高中数学 2.1.1 正弦定理同步课件 北师大版必修5
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= sin Bcos C cos Bsin C sin Ccos B sin Bcos C
sin Acos C cos Asin C sin Ccos A sin Acos C
= sin .B∴原等式(děngshì)得证.
sin A
第二十九页，共43页。
第三十一页，共43页。
【典例】(12分）在△ABC中，已知A=45°，a=2,b= ,求2B. 【审题指导】本题中已知两边及一边的对角(duì jiǎo)，可利用 正弦定理求sinB的值，但由sinB的值求角B时，要注意角B解的个 数.
6.在△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且∠A=60°，a= ，
b=4，那么满足条件的△ABC有几个？ 6
【解析】由正弦定理
a b得：
6＝4.
∴sinB= 4 3 ＞1，si∴nA无解si(nwBú jiě)s.in60 sinB
∴满足上述条件2 的 三2角形有零个.
6
第四十三页，共43页。
第二十二页，共43页。
【例3】在△ABC中，a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状. 【审题指导(zhǐdǎo)】根据已知条件找到三角形的角的关 系，即可判断三角形的形状.
第二十三页，共43页。
【规范解答】由正弦定理(dìnglǐ)和已知条件得：
sin2A sinB sin2B sinA , 即sinA·ccoosBsA=sinB·ccoossAB,∴sin2A=sin2B,
第一页，共43页。
第二页，共43页。
1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理，并能解决(jiějué)一些简单的三角形度量问 题.(重点、难点)
第三页，共43页。
第四页，共43页。
在钝角(dùnjiǎo)△ABC中，如何证明正弦定理成立？ 提示：如图,设边BC上的高是AD,则AD=csinB, AD=bsin∠ACD=bsin∠ACB, 所以csinB=bsin∠ACB, 即 c b,
a b c =( )
sinA sinB sinC
(A) 8 3 (B) 2 39 (C) 26 3
(D) 23
【解析3】选D.由比例3(bǐlì)的基本性3质和正弦定理可知
abc
a 2 3.
sinA sinB sinC sinA
第四十一页，共43页。
5.在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A、B、C，若
∵0＜2A＜2π,0＜2B＜2π,
∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
. 2
第二十四页，共43页。
利用正弦(zhèngxián)定理证明等式 利用正弦(zhèngxián)定理实现边角互化：
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c，R为△ABC外接圆的半 径.可将正弦(zhèngxián)定理进行变形，即根据题目需要将角的 关系变为边的关系或将边的关系变为角的关系.
第二十七页，共43页。
【例】在△ABC中，求证： a ccos B sin B . 【审题指导(zhǐdǎo)】可用正弦b 定c理co把s A边化s为in角A，再通过三角公式
证明. 【规范解答】设R为△ABC外接圆的半径. 根据正弦定理，得
a ccos B 2Rsin A 2Rsin Ccos B =b ccos A 2Rsin B 2Rsin Ccos A
第三十二页，共43页。
【规范(guīfàn)解答】在△ABC中，A=45°，2a=2,b= ,
由正弦定理得sinB= 2sin45… …1 .…………………2分
2
2
∴B=30°或150°，………………………………………6分
又b= 2<a=2, ∴B<A=45°, ……………………………………………10分
sinACB sinB
同理 a ,从而b (cóng ér)在钝角△ABC中有
sinBAC sinB a b c . sinCAB sinB sinACB
第五页，共43页。
第六页，共43页。
对
a =2bR的 理c解
sinA sinB sinC
若△ABC是直角三角形，显然(xiǎnrán)成立.
若△ABC为锐角三角形，如图所示.
外接圆半径.
【审题指导】(1)中已知两角及其中一角的对边，可直接
(zhíjiē)利
c
用正弦定理求解；(2）可利用正弦定理及 sinC=2R求解.
第十三页，共43页。
【规范(guīfàn)解答】(1)由正弦定理BC知 AC ,
sinA sinB
∴AC= BCsinB 12 sin45 4 6.
三角形形状的判断 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途 径： (1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2）利用正弦定理把已知条件转化为内角(nèi jiǎo)的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角(nèi jiǎo)的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°，∴ =sicn∠AC′B.
BC 即 c=BC′=2R.
又Cs=in∠AACC′BB，∴ =c2R,
∴
a
=b2siRnC. c
同理si可n得BA当C△AsBinC为A钝BC角时si亦nC成立.
