高中数学必修5第2章第1节第1课时数列的概念与简单表示法学业分层测评6

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新人教版高中数学必修五第二章数列教案：2.1 数列的概念与简单表示法

2.1 数列的概念与简单表示法【知识要点】1. 数列的概念：a. 定义：按一定次序排列的一列数叫数列，数列中每个数叫这个数列的项，第n 项记作n ab. 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式=()n a f n 来表示，那么就把这个公式叫这个数列的通项公式。

c. 数列的分类：（1）按照项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列。

（2）按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

（3）按照任何一项的绝对值是否小于某一正数来分：有界数列和无界数列。

d. 数列与函数的关系：数列可以看作一个定义域为正整数集*N 函数f(n)，当它的自变量n 从1开始一次取正整数值时，对应一系列函数值f(1),f(2)……f(n)。

2. 如何根据数列的前几项写出一个通项公式其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律，根据此规律便可写出一个相应的通项公式。

3. 递推公式如果一个数列{}n a 的首项1a =1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即-1=2+1(1)n n a a n >，那么2132a =2+1=3,=2+1=7a a a ，……像这样给出数列的方法叫做递推法，其中-1=2+1(1)n n a a n >称为递推公式。

4. 前n 项和公式S n n a 与通项的关系数列{}n a 的前n 项和S n 与n 的关系可用一个公式表示，则这个公式就叫做这个数列的前n项和公式。

1-1,(n=1)=-,(n 2)n n n S a S S ⎧⎨≥⎩5. 数列的表示法：a.. 通项公式法（解析式法）：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

b. 列表法：用1a 表示第1项，用2a 表示第2项，…….用n a 表示第n 项，以此写出12..........n a a a 、，简记n ac. 图象法：数列是一种特殊的函数，可以用画函数图象的方法画数列的图形。

高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示优化练习新人教A版必修5

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第1课时数列的概念与简单表示[课时作业］[A组基础巩固]1．数列1,0，1,0，1，0,1，0…的一个通项公式是（)A．a n＝1－－1n＋12B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析：n＝1时验证知B正确．答案：B2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ）A．1，错误!,错误!，错误!，…B．－1，－2,－3，－4，…C．－1,－错误!,－错误!，－错误!,…D。

错误!,错误!,错误!，…，错误!解析:对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．答案：C3．数列错误!,错误!,错误!,错误!，…的一个通项公式是( )A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析:观察前4项的特点易知a n＝错误!。

答案:C4．已知a n＝n（n＋1）,以下四个数中，是数列｛a n}中的一项的是（）A．18 B．21C．25 D．30解析：依次令n(n＋1)＝18,21，25和30检验，有正整数解的为数列{a n｝中的一项，知选D。

