上海市实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

上海市实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、填空题
1．已知直线l 经过两点()2,6M ，()4,2N --，则它的斜率为．
2．已知椭圆的方程为22254100x y +=，则它的焦点坐标为．
3．已知函数()ln f x x x =+，则()2f '=．
4．已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.
5．已知点A （1，2），B （3，4），若直线x+ky+5＝0与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是．
6．圆2240x y x +-=在点P 处的切线方程为．
7．已知定点A(3,1)，在直线y=x 和y=0上分别取点M 和点N(A 、M 、N 三点不共线)，则△AMN 的周长最小值为.
8．已知实数x ，y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是．
9．设B ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)C b
b x a a y +>>=的右顶点和上焦点，点P 在C 上，且222BF F P =u u u u r u u u u r ，则C 的离心率为．
10．已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点()0,1B -的直线交C 于P ，Q 两点，则下列命题正确的是.
（1）C 的准线为1y =-；（2）直线AB 与C 相切；（3）2OP OQ OA ⋅>；（4）2
BP BQ BA ⋅>.
二、单选题
11．6a =-是直线1:(1)30l ax a y +--=和直线2:(1)2(3)20l a x a y -++-=垂直的（ ） A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A ．15
B
C
D 13．已知直线2:0l ax by r +-=与圆()222:0C x y r r +=>，点(),A a b ，则下列说法错误的是
（ ）
A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B ．若点A 在圆
C 内，则直线l 与圆C 相离
C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂
线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为（ ） A ．22
184
x y -= B ．22148x y -= C ．22
142x y -= D ．22124
x y -=
三、解答题
15．圆228x y +=内一点(1,2)P -，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于,A B 两点． ⑴当34
πα=时，求弦AB 的长； ⑵当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．
16．已知()4,0M 、()1,0N ，若动点P 满足6MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r ．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB =
l 的方程．
17．已知O 为坐标原点，双曲线2222:
1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为4，且经过点 (1)求C 的方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ．
（i ）设直线l 的方程为y kx m =+，求证：223230k m -+=；
（ii ）求AB 的取值范围．
18．如图，椭圆2
2:12
y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线
交椭圆于M 、N 两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.
(1)求线段MN 的长；
(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；
(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知点(2,1)A 在双曲线2222:
1(1)1
x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．
20．在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于。