第七页，共43页。
第八页，共43页。
asinA=bsinB，则△ABC的形状为______.
【解析】由正弦(zhèngxián)定理得a ，sinA= b ,sinB= (其
2R
2R
中R为△ABC外接圆的半径),所以由asinA=bsinB得a2=b2.
又∵a>0,b>0,故a=b.
所以△ABC是等腰三角形.
答案：等腰三角形
第四十二页，共43页。
到B=30°.在解题时应注意在△ABC中，大边对大
角的应用.
第三十四页，共43页。
第三十七页，共43页。
1.在△ABC中，sinA=sinC,则△ABC是( )
(A)直角三角形
(B)等腰三角形
(C)锐角三角形
(D)钝角(dùnjiǎo)三角形
【解析】选B.由正弦定理知sinA=sinC⇒a=c,故△ABC为等腰三角形.
第九页，共43页。
正弦定理(dìnglǐ)的应 用
1.利用正弦定理可解决下列两类三角形问题： (1）已知两角及一边，求其他边和角； (2)已知两边及其中一边的对角，求其他边和角. 2.三角形解的个数的判断(pànduàn)： 已知三角形的两边和其中一边的对角，用正弦定理，可能有两 解、一解或无解三种情况.
第十七页，共43页。
【规范解答】在△ABC中，由正弦(zhèngxián)定理bsi得nA
a
sinB= 5 3,s则in30 3 .
5
2
sinB=
∵b>a,
∴B>A=30°，
∴B=60°或120°.
当B=60°时，
C=180°-(A+B）=180°-(30°+60°）=90°，
第十八页，共43页。
∴B=30°. ………………………………………………12分
第三十三页，共43页。
【误区警示】对解答本题时易犯的错误(cuòwù)具体分析
常如见下错：误
错误原因
B=30° 或150°
由正弦定理虽然求出sinB= ,1认为角B是△ABC的
2
内角，从而求出B=30°或150°，但却漏掉“b<a”
这一隐含条件，由于b<a，所以B<45°，从而得
sin A sin Ccos B， sin B sin Ccos A
第二十八页，共43页。
又∵A+B+C=180°， ∴上式＝ sin(180 B C) sin Ccos B
sin(180 A C) sin Ccos A
= sin(B C) sin Ccos B
sin(A C) sin Ccos A
sinA
sin60
(2)设三角形的外接圆半径为R，已知B=30°，C=45°，c=1，由
正弦定理得：
b =2cR,
所si以nBb= sinC
2R=
csinB 1 sin30 2 ， sinC sin45 2
c 1 2,R 2 .
sinC 2
2
2
第十四页，共43页。
【例2】在△ABC中，已知a=5,b= 5,A=330°,求c、B、C. 【审题指导】解答本题时，首先判断a与bsinA的关系(guān xì)， 若a>b,有一解；若bsinA<a<b，则有两解，然后根据B的情况求相 应的c、C.
(A)a<b (B)a≥b (C)a>b (D)a≤b
【解析(jiě xī)】选a C.∵ b
半径）,
sinA sinB
a
b
∴sinA= 2R ,sinB= 2R,
∵sinA>sinB,∴ a b,∴a>b. 2R 2R
=2R(R为△ABC外接圆的
第四十页，共43页。
4.在△ABC中，A=60°，a=3,则
第三十八页，共43页。
2.在△ABC中，a=5,b=3,C=120°,则sinA∶sinB的值是( ) (A)5∶3 (B)3∶5 (C)3∶7 (D)5∶7 【解析(jiě xī)】选A.由正弦定s理inA得 a 5 .
sinB b 3
第三十九页，共43页。
3.在△ABC中，若sinA>sinB,则有( )
第十页，共43页。
第十一页，共43页。
此类问题若结合三角形中“大边对大角(dà jiǎo)”的 结论解答，可达到事半功倍的效果.
第十二页，共43页。
【例1】(1)在△ABC中，已知BC=12,A=60°,B=45°,求AC；
(2)在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，求边b的长及三角形的
∴c= asinC ＝51s0in;90 sinA sin30
当B=120°时，
C=180°-(A+B）=180°-(30°+120°）=30°，
∴c=
=5.
asinC 5sin30
综上可知sin(Akě zhsīi)nB3=060°,C=90°，c=10，或B=120°,C=30°,c=5.
