等额还款数学模型与计算

等额还款数学模型与计算
在银行贷款中，通常采用等额还款。

假定银行贷款的年利率为p ，贷款K 元，分m 年采用每月等额还款方式还清。

问每月还款多少元？总共还的钱是多少？每月还款中还本金和利息各是多少元？分别考虑每月等额还款和每月等额还本金方式。

并对比二者的不同。

如贷款160000元，分5年还清，年利率为4.032%。

给给出每种情况下每月的还款额，各自总共还款是多少？
方案一：每月还总款等额
解：设第i 月还本金i x 元，月利率/12r p =。

每月还款都为a 元。

第i 月后所剩本金为i y 。

则第n 月后所剩本金为11n
n n n i i y y x K x -==-=-∑
则
第一月共还款为：1.a x K r =+ （1）
第
二月还款满足：2121.()a x y r x K x r =+=+- （2）
第
三月还款满足：32312.()a x y r x K x x r =+=+--
（3） 第n 月还款满足：13121.()n n n a x y r x K x x x r --=+=+----L （4） 第1n +月还款满足：11121.()n n n n n a x y r x K x x x x r ++-=+=+-----L （5） 则(1)-(2)有： 21(1)x x r =+
(2)-(3)有： 2321(1)(1)x x r x r =+=+
(4)-(5)有： 11(1)(1)n n n x x r x r +=+=+
贷款分m 年还清，共12m 个月。

则有：
即 12111(1)m
i i x r K -=+=∑ 则：121(1)1m r x K r
+-= 所以： 112.(1)1
m K r x r =+- 每月还款 121212.(1).(1)1(1)1
m
m m K r r a K r Kr r r +=+=+-+- 其中本金每月为 112.(1)1
m K r x r =+-,…, 11(1)(1)n n n x x r x r +=+=+ 利息每月为1.L K r =，…,1.n n L y r -=
总共还款12Total m a =⨯⨯元
如贷款160000元，分5年还清，年利率为4.032%。

