江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题

江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是
A ．若a b >，则2
2
ac bc > B ．若a b >，则22
a b > C ．若0a b <<，则2
2
a a
b b << D ．若0a b <<
，则11
a b
> 2．不等式(4)3x x -<的解集为
A ．{}
13x x x <>或 B ．{}
04x x x <>或 C ．{}
13x x << D ．{}
04x x <<
3．双曲线
22
1916
y x
-=离心率为 A ．
53 B ．5
4
C ．73
D ．74
4．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为
A ．
22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036
x y += D ．22
12012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．16
6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为
A ．1
2
B ．13
C ．22
D ．32
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，
要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是 A ．201斤 B ．191斤 C ．184斤 D ．174斤 8．关于x 的不等式2
2
(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是 A ．(32-
，43-](43，32] B ．(32-，43-][43，32
) C ．[32-
，43-)(43，32] D ．[32-，43-)[43，32
) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A ．在△ABC 中，“B ＝60°”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”
B ．“x ＝1”是“x 2
﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件
C ．命题p ：“∃x ＞0，使得x 2＋x ＋1＜0”，则p 的否定：“x ∀≤0，都有x 2
＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅＝(1，2，3)，b ＝(3，0，﹣1)，c ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列等式中正确的是
A ．()a b c b c ⋅=⋅
B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+
C ．222
2
()a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a a =-(其中a 为常数)，则下列说法正确的是 A ．数列{}n a 一定是等比数列 B ．数列{}n a 可能是等差数列 C ．数列{}n S 可能是等比数列 D ．数列{}n S 可能是等差数列
12．已知方程mx 2
＋ny 2
＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ，n ∈R ，p ＞0），它们所表示的曲线在同一坐标
系中可能出现的是
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知向量a ＝(1，4，3)，b ＝(﹣2，t ，﹣6)，若a ∥b ，则实数t 的值为 ． 14．己知正实数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则
11
x y
+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱
上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为 ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （本题第一空2分，第二空3分）．
第15题
16．已知一族双曲线E n ：2
2
21x y n n
-=+(N n *
∈，且n ≤2022)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为
A n ，由A n 向E n 的两条渐近线作垂线，垂足分别为
B n ，
C n ．记△A n B n C n 的面积为n a ，则1232020
a a a a ++++＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
解下列不等式：（1）2
4120x x --≤；（2）2
23
x x +<-． 18．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）
如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形
高度（不含铝合金部分）比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为20000(cm 2
)，设该铝合金窗的宽和高分别a (cm)，b (cm)，铝合金的透光部分的面积为S (cm 2)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．
（1）试用a ，b 表示S ；
（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少?
20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
4x y =，过点P(4，2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ． （1）求k 的取值范围；
（2）若△OMN 为直角三角形，且OM ⊥ON ，求k 的值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2 AF ＝t ，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ；
（2）若t ＝1，求二面角A —DF —B 的大小；
（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．
22．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆
上在第一象限内一点．
（1）若12
2
1
PF F PAF PBF S
S
S
==．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率．
（2）若2
PAF S
，12
PF F S
，1
PBF S
成等差数列，且∠F 1BO ≤30°，求直线PF 1的斜率的取值范围．。