MSDC.初中数学.轴对称与等腰三角形A级.第01讲.学生版

内容基本要求略高要求较高要求
轴对称
了解图形的轴对称，理解对应
点所连的线段被对称轴垂直
平分性质；了解物体的镜面对
称
能按要求作出简单平面图形经过一次
或两次轴对称后的图形；
掌握简单图形之间的轴对称关系，并
能指出对称轴；掌握基本图形（等腰
三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正
多边形、圆）的轴对称性及相关性质。

能运用轴对称进行
图案设计
1．轴对称性质的灵活应用
2．轴对称图形与轴对称的区别
版块一轴对称与轴对称图形
☞轴对称图形的识别
【例1】下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（）
【例2】如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（）
例题精讲
中考要求
重难点
轴对称
A B C D
【巩固】如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）
A B C D
【例3】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【巩固】下列图形中对称轴最多的是（）
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段
【例4】在下图，这一组图中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．
【例5】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
☞轴对称的性质
【例6】 如图，ΔABC 与ΔA 'B 'C '关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）
A ．30°
B ．50°
C ．90°
D ．100°
【例7】 如图，直线L 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥ ②AC BD ⊥
③AO OC = ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．
O
D
C
B A
l
【例8】 如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB 的长。

l C'
B'
A'
C
B A
☞轴对称和折叠
【例9】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3
个洞，则纸片展开后是【巩固】将一个正方形纸片依次按图1a，b的方式对折，然后沿图
c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展
开铺平，所得到的图形是图2中的（）
图1
图2
【例10】如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c
，则图c中的∠CFE的度数是（）
A、110°
B、120°
C、140°
D、150°
【例11】将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD 的度数（）
A、大于90°
B、小于90°
C、等于90°
D、不能确定
E'
A'
E
D C
B
A
【例12】 如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，
点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．
C
【巩固】如图1所示为三角形纸片ABC ，AB 上有一点P ．已知将A ，B ，C 往内折至P 时，出现折线 SR 、TQ 、QR ，其中Q 、R 、S 、T 四点会分别在BC 、AC 、AP 、BP 上，如图2所示．若ABC △、四边形PTQR 的面积分别为16、5，则PRS △的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
版块二 垂直平分线的性质及判定
☞垂直平分线的性质
【例13】 如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则
（1）ΔP AC ≌_____； （2）P A ＝_____；（3）∠APC ＝_____； （4）∠A ＝_____．
B
C
A
P
【巩固】如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长
是18厘米，则BC
E
D C
B
A
图1
图2
A
【例14】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．
O D
C B
A
【例15】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC =106°，EF 、MN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，点E 、M 在BC
上，则∠EAM =
N
M
F
E C
B A
☞垂直平分线的判定
【例16】 如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）
A ．A
B 垂直平分CD
B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分
D ．CD 平分ACB ∠
【例17】 已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直
平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．
243
1
F
E
D
G
C
B
A
☞垂直平分线的画法
【例18】 求作线段AB 的垂直平分线
B
D
C
A
B
【例19】 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N 。

求作：点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两边所在的
直线的距离相等。

M
M
☞画轴对称图形和对称轴
【例20】 作出下图所示的图形的对称轴：
【例21】
作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：
【例22】 下列为边长为1的小正方形组成的网格图．
①请画出△ABC 关于直线a 对称的图形（不要求写作法）； ②求△ABC 的面积（直接写出即可）．
C
B
A
a
版块三、轴对称与线段和差最值问题
☞单对称轴
【例23】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离
和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
B
A
a
【巩固】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点
P 使得PC PE +长度之和最小。

E P
C B
A
☞双对称轴
【例24】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使
得PQR ∆的周长的最小。

B
【巩固】如图，30AOB ∠=︒，
角内有点P ，且5OP =，在角的两边有两点Q 、R （均不同于O 点），则PQR △的周长的最小值为 ．
O
B
☞平移
【例25】 如图，A B ，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可
看成平行线，桥是垂直于河岸的）
l 2
l 1B
A
☞路程差最大问题
【例26】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大。

B
A
l
【巩固】求在直线l 上找一点P ，使得直线l 为APB ∠的角平分线
B
A
1. 尺规作图：把右图补成以虚线l 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、
保留作图痕迹）．
l
2. 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的
边的距离和最小。

课堂检测
M O
B
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1． 如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC =，B 村到公
路l 的距离2km BD =，B 村在A 村的南偏东45︒方向上． （1） 求出A ，B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，简明书写作法）．
北
东
D
B
C
A
l
2． 已知：如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，BC 平行于x 轴，点B •的坐标是(3,1)-．
（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆；
（2）求以点A 、B 、'B 、'A 为顶点的四边形的面积．
课后作业
总结复习
初中数学.轴对称与等腰三角形A级.第01讲.学生版Page 11 of 11。