高中数学新人教A版选修4-5第一讲 三个正数的算术-几何平均不等式3 课时提升卷 (1)4
人教A版选修4-5：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件(共23张PPT)
Qy1g4xgx(15x)1(4xx15x)3 1 ,
4
4
3
108
ymax
1. 108
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
解：y 5 x2 ( 2 2 x) 5 xgx( 2 2 x),
25
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q 0 x 1 , 2 2 x 0, 55
数相 加 等于定值.
12x2(1x2)1(x2)
2
1(2x21x21x2)34
2
3
27
当 2 x 2 1 x 2 ,x3 3 时 ,y 2 m a2 4 x,y 7 m a9 2 x3 .
二、用基本不等式证明不等式
例5、已知x，y，zR+，求证：
（x+y+z） 327xyz。
证 明 ： 因 为 xyz3xyz， 所 以 3
3.对不等式 abc成3立abc的a,b,c的理解 3
(1)在不等式中a,b,c的范围是a>0,b>0,c>0.
(2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值,
当且仅当三个正数相等时取等号.
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
下面的解法对吗？
若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
证明：a 3 b3 c3 3abc
(a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc
(a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c 2 3ab(a b c)
类比两个正数基本不等式的形式：ab 2 ab
人教A版高中数学选修4-5课件第一讲一3.三个正数的算术
94.
方法感悟
1．公式a＋2 b≥ ab，a＋3b＋c≥3 abc都
是
a1＋a2＋a3＋…＋an n
≥
n
a1a2a3…an 的
特例．
其使用条件都是“R＋”中，“＝”成立
条件都是“每个数都相等”．
2．利用上述公式求最值时要注意三点： (1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必 须都是正数，若不是正数，必须变为正数．
3 ≥3
x2·1x·2x＝33 2.
【错因】 要使 y＝33 2，必须有 x2＝1x ＝2x，这时无解． 3x的拆项出错， 使不等式不能取到“＝”．
【自我校正】 ∵x>0， ∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x
3 ≥3
x2·23x·23x＝3 3
9 4.
当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
变式训练 3 当 x>0 时，求 y＝3x＋x12的最 小值．
解：∵x>0， ∴y＝3x＋x12＝32x＋32x＋x12
3 ≥3
32x·32x·x12＝3
3
94，
当
且
仅
当
3 2
x
＝
1 x2
，
即
x＝
“＝”，
3
2 3
时
取
∴当 x＝
3
23时，ymin＝3
3
9 4.
误区警示 例 当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值． 【错解】 y＝x2＋3x＝x2＋1x＋2x
例3 已知 x>0，求 y＝4x2＋1x的最小值． 【思路点拨】 为使其积为定值，即把 x2 约掉，须把1x拆开为21x＋21x.
数学人教A版选修4-5学案：第一讲一不等式第3课时 含解析 精品
3.三个正数的算术－几何平均不等式1．了解三个正数的算术－几何平均不等式．2．会应用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单问题．1．三个正数的算术－几何平均不等式如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥________，当且仅当________ 时，等号成立．【做一做1－1】 若x ＞0，则4x ＋9x 2的最小值是( )A ．9B ．3336C ．13D ．不存在【做一做1－2】 若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B.2333C.332D.2232．n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术－几何平均不等式对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均______它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a nn____________.当且仅当____________时，等号成立．从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点． 【做一做2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋ac )≥______.答案：1.3abc a ＝b ＝c【做一做1－1】 B ∵x ＞0，∴4x ＋9x 2＝2x ＋2x ＋9x 2≥3336，当且仅当2x ＝9x 2，即x＝12336时等号成立． 【做一做1－2】 A ∵log x y ＝－2，∴x ＞0且x ≠1，y ＞0，且y ＝x －2.∴x ＋y ＝x ＋x－2＝x 2＋x 2＋1x 2≥3314＝3322.当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时等号成立．2．不小于 ≥na 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n 【做一做2】 9 (ab ＋bc ＋c a )(b a ＋c b ＋ac )＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab≥3＋66bc a 2·ac b 2·ab c 2·a 2bc ·b 2ca ·c 2ab ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．1．三个正数或三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件 剖析：“一正”：不论是三个数的或者n 个数的算术－几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术－几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 应用三个正数的算术－几何平均不等式求函数的最值 【例1】 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方．反思：拼凑数学结构，以便能利用算术－几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12(x ＋2－2x ＋1＋x 3)3＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．题型二 应用三个正数的算术－几何平均不等式证明不等式【例2】 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术－几何平均不等式证明．反思：三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致． 题型三 应用三个正数的算术－几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→将它代入E ＝k sin θr2―→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解反思：处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．答案：【例1】 解：∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12(2x 2＋1－x 2＋1－x 23)3＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2， 即x ＝33时取等号成立． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.【例2】 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．【例3】 解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0＜θ＜π2)，∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·(2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ)3)3＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．