高中数学人教A版必修五教学课件：第二章《数列》 2.1 第1课时数列的概念与简单表示

2．1数列的概念和简单表示法第1课时数列的概念与简单表示考纲定位重难突破1.了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．2．理解数列是一种特殊的函数．3．掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式.重点：(1)数列的概念．(2)数列通项公式的应用．难点：数列的通项公式的求法.01 课前自主梳理02 课堂合作探究03 课后巩固提升课时作业[自主梳理] 1．数列及其相关概念和简单表示法2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列按项的变化趋势递增数列从第项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第项起，每一项都它的前一项的数列常数列_________的数列摆动数列从第项起，有些项它的前一项，有些项_____它的前一项的数列有限无限大于22 小于各项相等2 大于小于3.数列的通项公式(1)如果数列{a n }的第n 项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的．(2)数列除了可以用通项公式来表示外，还可以通过或来表示．序号n 通项公式列表图象[双基自测]1．数列1，12，14，…，12n，…是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：数列是特殊函数，由函数的单调性易知为递减数列．答案：B2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0解析：n＝1时，a1＝12[1＋(－1)1＋1]＝1，n＝2时，a2＝12[1＋(－1)2＋1]＝0，n＝3时，a3＝12[1＋(－1)3＋1]＝1，n＝4时，a4＝12[1＋(－1)4＋1]＝0.答案：A3．下列说法正确的是( )A ．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k D ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }解析：{1,2,3,5,7}是一个集合，所以A 错；由于数列的项是有顺序的，所以B 错；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是k ＋1k ＝1＋1k ，C 正确；而D 中数列应表示为{2(n －1)}．答案：C4．若数列{a n }的通项满足a n n ＝n －2，那么15是这个数列的第________项．解析：由a n n ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5.答案：5探究一数列的概念及分类[典例1]已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；(3)0，12，23，…，n－1n，…；(4)1,0.2,0.22,0.23，…；(5)0，－1,0，…，cos n2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是__________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．[解析] (1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列．[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1)(2)(5)判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．1．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是a n＝2n＋1.解析：(1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为a n＝2n－1.探究二根据数列的前几项写出通项公式[典例2]根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[解析](1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，….∴a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*)．(2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…，∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n 2n－32n (n ∈N *)．根据数列的前几项求通项公式的思路(1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．2．根据下面数列的前几项，写出它的一个通项公式：(1)1，23，45，87，…； (2)2，－45，12，－411，27，－417，…； (3)1,2,2,4,3,8,4,16,5，…；(4)1,11,111,1 111，….解析：(1)原数列可以改写成201，213，225，237，…，分子是2的指数幂，其中指数为序号减去1，分母中的被开方数是连续的奇数，所以这个数列的一个通项公式为a n＝2n－12n－1.(2)该数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有因式(－1)n＋1；另外，使各项分子为4，这样原数列改写为42，－45，48，－411，414，－417，…，根据序号与对应项的关系，分母的通项公式为3n－1，综合可得这个数列的一个通项公式为a n＝(－1)n＋143n－1.(3)注意到奇数项为1,2,3,4,5，…，偶数项为2,4,8,16，….因而得这个数列的一个通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为10n －1.所以这个数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．探究三数列通项公式的应用[典例3]已知数列2，5，22，11，….(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)问42是否是该数列的项？10呢？[解析](1)原数列可写为2，5，8，11，…，不难发现，“”下面的数值后一项比前一项大3，故通项公式可写为a n＝2＋(n－1)×3＝3n－1，即a n＝3n－1.所以a20＝3×20－1＝59.(2)令42＝3n－1，即32＝3n－1，解得n＝11，∴42是数列的第11项．再令10＝3n－1，即3n－1＝100，解得n＝1013∉N*，∴10不是该数列的项．1．数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项．3．已知数列的通项公式为a n＝4n2＋3n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)试问110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？解析：(1)由题意易得：a 4＝442＋3×4＝17， a 6＝462＋3×6＝227.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，由n ∈N *，故n ＝－8舍去．所以110是数列的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92，由n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．忽视数列与函数的关系致误[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 (x <2).a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎨⎧a －2<0，f (1)>f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1>2(a －2). 解得a <74，故选C. [答案] C[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)，即a ≤138，错选B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．[随堂训练]1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有()A．①B．①②C．①②③D．①②③④解析：数列是按“一定顺序”排列着的一列数，因此选D.注意此题易错选B.答案：D2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( ) A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：C3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 解析：把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋12中，依次得到0,1,0,1.答案：B4．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析：令a n＝n2－8n＋12<0，解得2<n<6，又因为n∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3项．答案：3课时作业。