第十九页，共43页。
sin Acos C cos Asin C sin Ccos A sin Acos C
= sin .B∴原等式(děngshì)得证.
sin A
第二十九页，共43页。
第三十一页，共43页。
【典例】(12分）在△ABC中，已知A=45°，a=2,b= ,求2B. 【审题指导】本题中已知两边及一边的对角(duì jiǎo)，可利用 正弦定理求sinB的值，但由sinB的值求角B时，要注意角B解的个 数.
6.在△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且∠A=60°，a= ，
b=4，那么满足条件的△ABC有几个？ 6
【解析】由正弦定理
a b得：
6＝4.
∴sinB= 4 3 ＞1，si∴nA无解si(nwBú jiě)s.in60 sinB
∴满足上述条件2 的 三2角形有零个.
6
第四十三页，共43页。
第二十二页，共43页。
【例3】在△ABC中，a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状. 【审题指导(zhǐdǎo)】根据已知条件找到三角形的角的关 系，即可判断三角形的形状.
第二十三页，共43页。
【规范解答】由正弦定理(dìnglǐ)和已知条件得：
sin2A sinB sin2B sinA , 即sinA·ccoosBsA=sinB·ccoossAB,∴sin2A=sin2B,
第一页，共43页。
第二页，共43页。
1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理，并能解决(jiějué)一些简单的三角形度量问 题.(重点、难点)
第三页，共43页。
第四页，共43页。
在钝角(dùnjiǎo)△ABC中，如何证明正弦定理成立？ 提示：如图,设边BC上的高是AD,则AD=csinB, AD=bsin∠ACD=bsin∠ACB, 所以csinB=bsin∠ACB, 即 c b,
a b c =( )
sinA sinB sinC
(A) 8 3 (B) 2 39 (C) 26 3
(D) 23
【解析3】选D.由比例3(bǐlì)的基本性3质和正弦定理可知
abc
a 2 3.
sinA sinB sinC sinA
第四十一页，共43页。
5.在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A、B、C，若
∵0＜2A＜2π,0＜2B＜2π,
∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
. 2
第二十四页，共43页。
利用正弦(zhèngxián)定理证明等式 利用正弦(zhèngxián)定理实现边角互化：
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c，R为△ABC外接圆的半 径.可将正弦(zhèngxián)定理进行变形，即根据题目需要将角的 关系变为边的关系或将边的关系变为角的关系.
第二十七页，共43页。
【例】在△ABC中，求证： a ccos B sin B . 【审题指导(zhǐdǎo)】可用正弦b 定c理co把s A边化s为in角A，再通过三角公式
证明. 【规范解答】设R为△ABC外接圆的半径. 根据正弦定理，得
a ccos B 2Rsin A 2Rsin Ccos B =b ccos A 2Rsin B 2Rsin Ccos A
第三十二页，共43页。
【规范(guīfàn)解答】在△ABC中，A=45°，2a=2,b= ,
由正弦定理得sinB= 2sin45… …1 .…………………2分
2
2
∴B=30°或150°，………………………………………6分
又b= 2<a=2, ∴B<A=45°, ……………………………………………10分
sinACB sinB
同理 a ,从而b (cóng ér)在钝角△ABC中有
sinBAC sinB a b c . sinCAB sinB sinACB
第五页，共43页。
第六页，共43页。
对
a =2bR的 理c解
sinA sinB sinC
若△ABC是直角三角形，显然(xiǎnrán)成立.
若△ABC为锐角三角形，如图所示.
外接圆半径.
【审题指导】(1)中已知两角及其中一角的对边，可直接
(zhíjiē)利
c
用正弦定理求解；(2）可利用正弦定理及 sinC=2R求解.
第十三页，共43页。
【规范(guīfàn)解答】(1)由正弦定理BC知 AC ,
sinA sinB
∴AC= BCsinB 12 sin45 4 6.
三角形形状的判断 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途 径： (1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2）利用正弦定理把已知条件转化为内角(nèi jiǎo)的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角(nèi jiǎo)的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°，∴ =sicn∠AC′B.
BC 即 c=BC′=2R.
又Cs=in∠AACC′BB，∴ =c2R,
∴
a
=b2siRnC. c
同理si可n得BA当C△AsBinC为A钝BC角时si亦nC成立.
