(易错题精选)初中数学向量的线性运算单元检测附答案

（易错题精选）初中数学向量的线性运算单元检测附答案
一、选择题
1．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
2．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，
，则向量
关于
、的分解式表示正确的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.
【详解】 ∵ ∴ ∵
∴
故本题答案选B. 【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
3．如图，已知向量a r
，b r
，c r
,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r
r
r
B ．b c a +=r
r r
C ．a c b +=r
r r
D ．a c b +=-r r r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由平行四边形法则，即可求得：
解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，
即a c b +=-r r r
故选D ．
4．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-
r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，
∴12
a e =-r
r ．
故选C ．
5．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u r u u u r
B ．+＝+
C ．如果非零向量a b(0)k k
=坠r r
，那么a r 与b r
平行或共线
D ．AB BA 0+=u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r
可判断D 错误 【详解】
A 、如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；
B 、a b b a +=+r r r r
，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r
平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB BA +=u u u r u u u r r
，故此选项错误；
故选：D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()
a a
b b --= B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确；
故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反 ∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
8．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( ) A ．2a b =r r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r
r
，可以推出//a b r
r
．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r
．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r
，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；
故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
9．在
中，已知是
边上一点，
，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】
解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2
，
，
则，
∴
，故选A.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.
10．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r
的结果等于（ ）．
A ．QP uuu r
B ．OQ uuu r
C ．SP u u r
D ．SQ u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】
解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r
=Q O uuu r
，
故选B.
【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.
11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v
，那么
AD uuu v
等于（ ）
A ．a b +v v
B ．2233a b +v v
C ．23a b -v v
D ．23
a b +v v
【答案】D
【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v
，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
【详解】 解：∵2BD CD =
∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v
∴
23
AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r
不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
13．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r
B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r
C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r
D ．12
a b =-r r （b r
为非零向量），那么
//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】
解：A 、()a a +-r r
等于0向量，而不是0，故A 选项错误；
B 、如果a r 和b r
都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错
误；
C 、如果||||a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；
D 、如果12
a b =-r r （b r
为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34
a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
15．已知5a b =r r
，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=r
r
B ．a r
与b r
方向相同 C ．//a b r r
D ．||5||a b =r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】
A 、50a b -=r r
r
，故该选项说法错误
B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r
的方向相同，故该选项说法正确，
C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r
，故该选项说法正确，
D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
16．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r 表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53
b a =-r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r
表示b r 向量.
【详解】
a r
=3，b r =5，
b r =53a r ,
b r 与a r
的方向相反, ∴5.3
b a =-r r
故选：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
17．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r
； C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r
．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r
，
∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r
u u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r
r r
r
， ∴DC a b =-+u u u r
r r
； 故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
18．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r
，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =r r ；
B ．a r ∥b r ；
C ．a r 与b r
方向相反； D ．20a b +=r r ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
||2||a b =r r
，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然
2b -r 与b
r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r
，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r
是两个矢量相加是带方向的，应该是
02b a →
→→
+=，该选项符合题意正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A ．12
CA AB =u u u r u u u r
B ．12
CB AB =u u u r u u u r
C ．0AC BC u u u r u u u r
+=
D ．0AC CB +=u u u r u u u r r
【答案】B 【解析】
根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．
解：A 、12
CA BA =u u u r u u u r
，故本选项错误；
B 、12CB AB =u u u r u u u r
，故本选项正确；
C 、0AC BC +=u u u r u u u r r
，故本选项错误；
D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r
，故本选项错误．
故选B ．
20．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r
，则2132m m -r r 等于（ ）．
A ．AO u u u r
B ．BO uuu r
C ．CO uuu r
D ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】
解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r
， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r
,M 分别为AC 、BD 的中点,
∴122312
AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r
，故A 不符合题意；
211322
BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r
，故B 符合题意；
122312CO AC m m ==---u u u r u u u u u r r u u r ，故C 不符合题意； 121232
DO BD m m =-=-u u u r u u u r u u r u u r ，故D 不符合题意. 故选B.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.。