1．已知θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．2．求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大． 3．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2(1－x )的最大值．4．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：333111abc a b c +++≥答案：1．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因式的和为定值．要特别注意sin 2θ＋cos 2θ＝1的应用．解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×32()3＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝3时取等号．此时y max ＝9. 2．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥而这里A 为定值，即A ≥V xy ＝yz ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以当所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．3．分析：本题积结构中x 2＝x ·x ，所以y ＝x 2(1－x )＝x ×x (1－x )，为使“和”为定值，还需拼凑系数．解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x )＝x ·x ·(2－2x )×12≤3122()23x x x ++-＝18227⨯＝427.当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y 的最大值为427.4．证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，由算术－几何平均不等式可得333111a b c ++≥ 即333111a b c ++≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以333111abc a b c +++≥3abc abc+.而3abc abc +≥当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)，所以333111abc a b c+++≥当且仅当a ＝b ＝c )．。
2020_2021学年高中数学第1讲第3课时三个正数的算术_几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥__3_a_b_c_，当且仅 当__a_＝__b_＝__c__时等号成立．
2．如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥__3__a_b_c__，当且仅 当__a_＝__b_＝__c__时等号成立．
1．若正实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，则 abc 的最大值
∴梯形的面积为 S＝12(2x＋2)(1－x2)＝(1＋x)(1－x2)，x∈ (0,1)．
S＝(1＋x)(1－x2)＝(1＋x)(1＋x)(1－x)＝12(1＋x)(1＋x)(2－ 2x)≤12×1＋x＋1＋3x＋2－2x3＝3227，
当且仅当 x＋1＝2－2x，即 x＝13时，S 取得最大值且最大 值为3227.
用算术—几何平均不等式求最值
【例1】 已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及 达到最小值时x，y的值．
【解题探究】 依据约束条件x2y＝4进行配凑，使用平均 不等式即可获得所求．
【解析】∵x，y∈R＋且 x2y＝4， ∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2·y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
要善于观察不等式的结构，合理配凑，加 强目标意识，利用基本不等式进行证明．
3．设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3. 【证明】∵a，b，c 为正实数，
∴a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13＝a3bc.
则a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abC．
－
2x)2
＝
x(a
－
2x)(a
－
2x)
＝
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教A版选修4-5
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
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1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
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3
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栏 目 链 接
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►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
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接
x2)×，求出最值后再开方．
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点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
高中数学人教A版选修4-5创新应用第一讲 第1节 第3课时 三个正数的算术-几何平均不等式 课件
即当 2πr2＝Vr ，
3 r＝
2Vπ时表面积最小．此时 h＝2r.
3 即饮料盒的底面半径为 r＝
2Vπ，
高为 2 3 2Vπ时，用料最省．
本课时经常考查算术-几何平均不等式在求最值中的应
n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[问题思考]
1．满足不等式a＋3b＋c≥3 abc成立的 a，b，c 的范 围是什么？
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0．
2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最 值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为 定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
三个正数的算术-几何平均不等式定理，是根据不等式 的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定 理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是 在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备 “一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术-几何平 均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼 凑出利用其算术-几何平均不等式的条件，然后再求 解．
∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2 ＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247. 当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
人教A版高中数学选修4-5第1讲 3. 三个正数的算数-几何平均不等式 名师公开课市级获奖课件(38张)
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[再练一题] 1．设 a，b，c
1 1 1 为正数，求证：a3＋b3＋c3(a＋b＋c)3≥81.
【导学号：32750013】
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【证明】 因为 a，b，c 为正数， 1 1 1 所以有a3＋b3＋c3≥3
3
3
1 1 1 3 a3· b3· c3＝abc＞0.
