江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高一下学期月度调研测试数学试题 答案和解析
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5．在正方体 中， 与平面 所成角的大小为______.
6． 中， ， ， ， 的面积为 ，则 __________．
7．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则此三角形的外接圆的面积为______.
8．在 中，已知 ， ，则 的值为______.
9． 垂直于 所在的平面， ， ，则 与平面 所成角的正切值为______.
10．如图，在一个塔底的水平面上 点，测得某塔 的塔顶 的仰角为 ，由此点向塔底沿直线行走了 到达 点，测得塔顶的仰角为 ，再向塔底前进 到达 点，又测得塔顶的仰角为 ，则该塔的高度为______ .
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
【详解】
对①：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，①中的直线AB在平面 内，故①不正确；
对②：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故②正确；
对③：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故③不正确；
对④，图2也是反例，故④不正确.
综上所述：错误的有：②③④.
故与直线的位置关系中，异面直线的位置关系；在完成此类题目时，根据题意作图，可简化思考过程，且一目了然.
3．
【分析】
由在 中,由正弦定理求得 ,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然后根据三角形内角和为 ,即可求出A角的大小,再由 的面积为 运算求得结果.
取线段BC的中点为M，连接PM、MR，作图如下：
在 中，因为M、R分别为BC、CD中点，
所以：MR//BD，同理可得：MP//AC，
故 为异面直线AC与BD的夹角或其补角.
在 中， ，
，又 ，
故 ，
又异面直线夹角的范围为： ，
故
故答案为：90 .
【点睛】
本题考查异面直线夹角的求解，一般步骤是：平移，使得两条直线相交，找到异面直线的夹角，在三角形中利用余弦定理求解.
【详解】
解:在 中,如果 ,由正弦定理得 .
又 ,由余弦定理,可得: ,
解得 ,故 是等腰三角形, 故 的面积为 ,
故答案为 .
【点睛】
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,求得
是解题的关键,属于中档题.
4．90
【分析】
通过作BC的中点，将AC与BD进行平移；在三角形中，根据余弦定理可求得夹角.
【详解】
2．若 ， 为两条异面直线， ， 为两个平面， ， ， ，则下列结论中错误的序号是______.
① 至少与 ， 中一条相交；② 至多与 ， 中一条相交；
③ 至少与 ， 中一条平行；④ 必与 ， 中一条相交，与另一条平行.
3．在△ 中，角 的对边分别是 ，
若 ， ， ，则△ 的面积是▲．
4．空间四边形 中， ､ 分别是 ､ 的中点， ， ， ，那么直线 与 所成角的大小是______.
二、解答题
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ， 的值．
16．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，点 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证: .
17．在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 , , ．
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________
12．在 中，若 ，则 的最大值为______.
13．在 中，已知 ， ，点 在 边上，且 ， ，则 的长为______.
14．如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一动点，则当 最小时， 的面积为______.
（2）求证： ；
（3）求直线 与平面 所成的角的正切值.
20．如图， 是两条平行直线 ， 之间的一个定点，且点 到 ， 的距离分别为 ， ，设 的另外两个顶点 ， 分别在 ， 上运动， ， ， ，且满足 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最大值.
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
四个选项均可用立体几何中的公理及公理的推论进行判别.
（1）求 ；
（2）若 为 外接圆劣弧AC上的一点，且 ，求四边形 的面积．
18．如图，在三棱锥 ， 平面 ，已知 ，点 ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 在线段 上，满足 平面 ，求 的值.
19．如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
5．30
【分析】
过C点作平面 的垂线，找到直线 在平面中的射影，再利用三角函数求解.
【详解】
根据题意，连接AC交BD于H，连接 ，作图如下：
因为AC ， ，
故直线 平面 ，
故 即为所求线面角.
设正方体的棱长为2，
在 中，容易知：
，
故 ，
又因为线面角的范围为：
故 =30
故答案为：30 .
【点睛】
本题考查线面角的求解，其一般步骤为：过直线上一点作平面的垂线，找到该直线在平面中的射影，最后利用三角函数求解.
江苏省苏州中学园区校【最新】高一下学期月度调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是______个.
①线段 在平面 内，则直线 不在平面 内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④空间三点确定一个平面.
【详解】
根据题意，异面直线 ， 与平面 ， 的位置关系有以下两种可能：
（图1）
（图2）
对①，用反证法.
若直线 和直线 都不相交，
又因为直线 与 均共面，
则可得直线 //直线 ，
直线 //直线 ，则 // ，
两直线共面，
与两直线异面矛盾，
故①正确；
对②，图2即是反例，故②不正确；
对③，图2也是反例，故③不正确；
对④：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点，不一定确定一个平面.故④不正确；
综上所述，只有②正确.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属同步基础知识考查和辨析.
