线性代数试题及答案3详解

线性代数习题和答案
第一部分选择题（共28分）
14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。

A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A 的属于特征值 入的特征向量
B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A 的特征值
C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如入1,入2,入3是A 的3个互不相同的特征值，
a 1, a 2, a 3依次是A 的属于入1,入2,
入3的特征向量，贝y a 1, a 2, a 3有可能线性相关
A. m+n a 11 a 12
=m, a
13
a
11
a 21 a 22
a
23 a
21 1.设行列式 =n ，
C. n- m
0 ' 0
3
丿
B. P 0 -(m+n) 0 2 0
则行列式
D. m- 2.设矩阵A = a
11 a
21
a
12 a 22 +313
+a
23
等于（
<1 0 0
f
冷
i L 0 0
3
1
0 0
1 [
12
1
1
3
[ J 1
I 0 2 0 B 0 2 0
C 0 1 0
D I 0
3 0 0 0 1 LI 0
1
0 0 1 1
0 0 1
丿
3丿 K
2
丿 1
丿
A. 、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的, 错选或未选均无分。

3.设矩阵 广3 1 、三
B. -1 0
2
-1 , 4丿
C.
A *是A 的伴随矩阵,
中位于（ 2）
的元素是（ B ） A. -6 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式 A. A = 0 B. B HC 时 A = 0
D.— AB =AC ,则必有( C. A HO 时 B =C D ）
D. | A I H 0 时 B =C 5.已知3X 4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（ A T
）等于（C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设两个向量组 a 1, a 2, , a s 和 3 1, 3 , ',3
S 均线性 .相关，则 (
D )
A.有不全为 0 的数入1, 入2, ■ …，入S 使入1 a 什入 2 a • • + 入 a S =0 和
入1 3 1+ > 3 2+…s 3 S =0 B.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1+3 1) +入2 (a 2+ 3 2）
+…+入 S ( a S + 3 s ) =0
C.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1- 3 +入2 (a
2- 3 2） +…+入 S ( a
S - 3 s ) =0 D.有不全为 0 的数入1, 入2 , …，入S 和不全为 0的数 1 1 , 1 2,…， 1
S 使入1 a 1+ 入 2 a 2+- …+ 入 s a s =0 和 1 3 1+ 2 3 2+ …+ 1 S 3 S =0
7. 设矩阵A 的秩为r,则A 中（C A.所有
r- 1阶子式都不为0
C.至少有一个r 阶子式不等于0 8. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组， A. n 什n 2是Ax=0的一个解 B.所有
D.所有 2是其任意 1 1
B. 1
n 1+
r- r 阶子式都不为 2个解，则下列结论错误的是 1阶子式全为
n 2是Ax=b 的一个解 D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解 C. n 1-n 2是Ax=0的一个解 9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n - 1
10. 设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）
A
C.A=0
）
D.方程组Ax=0只有零解
）
11. 设入0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于入0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必 有（A ） A. k < 3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ A.| A|2 必为 1 B.|A 必为 1 C. A -1=A T
13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价
14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ B.|A 必为1 B ） D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组
B =
C T AC .则（
D ） C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 0 2,
） 0,
5
非选择题 （共72分） 第二部分 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。

错填或不填均无分。

1 5 25 15
. 1 6 36 G 7 16. 设 A = I H 1
17. 设 A =(a ij )3 〕 <1 2
< 3 3 7 ,B = .则 A +2 B =
丿 1—1 -2 4丿 k-1 £ 7丿 1 -1 A j |A 2=2，
表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 - -2 (2)
= 4 . （a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23）+（a 21A 21 +a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23）= 18. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝U a=
19. 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1，n 2为非齐次线性方程组 Ax=b 的2个不同的解，则它 的通解为 ____ n 1+c （ n 2- n 1）（或n 2+c （ n 2- n 1））, c 为任意常数 20. 设A 是m X n 矩阵，A 的秩为r （<n ），则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为 n-1 . 21. 设向量a 、3的长度依次为2和3,则向量a + B 与a - 3的内积（a + 3 , a - 3 ） = -5 22. 设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 . 厂0 10 6 ' 广2 " 1 -3 -3 ，已知a = 10 8丿
<2y
23.设矩阵A = -10 是它的一个特征向量，则 a 所对应的特征值为」 24.设实二次型f （X 1,X 2,X 3,X 4,X 5）的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为—z 2+Z 2 +Z 3-z 4 三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分） f 1 2 25.设 A = j 3 4 J 2 0 1丿 ,B = 1-2 4
3 1 -1 2
-5 1 3 -4 2 0 1
-1 1 -5 3
£
0 26.试计算行列式 -1 0丿
2 1 2 3
0 3
丿
.求（ 1）AB T ；（2）|4A |. 27.设矩阵A =
，求矩阵B 使其满足矩阵方程 AB =A +2B
28.给定向量组a 1= 试判断a 4是否为 (1 -2 2 .3 29.设矩阵A = 求：(1)秩 P 30.设矩阵A= 〔2 a 1, -2 4 -1 3 a 2, -1 2 0 3 (2) a 0 6 2 3
A 的列向量组的一个最大线性无关组。

3的线性组合；若是，则求出组合系数。

2、
-6 3 . 4丿 (A ); -2 2 -3 4的全部特征值为1 ,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1
AT =D .
4 亠
31.
试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,X 2,X 3)= x1 + 2x 2 -3x 3 +4x^2 -4乂低3 -4x 2X 3, 并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分) 32. 设方阵A 满足A 3
=0 ,试证明E - A 可逆，且(E - A ) 33. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 试证明 (1) n 1= n 0+ E 1， n 2= n 0+ E 2 均是 Ax=b 的解； (2) n 0, n 1, n 2线性无关。

