北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT

(2)y′=-4<0,y=-4x是减函数.
(3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数.
知识点拨
一、函数的单调性与其导数正负的关系
一般地,函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负之间具有如下的关系:
(1)在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递增 ;
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 视察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
当 Δ>0,即 a> 3或 a<- 3时,令 f′(x)>0,即 3x2+2ax+1>0,
－a＋ a2－3
－a－ a2－3
解得 x>
或 x<
;
3
3
2
2
－a－
a
－3
－a＋
a
－3
2
令 f′(x)<0,即 3x +2ax+1<0,解得
<x<
.
3
3


－a－ a2－3 －a＋ a2－3


故函数 f(x)的单调递增区间是－∞，


单调，只是在区间(-∞,0),(0,+∞).
1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意
f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在 某个区间上 递增(或递减)
的 充分条件 .
函数f(x)=x3在定义域内是递增, 但f′(0)=0, f′(x)>0不是恒成立.
2.若在某个区间内,f‘(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数
1-ln
∴f'(x)= 2 >0,故
f(x)在区间(0,e)内单调递增.
4. 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-2x2+x;
(2)f(x)=x2·e-x;
1
(3)f(x)=xln x(x>0 且 x≠1).
解析 (1)函数的定义域为R,
1
1
2
因为f′(x)=3x -4x+1,令f′(x)>0,解得x>1或x< ;令f′(x)<0,解得 <x<1.
3.求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
).
)
答案 1.A
2.D
3
3
3.单调递减区间为(0, 3 ),单调递增区间为( 3 ,+∞).
解析 2.∵f'(x)=2-cos x>0,∴f(x)在定义域R上是增函数.又
π>3>2,∴f(π)>f(3)>f(2).
3.函数的定义域为(0,+∞).
所以
即
所以 5≤a≤7.
'(6) ≥ 0, 5 × (7-) ≥ 0,
注意点：
原函数的图象看增(减)变化,而导函数的图象看正(负)变化.
三、求函数单调区间步骤
答案 利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的
区间上单调递增;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上单调递减.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.
所以实数a满足a≤0.
拓展 (1)若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值范围.
(2)若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的取值范围.
拓展 (1)由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
②当 a>0 时,令 3x -a=0,得 x=±
2
f(x)在 3
=1,即
3
3 3
,
3
3
a=3.
3
3
3
,当- 3 <x< 3 时,f'(x)<0.
3
3
1
1
因此函数f(x)的单调递增区间是(-∞, ),(1,+∞),单调递减区间是( ,1).
3
3
(2)函数的定义域为(-∞,+∞).
f′(x)=(x2)′e-x+x2(e-x)′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2)
由f′(x)>0,得0<x<2;由f′(x)<0得x<0或x>2,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7].
(方法二)(数形结合法)
如图所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].
因为在(1,4)内,f'(x)≤0,
在(6,+∞)内,f'(x)≥0,
且f'(x)=0有一根为1,
所以另一根在[4,6]上.
'(4) ≤ 0, 3 × (5-) ≤ 0,
2
由 f′(x)=6x- >0 得 x>

3
3
2
3
;由 f′(x)=6x- <0 得 0<x< ,

3
3
3
所以函数 f(x)的单调递减区间为(0, 3 ),单调递增区间为( 3 ,+∞).
可借助表格表达单调性,如图
题型探究
题型一
函数图象与其导函数图象的关系
题型二
判断函数的单调性及求单调区间
题型三
(3)由题设知


2

f′(x)=3ax2-6x=3axx－a,令


2
f′(x)=0,得 x1=0,x2=a.
当 a>0 时,若 x∈(-∞,0),则 f′(x)>0,∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数;若 x∈

2

0， ,则
a


2

f′(x)<0,∴f(x)在区间0，a上为减函数;若
3
内单调递减,f(x)的单调递减区间为 -
3 3
,
3
3
,
(2)由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
'(-1) ≤ 0,
3- ≤ 0,
∴
即
,
'(1) ≤ 0,
3- ≤ 0
∴a≥3.
即a的取值范围是[3,+∞).
(3)∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.
(4)结合定义域写出单调区间.
小题热身
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是(
2.已知函数f(x)=1+2x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系是(
A.f(2)>f(3)>f(π)
B.f(3)>f(2)>f(π)
C.f(π)>f(2)>f(3)
D.f(π)>f(3)>f(2)
得,①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的;而③中导
函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区
间内相应的函数图象不递减,故错误.
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题型二 判断函数的单调性
3. (1)证明:函数
(2)证明:函数
sin
π
f(x)= 在区间( ,π)内单调递减.

