《有理数的乘方》 讲义

《有理数的乘方》讲义
一、引入
同学们，在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的运算，加法、减法、乘法、除法，而今天我们要一起学习一种新的运算——有理数
的乘方。

想象一下，你有一张非常薄的纸，假设它的厚度只有 01 毫米。

如
果把这张纸对折 1 次，它的厚度会变成 02 毫米；对折 2 次，厚度变成04 毫米；对折 3 次，厚度变成 08 毫米……那么对折 10 次、20 次甚至
更多次，这张纸的厚度会是多少呢？要解决这个问题，就需要用到有
理数的乘方知识。

二、乘方的概念
乘方是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。

比如，2×2×2 可以
写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。

其中，2 叫做底数，3 叫做指数，而乘方的结果叫做幂。

再举几个例子，3×3×3×3 可以写成 3⁴，底数是 3，指数是 4；（－5)×（－5)×（－5)可以写成(－5)³，底数是-5，指数是 3。

需要注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 可以写成 5²，但 5×1 就直接写成 5。

三、乘方的运算
1、正数的乘方
正数的任何次幂都是正数。

例如，2²＝ 4，2³＝ 8，2⁴＝ 16 等等。

2、负数的乘方
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8，因为 3 是奇数；（－2)⁴＝ 16，因为 4 是偶数。

3、 0 的乘方
0 的任何正整数次幂都是 0。

但 0 的 0 次幂没有意义。

四、乘方的规律
1、底数为 10 的乘方
10 的 n 次幂，在 1 后面就有 n 个 0。

例如，10³＝ 1000，10⁵＝100000 。

2、底数为-10 的乘方
－10 的偶次幂是正数，在 1 后面有偶数个 0；－10 的奇次幂是负数，在 1 后面有奇数个 0。

3、互为相反数的两个数的乘方
互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。

例如，2²＝（－2)²，2³＝（－2)³。

五、乘方的应用
1、计算面积和体积
比如正方形的面积，如果边长是 a，那么面积就是 a²；正方体的体积，如果棱长是 a，那么体积就是 a³。

2、科学计数法
在科学研究中，经常会遇到非常大或非常小的数，这时就可以用科学计数法来表示。

例如，地球到太阳的距离约为 15×10⁸千米。

3、解决实际问题
假设一种细菌每过 20 分钟就能繁殖一代，一个细菌经过 3 小时后会变成多少个？因为 3 小时＝ 180 分钟，180÷20 ＝ 9，所以经过 3 小时会繁殖 9 代。

一开始有 1 个细菌，那么 3 小时后细菌的数量就是 2⁹＝ 512 个。

六、乘方运算中的易错点
1、符号问题
一定要注意负数的奇次幂和偶次幂的符号差异，这是同学们容易出错的地方。

2、指数运算
指数是表示相同因数的个数，计算时不要弄错。

3、运算顺序
在进行有理数的混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，先算括号里面的。

七、练习巩固
为了更好地掌握有理数的乘方，我们来做一些练习题。

1、计算：（－3)²，（－2)³，0⁴。

2、用科学计数法表示：300000 ，000005 。

3、一个边长为 2 厘米的正方形，它的面积是多少？
八、总结
通过今天的学习，我们了解了有理数乘方的概念、运算规律和应用。

希望同学们在课后多做练习，熟练掌握有理数的乘方运算，为今后的
数学学习打下坚实的基础。

同学们，数学的世界就像一个充满神秘和惊喜的宝藏，每一个新的
知识点都是打开宝藏的一把钥匙。

让我们一起努力，用这些钥匙开启
更多的数学奥秘！。