Matlab 程序：
K=160000; %贷款金额
m=5; %还款年限
p=0.04032; %年利率
r=p/12; %月利率
n=m*12;
x=zeros(1,n); %每月还本金
y=zeros(1,n); %每月所剩本金
L=zeros(1,n); %每月还利息
a=K*r*(1+r)^n/((1+r)^n-1) ; %每月等额还款
L(1)=K*r;
x(1)=a-L(1);
y(1)=K-x(1);
for i=2:n
L(i)=y(i-1)*r;
x(i)=a-L(i);
y(i)=y(i-1)-x(i);
end
fprintf('贷款%6d元,总共还款%5.2f元\n\n',K,n*a);
fprintf('月还款金额还本金还利息余本金\n');
for i=1:n
fprintf('%2d %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f\n',i,a,x(i),L(i),y(i)); end
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，则计算结果如下（银行的还款计划表）：
贷款160000元,总共还款176937.28元
月还款金额还本金还利息余本金
1 2948.95 2411.35 537.60 157588.65
2 2948.95 2419.46 529.50 155169.19
3 2948.95 2427.59 521.37 152741.60
4 2948.9
5 2435.74 513.21 150305.86
5 2948.95 2443.93 505.03 147861.93
6 2948.95 2452.14 496.82 145409.79
7 2948.95 2460.38 488.58 142949.42
8 2948.95 2468.64 480.31 140480.77
9 2948.95 2476.94 472.02 138003.83
10 2948.95 2485.26 463.69 135518.57
11 2948.95 2493.61 455.34 133024.96
12 2948.95 2501.99 446.96 130522.97
13 2948.95 2510.40 438.56 128012.57
14 2948.95 2518.83 430.12 125493.74
15 2948.95 2527.30 421.66 122966.44
16 2948.95 2535.79 413.17 120430.66
17 2948.95 2544.31 404.65 117886.35
18 2948.95 2552.86 396.10 115333.49
19 2948.95 2561.43 387.52 112772.06
20 2948.95 2570.04 378.91 110202.02
21 2948.95 2578.68 370.28 107623.34
22 2948.95 2587.34 361.61 105036.00
23 2948.95 2596.03 352.92 102439.97
24 2948.95 2604.76 344.20 99835.21
25 2948.95 2613.51 335.45 97221.70
26 2948.95 2622.29 326.66 94599.41
27 2948.95 2631.10 317.85 91968.31
28 2948.95 2639.94 309.01 89328.37
29 2948.95 2648.81 300.14 86679.56
30 2948.95 2657.71 291.24 84021.85
31 2948.95 2666.64 282.31 81355.21
32 2948.95 2675.60 273.35 78679.61
33 2948.95 2684.59 264.36 75995.01
34 2948.95 2693.61 255.34 73301.40
35 2948.95 2702.66 246.29 70598.74
36 2948.95 2711.74 237.21 67887.00
37 2948.95 2720.85 228.10 65166.14
38 2948.95 2730.00 218.96 62436.15
39 2948.95 2739.17 209.79 59696.98
40 2948.95 2748.37 200.58 56948.61
41 2948.95 2757.61 191.35 54191.00
42 2948.95 2766.87 182.08 51424.13
43 2948.95 2776.17 172.79 48647.96
44 2948.95 2785.50 163.46 45862.46
45 2948.95 2794.86 154.10 43067.60
46 2948.95 2804.25 144.71 40263.35
47 2948.95 2813.67 135.28 37449.68
48 2948.95 2823.12 125.83 34626.56
49 2948.95 2832.61 116.35 31793.95
50 2948.95 2842.13 106.83 28951.82
51 2948.95 2851.68 97.28 26100.15
52 2948.95 2861.26 87.70 23238.89
53 2948.95 2870.87 78.08 20368.02
54 2948.95 2880.52 68.44 17487.50
55 2948.95 2890.20 58.76 14597.30
56 2948.95 2899.91 49.05 11697.40
57 2948.95 2909.65 39.30 8787.74
58 2948.95 2919.43 29.53 5868.32
59 2948.95 2929.24 19.72 2939.08
60 2948.95 2939.08 9.88 0.00
方案二：每月等额还本金方式
设月还本金相等，为b 元。

