 【点睛】
数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有
()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
等.
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.
22．（1）(
)2
*
2160450,y x x x N =-+-∈；（2）1500万元.
【分析】
（1）保养费用是首项为22，公差为4的等差数列，再利用收入-维修费用-成本，写出y 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式计算y
x
的最大值. 【详解】
（1）依题可得2(1)1802244502160450()2x x y x x x x x N -⎢⎥
=-+
⨯-=-+-∈⎢⎥⎣⎦
即y 关于x 的函数关系式为2
2160450y x x =-+-，(
)*
x N
∈.
（2）由（1）知，当年的平均盈利额为：
45045021601602160100y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝
⎭， 当且仅当450
2x x
=
时，即15x =时等号成立. 所以使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是知道设备的维修费用是等差数列求和，才能正确写出函数关系. 23．答案见解析 【分析】
(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;
(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可.
【详解】
（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1
8
12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
1q >，
12
2a q =⎧∴⎨=⎩
2n n a ∴=．
（2）若选①2n n b n =⋅
231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+①
23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②
①-②得：23
122222n n n S n +-=+++
+-⋅
()()11121222212(1)2212
n n n n n n S n n n +++--=
-⋅=--⋅=---
∴1
(1)22n n S n +=-+
选②：22log 29|29|n
n b n =⋅-=-
1n =时，117S b ==
2n =时，2127512S b b =+=+=
3n =时，312375315S b b b =++=++=
4n =时，4123416S b b b b =+++=
即2(792)8(4,)2
n n n
S n n n n N *+-⋅=
=-+≤∈
5n ≥时，2(4)(129)
16132916(4)162
n n n S n n -+-=+++
+-=+
=-+．
选③11211
(21)(21)2121
n n n n n n b ++==-++++
2231111111111
122121212121321
n n n n S ++=
-+-++
-=-+++++++． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.
24．（1）3n
n a =；（2）1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
【分析】
（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出n a 的递推关系，结合1a 得{}n a 等比数列，从而得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和n T ，不等式可变形为()11231n n k -+>
-，令()
11
()231n n f n ++=-，
再用作差法得出()f n 的单调性，得最大项，从而得k 的取值范围． 【详解】
（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)231n n S a n N *
=-∈，
所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-， 两式相减得：1233n n n a a a -=-，即13(2)n
n a a n ，
又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，
所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3n
n a =
（2）由（1）知：()()()()
113113131n
n n n n n n a b a a ++=
=----
111123131n n +⎛⎫
=
- ⎪--⎝⎭
， 所以，12n n T b b b =+++
12231111111
12313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
11112231n +⎛⎫=
- ⎪-⎝⎭
， 对任意的n *∈N ，不等式141n k
T n >-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪
-+⎝⎭
， 化简得：()11231n n k -+>
-，令()
11
()231n n f n ++=-，
因为()()()()
12112
21(21)31
(1)()023*********n n n n n n n n f n f n +++++++--⋅-+-=-=<---⋅-， 故()f n 单调递减， 所以max 1
[()](1)8f n f ==
，故18k >，
所以，实数k 的取值范围是1
,8
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题．数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相
加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法．
25．（1）*
21,n a n n N =-∈；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）直接利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论和裂项相消法求和得到12231
111
+++⋯+n n a a a a a a ，再根据不等式恒成立，得到关于λ的方程，然后求出参数λ的取值范围． 【详解】
解：（1）当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
在2
n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-， 故数列{}n a 的通项公式是*
21,n a n n N =-∈；
（2）因为一般项
()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以
1223
1111111111
111233557
212121
n n n
a a a a a a n n n +⎛⎫+++
=-+-+-++
-= ⎪
-++⎝⎭ 11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立， 也就是18
log 21n n λ≤
+对任意*n N ∈恒成立，1min 8
log 21n n λ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭， 因为
121111*********n n n n n +-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭是增函数，其最小值是111
12213
⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 于是1
8
1log 3λ≤，12λ≥.故实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
26．（1）92n a n =-；（2）2
8n S n n =-+，()max 16n S =.
【分析】
（1）根据等差数列前n 项和的计算公式结合15,a S 的值，计算出等差数列的公差d ，由此确定出等差数列的通项公式；
（2）根据1,a d 求解出n S ，结合二次函数的性质确定出n S 的最大值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d ，因为51545152S a d ⨯=+
=，所以2d =-， 所以()()71292n a n n =+-⨯-=-；
（2）因为()()2117182
n n n S a n d n n n n n -=+=--=-+，即()2416n S n =--+ 当4n =时，n S 有最大值，()4max 16n S S ==.
【点睛】
方法点睛：求解等差数列前n 项和的最值的几种常用方法：
（1）利用等差数列前n 项和的二次函数特性，求解出前n 项和的最值；
（2）分析等差数列通项公式，根据等差数列各项取值的正负，确定出前n 项和的最值.。