【2022高考数学一轮复习(步步高)】第1节数列的概念与简单表示法

第1节数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n ＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1.数列的最大(小)项，可以用⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1（n ≥2，n ∈N *）求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修5P33T4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12， a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案 D3.(老教材必修5P33T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.…解析由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2020·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D5.(2019·济南一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析由题意，得a 4＝S 4－S 3＝32. 即255a 13－63a 13＝32，解得a 1＝12. 答案 126.(2020·成都诊断)数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________.解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 答案 30考点一由a n 与S n 的关系求通项【例1】 (1)(2019·广州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.(2)(2020·德州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1，则数列{a n }的通项公式为________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)由a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1可得a 1＝13a 2－1＝1，解得a 2＝6，当n ≥2时，S n －1＝13a n －1，又S n ＝13a n ＋1－1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，则a n ＝6·4n －2，又a 1＝1不符合上式，所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.【训练1】 (1)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________. (2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1). 两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2).又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *).(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)22n －1(n ∈N *) (2)－63 考点二由数列的递推关系求通项多维探究角度1 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n【例2－1】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *). 答案 A角度2 累乘法——形如a n ＋1a n＝f (n )，求a n【例2－2】若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2).所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1(n ≥2)，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1.答案2n ＋1角度3 构造法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n【例2－3】 (2020·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析由a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1. 答案 a n ＝2·3n －1－1角度4 取倒数法——形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n【例2－4】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n－1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1.答案 a n ＝2n ＋1规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.(4)形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝C A ·1a n ＋BA ，①若A ＝C ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为BA ，②若A ≠C ，则采用待定系数法构造新数列求解.【训练2】 (1)(角度1)在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)(角度2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)(角度3)已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(4)(多填题)(角度4)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，且1a n ＋1＋1＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，则A ＝________，数列{a n }的通项公式为________. 解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，累计相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，又n ＝1时也适合，故a n ＝4－1n .(2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·2＝2n 2－n ＋22.又a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n 2－n ＋22.(3)因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0.所以a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋13.因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列.所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝103×4n －1－13.(4)由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n ，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ，故A ＝2，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，则1a n＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.答案 (1)4－1n (2)2n 2－n ＋22(3)103×4n －1－13(4)2 a n ＝12n －1考点三数列的性质【例3】 (1)(2019·宜春期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n}满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则a 2 019＝( ) A.73B.43C.56D.13(2)(2020·衡水中学一调)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5.若a 5是{a n }中的最大值，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意，知a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝43，a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝13，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝23，a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝13，a 7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，……，故数列{a n }从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a 2 019＝a 3＝13.故选D.(2)因为S n ＝⎩⎨⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5，所以当2≤n ≤4时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式；当n ≥6时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋m ，当n ＝5时，a 5＝S 5－S 4＝5m －45，综上，a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n ≤4，5m －45，n ＝5，－2n ＋m ，n ≥6，因为a 5是{a n }中的最大值，所以有5m －45≥8且5m －45≥－12＋m ，解得m ≥535. 答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫535，＋∞规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 021＝( )A.－1B.12C.1D.2(2)已知等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 项取得最大值时，项数n 的值为( ) A.5B.6C.5或6D.6或7解析 (1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的数列，因此a 2 021＝a 3×673＋2＝a 2＝2.(2)由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0，因为d <0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0，又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0. 因为d <0，所以{a n }是递减数列，所以a 1>a 2>…>a 5>a 6＝0>a 7>a 8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C. 答案 (1)D (2)CA 级基础巩固一、选择题1.(多选题)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1 B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，其他都可能. 答案 ABD2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12解析由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2020·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14B.5C.45D.54解析在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2019＝a 673×3＝a 3＝45.答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D5.(2020·山东重点高中联考)已知数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a nn 的最小值为( ) A.234B.595C.353D.12解析数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝34＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝34＋ 12n (1＋2n －1)＝34＋n 2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝35符合上式，故a n ＝34＋n 2(n ∈N *)，则a n n ＝n ＋34n ≥234，等号成立时n ＝34n ，解得n ＝34，n 不为正整数，由于n 为正整数，所以n ＝5时，5＋345＝595；n ＝6时，6＋346＝353<595.则a n n的最小值为353，故选C. 答案 C 二、填空题6.已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝________________. 解析因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥27.(2019·汕头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3(n ∈N *)，则S 10＝________________. 解析因为a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，所以S n ＋2－S n ＋1＝3S n －S n ＋1＋3，整理得S n ＋2＝3S n ＋3，即S n ＋2＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋32，又S 2＝a 1＋a 2＝3，所以S 10＋32＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋32，即S 10＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋32－32＝363.答案 3638.(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________. 解析因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，……， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝820.答案 820 三、解答题9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).B 级能力提升11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( ) A.98项B.97项C.96项D.95项解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 020得1≤n ≤97321，又n ∈N *，故此数列共有97项. 答案 B12.(2020·邵阳月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋3(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋7n2(n ∈N *)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{c n }，则满足c n <2 020的n 的最大整数值为( ) A.338B.337C.336D.335解析对于{b n }，当n ＝1时，b 1＝S 1＝5，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝3n 2＋7n2－3（n －1）2＋7（n －1）2＝3n ＋2，它和数列{a n }的公共项构成的新数列{c n }是首项为5，公差为6的等差数列，则c n ＝6n －1，令c n <2 020，可得n <33656，因为n ∈N *，所以n 的最大值为336. 答案 C13.(2020·青岛调研)已知数列{a n }，a 1＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ≥2，都有2a na n S n －S 2n＝1，则{a n }的通项公式为________________.解析 n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1⇒2（S n －S n －1）（S n －S n －1）S n －S 2n＝2（S n －S n －1）－S n －1S n ＝1⇒1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，12为公差的等差数列. ∴1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝－2n （n －1），当n ＝1时，a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2 14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).C 级创新猜想15.(多选题)已知数列{a n }的通项为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1，则下列表述正确的是( )A.最大项为0B.最大项不存在C.最小项为－14D.最小项为－2081 解析由题意得a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1－1＝1×(1－1)＝0，当n ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＜0，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＜0，∴{a n }的最大项为a 1＝0.a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1－1＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝－29，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－1－1＝49×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－1＝－2081，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－1－1＝827×⎝⎛⎭⎪⎫827－1＝－152729，a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×3n －1－56×2n3n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－56⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0；当n ＜3时，a n ＋1－a n ＜0.∴{a n }的最小项为a 3＝－2081，故选AD. 答案 AD16.(新背景题)(2019·福州二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个.解析法一由题设a ＝3m ＋2＝5n ＋3，m ，n ∈N ，则3m ＝5n ＋1，m ，n ∈N ，当m ＝5k 时，n 不存在；当m ＝5k ＋1时，n 不存在；当m ＝5k ＋2时，n ＝3k ＋1，满足题意；当m ＝5k ＋3时，n 不存在；当m ＝5k ＋4时，n 不存在.其中k ∈N .故2≤a ＝15k ＋8≤2 019，解得－615≤k ≤2 01115，则k ＝0，1，2，…，134，共135个. 即符合条件的a 共有135个，故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135 1 15，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个. 答案135。