则/12b K m =。

月利率/12r p =。

则第一月还利息1L Kr =，总还款11x b L =+
则第二月还利息2()L K b r =-，总还款22x b L =+
第1n +月还利息1()n L K nb r +=-，总还款11n n x b L ++=+
m 年总共还利息121211[(1)]m m
i i i L L K i b r ====--∑∑=[126(121)]mK m m b r --
总还款[126(121)]Total K mK m m b r =+--
Matlab 程序为
K=160000; %贷款金额
m=5; %还款年限
p=0.04032; %年利率
r=p/12; %月利率
n=m*12;
x=zeros(1,n); %每月还总共的钱
y=zeros(1,n); %每月所剩本金
L=zeros(1,n); %每月还利息
b=K/n; %每月还本金
for i=1:n
L(i)=(K-(i-1)*b)*r; %每月还利息
x(i)=b+L(i); %每月总还钱
y(i)=K-i*b; %余本金
end
s1=sum(L); %总共利息
s2=(12*m*K-6*m*(12*m-1)*b)*r; %总共利息
Total=K+s1; %总共还款
fprintf('贷款%6d元,总共还款%5.2f元\n\n',K,Total);
fprintf('月还款金额还本金还利息余本金\n');
for i=1:n
fprintf('%2d %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f\n',i,x(i),b,L(i),y(i)); end
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，则计算结果如下：
贷款160000元,总共还款176396.80元
月还款金额还本金还利息余本金
1 3204.27 2666.67 537.60 157333.33
2 3195.31 2666.67 528.64 154666.67
3 3186.35 2666.67 519.68 152000.00
4 3177.39 2666.67 510.72 149333.33
5 3168.43 2666.67 501.7
6 146666.67
6 3159.4
7 2666.67 492.80 144000.00
7 3150.51 2666.67 483.84 141333.33
8 3141.55 2666.67 474.88 138666.67
9 3132.59 2666.67 465.92 136000.00
10 3123.63 2666.67 456.96 133333.33
11 3114.67 2666.67 448.00 130666.67
12 3105.71 2666.67 439.04 128000.00
13 3096.75 2666.67 430.08 125333.33
14 3087.79 2666.67 421.12 122666.67
15 3078.83 2666.67 412.16 120000.00
16 3069.87 2666.67 403.20 117333.33
17 3060.91 2666.67 394.24 114666.67
18 3051.95 2666.67 385.28 112000.00
19 3042.99 2666.67 376.32 109333.33
20 3034.03 2666.67 367.36 106666.67
21 3025.07 2666.67 358.40 104000.00
22 3016.11 2666.67 349.44 101333.33
23 3007.15 2666.67 340.48 98666.67
24 2998.19 2666.67 331.52 96000.00
25 2989.23 2666.67 322.56 93333.33
26 2980.27 2666.67 313.60 90666.67
27 2971.31 2666.67 304.64 88000.00
28 2962.35 2666.67 295.68 85333.33
29 2953.39 2666.67 286.72 82666.67
30 2944.43 2666.67 277.76 80000.00
31 2935.47 2666.67 268.80 77333.33
32 2926.51 2666.67 259.84 74666.67
33 2917.55 2666.67 250.88 72000.00
34 2908.59 2666.67 241.92 69333.33
35 2899.63 2666.67 232.96 66666.67
36 2890.67 2666.67 224.00 64000.00
37 2881.71 2666.67 215.04 61333.33
38 2872.75 2666.67 206.08 58666.67
39 2863.79 2666.67 197.12 56000.00
40 2854.83 2666.67 188.16 53333.33
41 2845.87 2666.67 179.20 50666.67
42 2836.91 2666.67 170.24 48000.00
43 2827.95 2666.67 161.28 45333.33
44 2818.99 2666.67 152.32 42666.67
45 2810.03 2666.67 143.36 40000.00
46 2801.07 2666.67 134.40 37333.33
47 2792.11 2666.67 125.44 34666.67
48 2783.15 2666.67 116.48 32000.00
49 2774.19 2666.67 107.52 29333.33
50 2765.23 2666.67 98.56 26666.67
51 2756.27 2666.67 89.60 24000.00
52 2747.31 2666.67 80.64 21333.33
53 2738.35 2666.67 71.68 18666.67
54 2729.39 2666.67 62.72 16000.00
55 2720.43 2666.67 53.76 13333.33