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教材整理 3 利用基本不等式求最值 阅读教材 P9～P9“习题 1.1”以上部分，完成下列问题． 若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 a＝b＝c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和a＋b＋c 有最小值．
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4 设 x＞0，则 y＝x＋x2的最小值为( A．2 C．3 2
【解析】
)
【导学号：32750012】
B．2 2 D.3
3 x x 4 4 x x 4 y＝x＋x2＝2＋2＋x2≥3· 2· 2· x2＝3，
x 4 当且仅当2＝x2时取“＝”号．
【答案】 D
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
数学·选修4-5(人教A版)课件：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
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类型 2 利用定理 3 证明不等式 [典例 2] 设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋ abc≥2 3. 解：因为 a，b，c 为正实数， 由三个正数的算术—几何平均不等式可得： a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc，
12
即可得出 C 正确． 答案：C
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3．若 x＞0，则 4x＋x92的最小值是(
)
A．9
3
B．3 36
C．13
D．不存在解析：因为 x＞源自，所以 4x＋x92＝2x＋2x＋x92≥33 36，
3
9
36
当且仅当 2x＝x2，即 x＝ 2 时，等号成立．
答案：B
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所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 又因为a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3， 当且仅当 a＝b＝c＝6 3时，等号成立．
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归纳升华 利用定理 3 证明不等式时，应从式子的结构入手进行 分析，通过变形转化为三个正数的算术平均或几何平均不 等式，进而达到证明不等式．
解析：如图，设圆柱半径为 R，高为 h，
则 4R＋2h＝6，即 2R＋h＝3.
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V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤πR＋R3 ＋h3＝π，当且仅 当 R＝R＝h＝1 时取等号．
答案：B
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1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5：第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式
3．三个正数的算术—几何平均不等式对应学生用书P81．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．对应学生用书P8[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证： b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [思路点拨] 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．[证明] b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a b ＋b c －3≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c －3＝6－3＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a ，b ，c ＞0，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c ＞0，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥33a j (j ＝2,3，…n )．将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33a n ) ＝3n ·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n . 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝⎛⎭⎫1<x <32的最大值． (2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x >1)的最小值．[思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． 解：(1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x ) ＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝⎛⎭⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ， 即x ＝43∈⎝⎛⎭⎫1，32时，y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4， 当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2， 即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D.52解析：∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52. 答案：D4．若0＜x ＜1，则函数y ＝x 4(1－x 2)的最大值是________，此时x ＝________. 解析：因为0＜x ＜1，所以y ＝x 4(1－x 2)＝12x 2·x 2(2－2x 2)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋2－2x 233＝427，当且仅当x 2＝x 2＝2－2x 2，即x ＝63时，函数y ＝x 4(1－x 2)取得最大值427.答案：427 63[例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨] 根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr 2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 [解] ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108. 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝ 2.即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V ，长、宽、高分别是a ，b ，c ， 则V ＝abc ，S ＝2ab ＋2bc ＋2ac .V 2＝(abc )2＝(ab )(bc )(ac )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋ac 33＝⎝⎛⎭⎫S 63＝S 3216.当且仅当ab ＝bc ＝ac ，即a ＝b ＝c 时，上式取“＝”号，V 2取最小值S 3216.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝c ，2ab ＋2bc ＋2ac ＝S ，解得a ＝b ＝c ＝6S 6.即当长方体的长宽高都等于6S 6时，体积最大，最大值为S 6S36.对应学生用书P101．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x ＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，∴y max ＝881.解析：A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：C2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：∵ab 2＝4a ×b 2×b2≤4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋b 233＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 33＝4×13＝4， 当且仅当a ＝b2＝1时，等号成立．即ab 2的最大值为4. 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B.833C.332D.223解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时取等号． 