高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 导数与三角函数交汇问题(原卷版)

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 导数与三角函数交汇问题（原卷版）
1．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．
（1）证明：当54
x π>-时，()0f x ； （2）若()2g x ax +，求a ．
2．已知曲线()sin f x kx x b =+在点,2
2f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为230x y --=． （1）求k ，b 的值； （2）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上零点的个数，并证明．
3．已知函数()cos sin x f x e x x x =-，()sin x g x x =，其中e 是自然对数的底数.
（1）1,02x π⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式()()12f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；
（2）若1x >-，求证：()()0f x g x ->.
4．已知函数()cos 2x f x e x =+-，()f x '为()f x 的导数.
（1）当0x ≥时，求()'f x 的最小值；
（2）当2x π
≥-时，2cos 20x xe x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围.
5．设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x
=+=
．
（1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；
（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()f x g x 有解，求证：24a π． 6．设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x
=+=. （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性； （2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围. 7．已知函数1()cos x f x e x -=，2()x g x e +=.
（1）求函数()f x 在(,)ππ-上的单调区间；
（2）证明：对任意的实数1x ，211,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭，12x x <，都有()()()()121222g x g x f x f x ->-恒成立.
8．已知函数()(1cos )f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(,())f ππ，处的切线方程；
（2）确定()f x 在33(,)22ππ-
上极值点的个数，并说明理由． 9．已知函数cos ()(,a x f x b a x
=+b ∈R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2
π内的单调性; （2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π
=-+ (i )求f (x )的解析式;
(ii )判断方程3()2f x π
=-1在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 10．已知函数()2sin f x x x =-.
（1）当[]0,2x π∈时，求()f x 的最小值；
（2）若[]0,x π∈时，()()1cos f x a x x x ≤--⋅，求实数a 的取值范围.
11．已知函数()sin 2( 2.71828x f x e a x x b e =--+≈，a ，)b R ∈.
（1）当1a =时，存在0(x ∈-∞,0]，使得0()0f x <成立，求实数b 的取值范围；
（2）证明：当11a -≤≤时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()1(ln 2)x f x b e x x +->-+.
12．设函数()()2cos sin f x x x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.
（1）证明：()f x '在区间,22ππ
⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点； （2）证明：在()0,x ∈+∞上，()0f x >.
13．设函数()sin x f x e m x n =-+（其中 2.71828e ≈⋯，m ，n 为常数）
（1）当1m =时，对()0,x ∈+∞有()0f x >恒成立，求实数n 的取值范围；
（2）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为10x y --=，函数()()2g x xf x x =+-的零点为0x ，求所有满足[]0,1x k k ∈+的整数k 的和．
14．设函数()2sin f x x x π=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2
2cos 22x m g x x x ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()m R ∈. （1）证明：()0f x ≤；
（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()4g x π≥恒成立，求m 的取值范围.
15．已知函数()()2cos sin f x a x x x =--.
（Ⅰ）当=0a 时，求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当4a >，π[0,]2
x ∈时，求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）当12a <<，ππ[,]22
x ∈-时，判断函数()f x 的零点个数，并说明理由. 16．设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭
； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝
⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x π
π
π-+-<-． 17．已知函数sin c s ()o f x m x x
=
+，其中m 为常数，且23π是函数()f x 的极值点． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅰ）若(1)()x k e f x ->在0x >上恒成立，求实数k 的最小值．
18．已知函数()(sin cos )x f x e x x =+．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求证：曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且只有一条斜率为2的切线． 19．已知()sin ()x f x e x ax a R =++∈.
（1）当2a =-时，求证：()f x 在(,0)-∞上单调递减；
（2）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
20．已知函数()cos ,,2x f x e x x π⎡⎫=-∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，证明. （1）()f x 存在唯一的极小值点；
（2）()f x 的极小值点为0x ，()010f x -<<.
21．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈.
（1）当1a π=时，求曲线()y f x =在点,22A f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线； （2）若0x =为()f x 的一个极大值点，求实数a 的取值范围.
22．已知函数21()cos ()4
f x x x x R =+∈. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线；
（2）求证：0x =为函数()f x 的极大值点.
23．已知函数()2ln cos 1f x x x x =-++.
证明：（1）()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在唯一的零点. （2）对任意()0,x ∈+∞，都有()22ln cos 1f x x x x x x ++>+.
24．已知函数()e cos x f x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2
上的最大值和最小值． 25．已知函数()cos ax
f x e x a =+． （1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a ≥，若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，恒有()()
()a f x a bx f x '-≤+成立，求b 的取值范围（注()ax ax e ae ='）．。