56 2711.47 2666.67 44.80 10666.67
57 2702.51 2666.67 35.84 8000.00
58 2693.55 2666.67 26.88 5333.33
59 2684.59 2666.67 17.92 2666.67
60 2675.63 2666.67 8.96 0.00
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，两种方案对比结果：合成Matlab程序
%方案一：每月等额还钱
K=160000; %贷款金额
m=5; %还款年限
p=0.04032; %年利率
r=p/12; %月利率
n=m*12;
x1=zeros(1,n); %每月还本金
y1=zeros(1,n); %每月所剩本金
L1=zeros(1,n); %每月还利息
a=K*r*(1+r)^n/((1+r)^n-1) ; %每月等额还款L1(1)=K*r;
x1(1)=a-L1(1);
y1(1)=K-x1(1);
for i=2:n
L1(i)=y1(i-1)*r;
x1(i)=a-L1(i);
y1(i)=y1(i-1)-x1(i);
end
Total1=n*a; %总共还钱
%方式2:每月等额还本金
x2=zeros(1,n); %每月还总共的钱
y2=zeros(1,n); %每月所剩本金
L2=zeros(1,n); %每月还利息
b=K/n; %每月还本金
for i=1:n
L2(i)=(K-(i-1)*b)*r; %每月还利息
x2(i)=b+L2(i); %每月总还钱
y2(i)=K-i*b; %余本金
end
s1=sum(L2); %总共利息
s2=(12*m*K-6*m*(12*m-1)*b)*r; %总共利息
Total2=K+s1; %总共还款
fprintf('贷款%6d元,方案一总共还款%5.2f元,方案二总共还款%5.2f元
\n\n',K,Total1,Total2);
fprintf(' 方案一: 方案二:\n');
fprintf('月还款金额还本金还利息余本金还款金额
还本金还利息余本金\n');
for i=1:n
fprintf('%2d %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f
%5.2f\n',i,a,x1(i),L1(i),y1(i),x2(i),b,L2(i),y2(i));
end
u=1:12*m;
plot(u,y1,'r',u,y2,'b');
计算结果：
贷款160000元,方案一总共还款176937.28元,方案二总共还款176396.80元
方案一: 方案二:
月还款金额还本金还利息余本金还款金额还本金还利息余本金
1 2948.95 2411.35 537.60 157588.65 3204.27 2666.67 537.60 157333.33
2 2948.95 2419.46 529.50 155169.19 3195.31 2666.67 528.64 154666.67
3 2948.95 2427.59 521.37 152741.60 3186.35 2666.67 519.68 152000.00
4 2948.9
5 2435.74 513.21 150305.8
6 3177.39 2666.6
7 510.72 149333.33
5 2948.95 2443.93 505.03 147861.93 3168.43 2666.67 501.7
6 146666.67
6 2948.95 2452.14 496.82 145409.79 3159.4
7 2666.67 492.80 144000.00
7 2948.95 2460.38 488.58 142949.42 3150.51 2666.67 483.84 141333.33
8 2948.95 2468.64 480.31 140480.77 3141.55 2666.67 474.88 138666.67
9 2948.95 2476.94 472.02 138003.83 3132.59 2666.67 465.92 136000.00
10 2948.95 2485.26 463.69 135518.57 3123.63 2666.67 456.96 133333.33
11 2948.95 2493.61 455.34 133024.96 3114.67 2666.67 448.00 130666.67
12 2948.95 2501.99 446.96 130522.97 3105.71 2666.67 439.04 128000.00
13 2948.95 2510.40 438.56 128012.57 3096.75 2666.67 430.08 125333.33
14 2948.95 2518.83 430.12 125493.74 3087.79 2666.67 421.12 122666.67
15 2948.95 2527.30 421.66 122966.44 3078.83 2666.67 412.16 120000.00
16 2948.95 2535.79 413.17 120430.66 3069.87 2666.67 403.20 117333.33
17 2948.95 2544.31 404.65 117886.35 3060.91 2666.67 394.24 114666.67
18 2948.95 2552.86 396.10 115333.49 3051.95 2666.67 385.28 112000.00
19 2948.95 2561.43 387.52 112772.06 3042.99 2666.67 376.32 109333.33
20 2948.95 2570.04 378.91 110202.02 3034.03 2666.67 367.36 106666.67
21 2948.95 2578.68 370.28 107623.34 3025.07 2666.67 358.40 104000.00
22 2948.95 2587.34 361.61 105036.00 3016.11 2666.67 349.44 101333.33
23 2948.95 2596.03 352.92 102439.97 3007.15 2666.67 340.48 98666.67