答案：A4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x )≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23.∴x (1－x )2≤427⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝13时取等号. 答案：4276．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．解析：a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0.则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：87．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ， ∵x －a >0.∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ， ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2即x ＝a ＋1时，取等号．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．设x ，y ，z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值． 解：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2x 3z ≤1⎝⎛⎭⎫当x2＝y ＝4z 时，取“＝”.∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.10．有一块边长为36 cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A 1F 1＝x ，则AF 1＝3x ， ∴A 1B 1＝F 1F 2＝36－23x . ∴V ＝34(36－23x )2·x ＝332(63－x )(63－x )·2x . ∵0＜x ＜63，∴63－x ＞0. ∴V ≤332⎝ ⎛⎭⎪⎫63－x ＋63－x ＋2x 33. 又(63－x )＋(63－x )＋2x ＝123，∴当63－x ＝2x ，即x ＝23时，V 有最大值， 这时V 最大＝332·(43)3＝864(cm 3)．∵S 四边形A 1F 1AE 2＝x ·3x ＝3x 2＝123(cm 2)， ∴三个四边形面积之和等于36 3 cm 2.。
高中数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术--几何平
1.1.3 三个正数的算术-几何平均值不等式【学习目标】1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值.【复习导入】1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式)：如果,a b R ∈, 那么 .当且仅当 时, 等号成立.推论10. 两个正数的算术平均数2b a +, 几何平均数ab , 平方平均数222b a +, 调和平均数b a ab +2， 从小到大的排列是:热身训练(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6(2) 在算式“4130⨯∆+⨯O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，〇）应为 .【合作探究】☆探究：类比基本不等式：如果+∈Rb a ,, 那么2a b +≥当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.建构新知：定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 定理3的文字表述:推论 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的即 当且仅当a b c ==时, 等号成立.【典型例题】例1.已知,,0a b c >，求证：()1. 3b c a a b c ++≥()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()3331113. abc a b c +++≥例2 用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例3 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:【课堂检测】1.设a,b,c R ∈，且a,b,c 不全相等，则不等式3333a b c abc ++≥成立的一个充要条件是 ( )A. a,b,c R +∈B. a+b+c 0≥C. a+b+c 0>D. a,b,c 0≥2. 函数()()()()210,1f x x x x =-∈的最大值是______________.3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则V 的最大值为 .4.制造容积为2π立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平米30元，做侧面的金属板的价格为每平米20元，要使用料成本最低，求此圆柱形桶的底面半径和高为多少？【总结提升】1.n 个正数12,,,n a a a ，则12n a a a n+++12n a a a === ，这是算术平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 .2. 算数-几何平均数不等式是针对n 个正数而言的，否则不一定成立.3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行.4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.。
最新年高中数学 第一讲 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练 新人教A版选修4-5(考试必备)
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则( )A．x＋y＋z的最大值是3 2B．x＋y＋z的最大值是332C．x＋y＋z的最小值是3 2D．x＋y＋z的最小值是332解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥33xyz＝332，当且仅当x＝y＝z＝32时，x＋y＋z取得最小值332.答案：D2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a的值为( ) A．n n B．2nC．n2D．2n＋1解析：x＋ax n ＝xn＋xn＋…＋xn,\s\up6(,n个))＋ax n，要使和式的积为定值，则必须n n＝a.答案：A3．若a＞b＞0，则a＋1b（a－b）的最小值为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＋1b（a－b）＝(a－b)＋b＋1b（a－b）≥33（a－b）·b·1b（a－b）＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋1b（a－b）的最小值为3.答案：D4．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B5．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C 二、填空题6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．解析：设这三个正数分别是a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，abc 取得最大值127.答案：1277．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________． 解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027， 当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027.答案：250278．若实数x ，y 满足x ，y ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________． 解析：由x 2y ＝2，得y ＝2x2，代入xy ＋x 2，得xy ＋x 2＝x ·2x 2＋x 2＝2x ＋x 2＝1x ＋1x＋x 2≥3，当且仅当1x＝x 2，即x ＝1，y ＝2时取等号．答案：3 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． 所以y max ＝239.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立．B 级 能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B2．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）的最小值为______．解析：因为a ＞2，b ＞3，所以a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）＝(a －2)＋(b －3)＋1（a －2）（b －3）＋5≥33（a －2）×（b －3）×1（a －2）（b －3）＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1（a －2）（b －3），即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：83.如图，在一张半径是2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r ＝2cos θ，所以E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，所以E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，所以h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． 所以当灯的高度h 为 2 m 时，才能使桌子边缘处最亮．。