答案： 一、 单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 二、 填空题(本大题共 10空，每空2分，共20分) (3 3 7〕
15. 616.
V 1 -3 7 丿 1, 17. 4 18. -0 19. n 1+c(n 2- -1= E +A +A l . E 2是其导出组Ax=0的一个基础解系. 28分)
12.B 13.D 14.C n 1)(或n 2+c( n 2- n 1)), c 为任意常
数 20. n- r 21. - 22. 三、计算题(本大题共 T r
(1) AB T
= j 3
1-1 25.解 2 0、 厂2 n 2 -2" (8 6、 4 0 U j 3
4 =]18 10 2 1丿 1-1 0丿 (3 10 —23. 1 7小题, 24. Z 2
+z 2 +z | 每小题6分，共 3 _
(2) |4A |=4 |A |=64|A |,而 |A |= 27.解 42分) =-2 .所以 |4A 1=64 • (-2) =-128 3 1 2 5 1 -1 1
5 1 1 5 1 1 -5
1 3 - -11 1
3 -1 -6 2
=
^3
-11
1 -1
=-6 2 0 =
2
0 1
0 1
-5
-5
-5
-5
-5 -5 0
1 -5 3 C
-5 -5 3 0
= 30+10 =40.
26.解 AB =A +2 B
即
B = A ，而
(A -2 E )
28.解一
2
3
、 J
<1 -4
(A -2E ) ■1
= 1 -1 0 = 1 -5 仝 2 V 6 4」
<1 -4 <4 2 3暑
-8 -6 = 所以 B =(A - 2E )■ 1
A = 1 -5
1 1 0 =
2 -9 -6 6 4> <-1 2 37
c-2 12 9>
<-2 1 3 0 /Q -5 3 —2) 0 3 1 0 .3
0 2 -1 -1 4 9丿
0 10
解二考虑a 4=X 1 a
1 13 0 1 -1 -1
2 12丿 1 8
-14 5】 2 8 —14丿 6
0 0 .0 0 1 0 0 3 1 1 0
5、
2 1
丿
所以 a 4=2 a
组合系数为 (2,
1, 1)
1+X 2
a 2+X 3 a 3，即
卩
『-2X 1 +X 2 +3X 3 =0
X 1 —3X 2 =-1 匕2 + 2X 3 =4 3X 1 + 4X 2 -X 3 =9.
方程组有唯一解（2, 1, 1） 29.解对矩阵A 施行初等行变换 6 -2 -1 0 2 " A -2
0 2、
<1 -2 -1 0 2 " 0 0 0 6 -2 -- ? 0 3 2 8
£
0 3 2 8 -3
0 3 2 8 -2 0 0 0 6
-2
0 0 0 3 -1 0 9 6 3 -2； 0 0 0 -21 7丿
Q 0 0 0 0
丿
(2, 1, 1). =B .
所以秩（A ）=秩 (B) =3, =3.
B 是阶梯形,
T
，组合系数为 （1 ）秩（B ） （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 个最大线性无关组。

B 的第1、2、4列是 A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一 （A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
2(5/5 =
275/15)
厂
1、
经正交标准化，得n 1= -75/5 ,n 2= 4^5/15 .入=-8的一个特征向量为 E 3=
2
、- 0
丿
卫/3
丿
-2/
E 2= (2, 0, 1) E 1= (2, - 1, 0) T 30.解 A 的属于特征值 入=1的2个线性无关的特征向量为 T
/ 、
1/3
2^5/5
2^15/15 1/3 经单位化得n 3=
2/3 .所求正交矩阵为 T = -亦/5
4/5/15 2/3
.-2/3>
< 0
亦/3
-2/3
10 0'
2^5/5
2(15/15 1/3 对角矩阵 D =
0 1 0
.（也可取T =
-75/3 2/3 1
0 0 -8 丿
卫/5
Y 妇15
-2/3』
.
)
2 2 2
31.解 f(X 1 , X 2, X 3)= ( X 什2X 2- 2X 3) - 2X 2 +4X 2X 3- 7X 3
2 2 2 =(X1+2X 2- 2X 3) - 2 ( X 2-X 3) - 5X
3 .
+2X 2 -2X 3 y i =x i
设W 2 = X 2 -X 3 , X 3 卜1 =y1 -2y 2 即！X 2 = }x 3 =
y 2 +y 3
y 3
，因其系数矩阵C = 0 |y 3
■— 故此线性变换满秩。

经此变换即得 f （x 1,
四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共 2 3 32. 证 由于（E - A ）（ E +A +A ）=E - A =E ，
所以E - A 可逆，且
（E - A ） -1= E +A +A 2
.
33. 证 由假设 A n 0= b , A E 1=0, A E 2=0.
（1） A n 1=A （ n 0+ E 1） = A n 0+A E 1 = b ,同理 A n 2= b , 所以n 1, n 2是Ax =b 的2个解。

（2） 考虑 bn 0+11 n 1+I 2n 2=0, 即 （I 0+I 1+I 2） n 0+I 1E 1+I 2E 2=0.
则I 0+I 什l 2=0,否则n 0将是Ax =0的解，矛盾。

所以 l 1 E 1+I 2E 2=0.
又由假设，E 1， E 2线性无关，所以I 1=0, I 2=0，从而 I 0=0 .
所以n 0, n 1, n 2线性无关。

2 2 2
x 2, x
3)的标准形 y i - 2y 2 - 5y 3 10分) 0= 1可逆, 1>。