24 2948.95 2604.76 344.20 99835.21 2998.19 2666.67 331.52 96000.00
25 2948.95 2613.51 335.45 97221.70 2989.23 2666.67 322.56 93333.33
26 2948.95 2622.29 326.66 94599.41 2980.27 2666.67 313.60 90666.67
27 2948.95 2631.10 317.85 91968.31 2971.31 2666.67 304.64 88000.00
28 2948.95 2639.94 309.01 89328.37 2962.35 2666.67 295.68 85333.33
29 2948.95 2648.81 300.14 86679.56 2953.39 2666.67 286.72 82666.67
30 2948.95 2657.71 291.24 84021.85 2944.43 2666.67 277.76 80000.00
31 2948.95 2666.64 282.31 81355.21 2935.47 2666.67 268.80 77333.33
32 2948.95 2675.60 273.35 78679.61 2926.51 2666.67 259.84 74666.67
33 2948.95 2684.59 264.36 75995.01 2917.55 2666.67 250.88 72000.00
34 2948.95 2693.61 255.34 73301.40 2908.59 2666.67 241.92 69333.33
35 2948.95 2702.66 246.29 70598.74 2899.63 2666.67 232.96 66666.67
36 2948.95 2711.74 237.21 67887.00 2890.67 2666.67 224.00 64000.00
37 2948.95 2720.85 228.10 65166.14 2881.71 2666.67 215.04 61333.33
38 2948.95 2730.00 218.96 62436.15 2872.75 2666.67 206.08 58666.67
39 2948.95 2739.17 209.79 59696.98 2863.79 2666.67 197.12 56000.00
40 2948.95 2748.37 200.58 56948.61 2854.83 2666.67 188.16 53333.33
41 2948.95 2757.61 191.35 54191.00 2845.87 2666.67 179.20 50666.67
42 2948.95 2766.87 182.08 51424.13 2836.91 2666.67 170.24 48000.00
43 2948.95 2776.17 172.79 48647.96 2827.95 2666.67 161.28 45333.33
44 2948.95 2785.50 163.46 45862.46 2818.99 2666.67 152.32 42666.67
45 2948.95 2794.86 154.10 43067.60 2810.03 2666.67 143.36 40000.00
46 2948.95 2804.25 144.71 40263.35 2801.07 2666.67 134.40 37333.33
47 2948.95 2813.67 135.28 37449.68 2792.11 2666.67 125.44 34666.67
48 2948.95 2823.12 125.83 34626.56 2783.15 2666.67 116.48 32000.00
49 2948.95 2832.61 116.35 31793.95 2774.19 2666.67 107.52 29333.33
50 2948.95 2842.13 106.83 28951.82 2765.23 2666.67 98.56 26666.67
51 2948.95 2851.68 97.28 26100.15 2756.27 2666.67 89.60 24000.00
52 2948.95 2861.26 87.70 23238.89 2747.31 2666.67 80.64 21333.33
53 2948.95 2870.87 78.08 20368.02 2738.35 2666.67 71.68 18666.67
54 2948.95 2880.52 68.44 17487.50 2729.39 2666.67 62.72 16000.00
55 2948.95 2890.20 58.76 14597.30 2720.43 2666.67 53.76 13333.33
56 2948.95 2899.91 49.05 11697.40 2711.47 2666.67 44.80 10666.67
57 2948.95 2909.65 39.30 8787.74 2702.51 2666.67 35.84 8000.00
58 2948.95 2919.43 29.53 5868.32 2693.55 2666.67 26.88 5333.33
59 2948.95 2929.24 19.72 2939.08 2684.59 2666.67 17.92 2666.67
60 2948.95 2939.08 9.88 0.00 2675.63 2666.67 8.96 0.00
分析：
从结果来看，等额还贷款与等额还本金两者对比来看，贷款160000元,分5年还清，方案一总共还款176937.28元,方案二总共还款176396.80元。

因此等额还款对银行更有利，因此银行采用的此方式。

如果采用提前还贷，如半年后一次还清，则方案一要还145409.79元，而方案二只需要还144000元。

如一年后一次还清，方案一要还130522.97元，而方案二只需要还128000.00元。

如两年后一次还清，方案一要还99835.21元，而方案二只需要还96000元。

但采用方案二对贷款人来说，前29个月都比方案一每个月还款多。

从图一也可以看出，方案一每月余下的本金比方案二多，这这说明方案二是一种更积极的还款方式。

图一两种方案每月所余本金对比图(红线代表方案一，蓝线代表方案二)。