人教A版数学选修4第一讲一三个正数的算术-几何平均不等式3
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课时提升卷(三)三个正数的算术-几何平均不等式（45分钟100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设x,y,z ∈R +且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2] C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)2.若实数x,y 满足xy>0,且x 2y=2,则xy+x 2的最小值是 ( ) A.1B.2C.3D.43.若a,b,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为 ( )A.9B.8C.3D.134.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为 ( )A.3√63B.2C.12D.12√535.当0≤x ≤15时,函数y=x 2(1-5x)的最大值为 ( )A.125B.13C.4675D.无最大值6.设a,b,c ∈R +,且a+b+c=1,若M=(1a−1)·(1b−1)·(1c−1),则必有 ( ) A.0≤M<18B.18≤M<1C.1≤M<8D.M ≥8二、填空题(每小题8分,共24分)7.若x>0,y>0且xy 2=4,则x+2y 的最小值为 . 8.若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即a*b=a+b 2,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c 都能成立的一个等式可以是 .9.(2013·扬州高二检测)设正数a,b,c 满足a+b+c=1,则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为 .三、解答题(10～11题各14分,12题18分) 10.求函数f(x)=x(5-2x)2(0<x <52)的最大值.11.(2013·常州高二检测)已知x,y 均为正数,且x>y, 求证:2x+1x 2−2xy+y 2≥2y+3.12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.答案解析1.【解析】选B.因为x,y,z ∈R +, 所以6=x+y+z ≥3√xyz 3,即xyz ≤8, 所以lgx+lgy+lgz=lgxyz ≤lg8=3lg2. 2.【解析】选C.xy+x 2=12xy+12xy+x 2≥3√12xy ×12xy ×x 23=3√14(x 2y)23=3,当且仅当12xy=x 2时,等号成立.3.【解析】选A.因为a,b,c 为正数,且a+b+c=1, 所以a+b+c ≥3√abc 3,所以0<abc ≤127,1abc≥27,所以1a +1b +1c ≥3√1abc 3≥3√273=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立. 4.【解析】选C.因为2x >0,4y >0,8z >0, 所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3x ·22y ·23z 3=3x+2y+3z 3=3×4=12. 当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=23时取等号.5.【解析】选C.y=x 2(1-5x)=52x 2(25−2x)=52x ·x ·(25−2x).因为0≤x ≤15,所以25-2x≥0, 所以y ≤52[x+x+(25−2x)3]3=4675,当且仅当x=25-2x,即x=215时,y max =4675. 6.【解析】选D.M=(a+b+c a −1)(a+b+cb−1)(a+b+c c−1)=(b+c)(a+c)(a+b)abc≥8√bc·√ac·√ababc=8,当且仅当a=b=c 时等号成立.7.【解析】由xy 2=4,得x+2y=x+y+y ≥3√x ·y ·y 3=3√xy 23=3√43,当且仅当x=y=√43时等号成立. 答案:3√438.【解析】由题意知a+(b*c)=a+b+c 2=2a+b+c 2,(a+b)*(a+c)=(a+b)+(a+c)2=2a+b+c2,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c). 答案:a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解析】因为a,b,c 均为正数,且a+b+c=1, 所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是(13a+2+13b+2+13c+2)[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥3√1(3a+2)(3b+2)(3c+2)3· 3√(3a +2)(3b +2)(3c +2)3=9,当且仅当a=b=c=13时等号成立,即13a+2+13b+2+13c+2≥1,故13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1.答案:110.【解析】f(x)=x(5-2x)2=14×4x(5-2x)(5-2x)≤14(4x+5−2x+5−2x 3)3=25027.当且仅当4x=5-2x,即x=56时,等号成立. 所以函数的最大值是25027.【拓展提升】用平均不等式求最值利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.11.【证明】因为x>0,y>0,x-y>0, 2x+1x 2−2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x−y)2=(x-y)+(x-y)+1(x−y)2≥3√(x −y)21(x−y)23=3,所以2x+1x 2−2xy+y 2≥2y+3.12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.【解析】设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h, 由图(3)可有2h+√3x=√3,所以h=√32(1-x),V=S 底·h=6×√34x 2·h=3√32x 2·√32·(1-x)=2√3×3√32×x 2×x2×(1-x) ≤9×x 2+x2+1−x 3)3=13.当且仅当x2=1-x,即x=23时,等号成立.所以当底面边长为23时,正六棱柱容器容积最大,为13.关闭Word 文档返回原板块。
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课时提升卷(三)
三个正数的算术-几何平均不等式
（45分钟100分）
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.设x,y,z∈R+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是()
A.(-∞,lg6]
B.(-∞,3lg2]
C.[lg6,+∞)
D.[3lg2,+∞)
2.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()
A.1
B.2
C.3
D.4
3.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
的最小值为()
A.9
B.8
C.3
D.错误！未找到引用源。
4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()
A.3错误！未找到引用源。
B.2错误！未找到引用源。
C.12
D.12错误！未找到引用源。
5.当0≤x≤错误！未找到引用源。
时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()
A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.无最大值
6.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
,则必有()
A.0≤M<错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
≤M<1
C.1≤M<8
D.M≥8
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.若x>0,y>0且xy2=4,则x+2y的最小值为.