2．②③④
【分析】
根据空间中直线与直线的位置关系，可以通过作图来说明四个选项的正误.
6． 中， ， ， ， 的面积为 ，则 __________．
7．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则此三角形的外接圆的面积为______.
8．在 中，已知 ， ，则 的值为______.
9． 垂直于 所在的平面， ， ，则 与平面 所成角的正切值为______.
10．如图，在一个塔底的水平面上 点，测得某塔 的塔顶 的仰角为 ，由此点向塔底沿直线行走了 到达 点，测得塔顶的仰角为 ，再向塔底前进 到达 点，又测得塔顶的仰角为 ，则该塔的高度为______ .
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
【详解】
对①：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，①中的直线AB在平面 内，故①不正确；
对②：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故②正确；
对③：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故③不正确；
对④，图2也是反例，故④不正确.
综上所述：错误的有：②③④.
故与直线的位置关系中，异面直线的位置关系；在完成此类题目时，根据题意作图，可简化思考过程，且一目了然.
3．
【分析】
由在 中,由正弦定理求得 ,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然后根据三角形内角和为 ,即可求出A角的大小,再由 的面积为 运算求得结果.
取线段BC的中点为M，连接PM、MR，作图如下：
在 中，因为M、R分别为BC、CD中点，
所以：MR//BD，同理可得：MP//AC，
故 为异面直线AC与BD的夹角或其补角.
在 中， ，
，又 ，
故 ，
又异面直线夹角的范围为： ，
故
故答案为：90 .
【点睛】
本题考查异面直线夹角的求解，一般步骤是：平移，使得两条直线相交，找到异面直线的夹角，在三角形中利用余弦定理求解.
【详解】
解:在 中,如果 ,由正弦定理得 .
又 ,由余弦定理,可得: ,
解得 ,故 是等腰三角形, 故 的面积为 ,
故答案为 .
【点睛】
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,求得
是解题的关键,属于中档题.
4．90
【分析】
通过作BC的中点，将AC与BD进行平移；在三角形中，根据余弦定理可求得夹角.
【详解】
2．若 ， 为两条异面直线， ， 为两个平面， ， ， ，则下列结论中错误的序号是______.
① 至少与 ， 中一条相交；② 至多与 ， 中一条相交；
③ 至少与 ， 中一条平行；④ 必与 ， 中一条相交，与另一条平行.
3．在△ 中，角 的对边分别是 ，
若 ， ， ，则△ 的面积是▲．
4．空间四边形 中， ､ 分别是 ､ 的中点， ， ， ，那么直线 与 所成角的大小是______.
二、解答题
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ， 的值．
16．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，点 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证: .
17．在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 , , ．
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________
12．在 中，若 ，则 的最大值为______.
13．在 中，已知 ， ，点 在 边上，且 ， ，则 的长为______.
14．如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一动点，则当 最小时， 的面积为______.
（2）求证： ；
（3）求直线 与平面 所成的角的正切值.
20．如图， 是两条平行直线 ， 之间的一个定点，且点 到 ， 的距离分别为 ， ，设 的另外两个顶点 ， 分别在 ， 上运动， ， ， ，且满足 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最大值.
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
四个选项均可用立体几何中的公理及公理的推论进行判别.
（1）求 ；
（2）若 为 外接圆劣弧AC上的一点，且 ，求四边形 的面积．
18．如图，在三棱锥 ， 平面 ，已知 ，点 ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 在线段 上，满足 平面 ，求 的值.
19．如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
5．30
【分析】
过C点作平面 的垂线，找到直线 在平面中的射影，再利用三角函数求解.
【详解】
根据题意，连接AC交BD于H，连接 ，作图如下：
因为AC ， ，
故直线 平面 ，
故 即为所求线面角.
设正方体的棱长为2，
在 中，容易知：
，
故 ，
又因为线面角的范围为：
故 =30
故答案为：30 .
【点睛】
本题考查线面角的求解，其一般步骤为：过直线上一点作平面的垂线，找到该直线在平面中的射影，最后利用三角函数求解.
江苏省苏州中学园区校【最新】高一下学期月度调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是______个.
①线段 在平面 内，则直线 不在平面 内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④空间三点确定一个平面.
【详解】
根据题意，异面直线 ， 与平面 ， 的位置关系有以下两种可能：
（图1）
（图2）
对①，用反证法.
若直线 和直线 都不相交，
又因为直线 与 均共面，
则可得直线 //直线 ，
直线 //直线 ，则 // ，
两直线共面，
与两直线异面矛盾，
故①正确；
对②，图2即是反例，故②不正确；
对③，图2也是反例，故③不正确；
对④：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点，不一定确定一个平面.故④不正确；
综上所述，只有②正确.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属同步基础知识考查和辨析.
2．②③④
【分析】
根据空间中直线与直线的位置关系，可以通过作图来说明四个选项的正误.