2
ln
f(x)= 在区间(0,e)内单调递增.

证明
cos-sin
π
(1)∵f'(x)= 2 ,x∈(2,π),
∴cos x<0,sin x>0,∴xcos x-sin x<0,
则
π
f'(x)<0,∴f(x)在( ,π)内单调递减.
2
1
·பைடு நூலகம்ln
ln
(2)∵f(x)= ,∴f'(x)=

2
=
1-ln
.
2

又 0<x<e,∴ln x<ln e=1.
求含参的函数的单调区间
题型四
已知函数的单调性求参数的范围
题型五
单调性的应用
题型一 函数图象与其导函数图象的关系
1. (1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图
中的(
)
答案 D
解析 由题意可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
6.1函数的单调性
课标定位素养阐释
1.了解函数的单调性与导数的关系.
2.会利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
4.加强直观想象与数学运算能力的培养.
激趣诱思
问题1
已知函数:(1)y=3x+1,(2)y=-4x,(3)y=2x,它们的导数的正负与它们
的单调性之间有怎样的关系?
提示 (1)y′=3>0,y=3x+1是增函数.


2


x∈a，＋∞,则


2

f′(x)>0,∴f(x)在区间a，＋∞上是增函数.


当 a<0 时,若
2


∈a，0,则



2

x∈－∞，a,则



2

f′(x)<0,∴f(x)在－∞，a上是减函数;若


2


f′(x)>0,∴f(x)在区间a，0上为增函数;若
3
过点(0,0),(2,0),视察图象可得满足f'(x)<f(x)的x的取值范围为
(0,1)∪(4,+∞),故选D.
2. 在同一坐标系中画出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图
象,下列一定不正确的序号是(
A.①②
B.①③
C.③④
D.①④
)
答案 C
解析 当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,故可
ln x＋1
(3)f′(x)=- x2ln2x ,
1
若 f′(x)=0,则 x= e,列表如下:
x

1

0，
e

1
e
1



，1


e

(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
f(x)
递增
-e
递减
递减

1

1


∴f(x)的增区间为0， e;减区间为e，1,(1,+∞).


注意：函数的两个单调区间之间不能
(2)在某个区间(a,b)内,如果
f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递减 ;
用“∪” y=f(x)在这个区间内
(3)如果在某个区间上恒有 f′(x)=0,那么函数
是 常数函数 .
函数f(x)=-
注意：
1
,

1
1
f′(x)=- 2 <0,但函数f(x)=- 在定义域内不


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题型三 求含参的函数的单调区间
5. (1)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
(2)设函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
(3)求f(x)=ax3-3x2+1(a≠0)函数的单调区间.
解析 (1) f′(x)=3x2+2ax+1,Δ=4(a2-3).
当a>0时,∵当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
由 f'(x)=0,得 x=±
3
(a≥0),
3
∵f(x)在区间(-1,1)内不单调,
∴0<
3
<1,即
3
0<a<3.
故 a 的取值范围为(0,3).
7. 若函数
1 3 1 2
f(x)=3x -2ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)
内单调递增,求实数 a 的取值范围.
解析 (方法一)(直接法)
f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)内单调递增,在(1,a-1)内单
调递减,
由题意知(1,4)⊂(1,a-1)且(6,+∞)⊂(a-1,+∞),


f′(x)<0,∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数.
x
x∈(0,+∞),则
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题型四 已知函数的单调性求参数的范围
6. 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
解析 由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
，＋∞
,
;
3
3




－a－
单调递减区间是
3

a2－3 －a＋ a2－3
，
.
3

当 Δ≤0,即- 3≤a≤ 3时,对所有的 x∈R 都有 f′(x)≥0,故 f(x)的单调增区间是 R.
(2)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
∵当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.