8.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=错误！未找到引用源。
,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.
9.( 2013·扬州高二检测)设正数a,b,c满足a+b+c=1,则错误！未找到引用源。
+
错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
的最小值为.
三、解答题(10～11题各14分,12题18分)
10.求函数f(x)=x(5-2x)2错误！未找到引用源。
的最大值.
11.(2013·常州高二检测)已知x,y均为正数,且x>y,
求证:2x+错误！未找到引用源。
≥2y+3.
12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.
答案解析
1.【解析】选B.因为x,y,z∈R+,
所以6=x+y+z≥3错误！未找到引用源。
,即xyz≤8,
所以lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2.
2.【解析】选C.xy+x2=错误！未找到引用源。
xy+错误！未找到引用源。
xy+x2≥
3错误！未找到引用源。
=3错误！未找到引用源。
=3,
当且仅当错误！未找到引用源。
xy=x2时,等号成立.
3.【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,
所以a+b+c≥3错误！未找到引用源。
,所以0<abc≤错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
≥27,
所以错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
≥3错误！未找到引用源。
≥3错误！未找到引用源。
=9.
当且仅当a=b=c=错误！未找到引用源。
时等号成立.
4.【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,
所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3错误！未找到引用源。
=3错误！未找到引用源。
=3×4=12.
当且仅当2x=22y=23z,
即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=错误！未找到引用源。
时取等号.
5.【解析】选C.y=x2(1-5x)=错误！未找到引用源。
x2错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
x·x·错误！未找到引用源。
.因为0≤x≤错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
-2x≥0,
所以y≤错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,
当且仅当x=错误！未找到引用源。
-2x,即x=错误！未找到引用源。
时,y max=错误！未找到引用源。
.
6.【解析】选D.M=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
≥错误！未找到引用源。
=8,
当且仅当a=b=c时等号成立.
7.【解析】由xy2=4,得x+2y=x+y+y≥3错误！未找到引用源。
=3错误！未找到引用源。
=3错误！未找到引用源。
,当且仅当x=y=错误！未找到引用源。
时等号成立.
答案:3错误！未找到引用源。
8.【解析】由题意知a+(b*c)=a+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
, (a+b)*(a+c)=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,
所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).
答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c)
9.【解析】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,
所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
于是错误！未找到引用源。
[(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)]≥3错误！未找到引用源。
·3错误！未找到引用源。
=9,
当且仅当a=b=c=错误！未找到引用源。
时等号成立,
即错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
≥1,故错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
的最小值为1.
答案:1
10.【解析】f(x)=x(5-2x)2=错误！未找到引用源。
×4x(5-2x)(5-2x)
≤错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.
当且仅当4x=5-2x,即x=错误！未找到引用源。
时,等号成立.
所以函数的最大值是错误！未找到引用源。
.
【拓展提升】用平均不等式求最值
利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及
能使等号成立的条件.
当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.
11.【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,
2x+错误！未找到引用源。
-2y=2(x-y)+错误！未找到引用源。
=(x-y)+(x-y)+错误！未找到引用源。
≥3错误！未找到引用源。
=3,
所以2x+错误！未找到引用源。
≥2y+3.
12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.
【解析】设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,
由图(3)可有2h+错误！未找到引用源。
x=错误！未找到引用源。
,
·h=6×错误！未找到引用源。
x2·h=所以h=错误！未找到引用源。
(1-x),V=S
底
错误！未找到引用源。
x2·错误！未找到引用源。
·(1-x)=2错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×(1-x) ≤9×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.
当且仅当错误！未找到引用源。
=1-x,即x=错误！未找到引用源。
时,等号成立. 所以当底面边长为错误！未找到引用源。
时,正六棱柱容器容积最大,为错误！未找到引用源。
.。