第七页，共43页。
第八页，共43页。
asinA=bsinB，则△ABC的形状为______.
【解析】由正弦(zhèngxián)定理得a ，sinA= b ,sinB= (其
2R
2R
中R为△ABC外接圆的半径),所以由asinA=bsinB得a2=b2.
又∵a>0,b>0,故a=b.
所以△ABC是等腰三角形.
答案：等腰三角形
第四十二页，共43页。
到B=30°.在解题时应注意在△ABC中，大边对大
角的应用.
第三十四页，共43页。
第三十七页，共43页。
1.在△ABC中，sinA=sinC,则△ABC是( )
(A)直角三角形
(B)等腰三角形
(C)锐角三角形
(D)钝角(dùnjiǎo)三角形
【解析】选B.由正弦定理知sinA=sinC⇒a=c,故△ABC为等腰三角形.
第九页，共43页。
正弦定理(dìnglǐ)的应 用
1.利用正弦定理可解决下列两类三角形问题： (1）已知两角及一边，求其他边和角； (2)已知两边及其中一边的对角，求其他边和角. 2.三角形解的个数的判断(pànduàn)： 已知三角形的两边和其中一边的对角，用正弦定理，可能有两 解、一解或无解三种情况.
第十七页，共43页。
【规范解答】在△ABC中，由正弦(zhèngxián)定理bsi得nA
a
sinB= 5 3,s则in30 3 .
5
2
sinB=
∵b>a,
∴B>A=30°，
∴B=60°或120°.
当B=60°时，
C=180°-(A+B）=180°-(30°+60°）=90°，
第十八页，共43页。
∴B=30°. ………………………………………………12分
第三十三页，共43页。
【误区警示】对解答本题时易犯的错误(cuòwù)具体分析
常如见下错：误
错误原因
B=30° 或150°
由正弦定理虽然求出sinB= ,1认为角B是△ABC的
2
内角，从而求出B=30°或150°，但却漏掉“b<a”
这一隐含条件，由于b<a，所以B<45°，从而得
sin A sin Ccos B， sin B sin Ccos A
第二十八页，共43页。
又∵A+B+C=180°， ∴上式＝ sin(180 B C) sin Ccos B
sin(180 A C) sin Ccos A
= sin(B C) sin Ccos B
sin(A C) sin Ccos A
sinA
sin60
(2)设三角形的外接圆半径为R，已知B=30°，C=45°，c=1，由
正弦定理得：
b =2cR,
所si以nBb= sinC
2R=
csinB 1 sin30 2 ， sinC sin45 2
c 1 2,R 2 .
sinC 2
2
2
第十四页，共43页。
【例2】在△ABC中，已知a=5,b= 5,A=330°,求c、B、C. 【审题指导】解答本题时，首先判断a与bsinA的关系(guān xì)， 若a>b,有一解；若bsinA<a<b，则有两解，然后根据B的情况求相 应的c、C.
(A)a<b (B)a≥b (C)a>b (D)a≤b
【解析(jiě xī)】选a C.∵ b
半径）,
sinA sinB
a
b
∴sinA= 2R ,sinB= 2R,
∵sinA>sinB,∴ a b,∴a>b. 2R 2R
=2R(R为△ABC外接圆的
第四十页，共43页。
4.在△ABC中，A=60°，a=3,则
第三十八页，共43页。
2.在△ABC中，a=5,b=3,C=120°,则sinA∶sinB的值是( ) (A)5∶3 (B)3∶5 (C)3∶7 (D)5∶7 【解析(jiě xī)】选A.由正弦定s理inA得 a 5 .
sinB b 3
第三十九页，共43页。
3.在△ABC中，若sinA>sinB,则有( )
第十页，共43页。
第十一页，共43页。
此类问题若结合三角形中“大边对大角(dà jiǎo)”的 结论解答，可达到事半功倍的效果.
第十二页，共43页。
【例1】(1)在△ABC中，已知BC=12,A=60°,B=45°,求AC；
(2)在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，求边b的长及三角形的
∴c= asinC ＝51s0in;90 sinA sin30
当B=120°时，
C=180°-(A+B）=180°-(30°+120°）=30°，
∴c=
=5.
asinC 5sin30
综上可知sin(Akě zhsīi)nB3=060°,C=90°，c=10，或B=120°,C=30°,c=5.
第十九页，共43页。