高中数学必修五第二章：1数列的概念与简单表示法(1)教案

第二章数列课题：个教课设计2.1 数列的观点与简单表示法（ 1）第课时总序第课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批知识与技术：理解数列及其相关观点，认识数列和函数之间的关系；认识数列注的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：经过对一列数的察看、归纳，写出切合条件的一个通项公式，培养学生的察看能力和抽象归纳能力．感情态度与价值观：经过本节课的学习，领会数学根源于生活，提升数学学习的兴教课要点：数列及其相关观点，通项公式及其应用教课难点：依据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教课器具：投影仪教课方法：经过对一列数的察看、归纳，写出切合条件的一个通项公式，培育学生的察看能力和抽象归纳能力．教课过程： Ⅰ . 课题导入三角形数： 1，3， 6， 10，正方形数： 1，4， 9， 16， 25，Ⅱ . 解说新课⒈ 数列的定义：按必定序次摆列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按必定序次摆列的，所以，假如构成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它们就是不一样的数列；⑵定义中并无规定数列中的数一定不一样，所以，同一个数在数列中能够重复出现 .⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项挨次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，，第 n 项， .比如，上述例子均是数列，此中①中，“ 4”是这个数列的第 1 项（或首项），“ 9”是这个数列中的第6 项 .⒊ 数列的一般形式： a 1 , a 2 , a 3 , , a n ,，或简记为a n ，此中 a n 是数列的第 n 项联合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“ 1”，“ 1”是这个数列的第“ 3”项，等等3下边我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号能否有必定的对应关系？这一关系能否用一个公式表示？（指引学生进一步理解数列与项的定义，进而发现数列的通项公式）关于上边的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项111112345↓↓↓↓↓序号 1 2 3 451这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：a n来表示其对应关系n即：只需挨次用 1，2，3取代公式中的 n，就能够求出该数列相应的各项联合上述其余例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：假如数列a n的第n项a n与n之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意：⑴其实不是全部数列都能写出其通项公式，如上述数列④；.⑵一个数列的通项公式有时是不独一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1， 0，它的通项公式能够是 a n 1 ( 1) n 1，也能够是 a n | cos n1|.22⑶数列通项公式的作用：①求数列中随意一项；②查验某数是不是该数列中的一项 .数列的通项公式拥有两重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中全部各项的一般表示．通项公式反应了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确立了，代入项数便可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列能够当作以正整数集N*（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数 a n f (n) ，当自变量从小到大挨次取值时对应的一列函数值。

高中数学第二章数列 2.2.1 等差数列第1课时等差数列学业分层测评新人教B版必修5

等差数列(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 3＝0，a 7－2a 4＝－1，则公差d 等于( ) A.－2 B.－12C.12D.2【解析】 ∵a 7－2a 4＝(a 3＋4d )－2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ，又∵a 3＝0，∴2d ＝－1，∴d ＝－12. 【答案】 B2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.6【解析】 ∵{a n }为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0. 【答案】 B3.在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )【导学号：18082083】A.50B.51C.52D.53【解析】依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53. 【答案】 D4.在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4＝( ) A.12 B.13 C.14D.16【解析】设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的公差为d ，由4d ＝1a 6＋1－1a 2＋1，得d ＝16，所以1a 4＋1＝1a 2＋1＋2×16，解得a 4＝12，故选A.【答案】 A5.下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】对于(1)，取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错. 对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4 ＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c，(4)正确.综上可知选B.【答案】 B 二、填空题6.中位数为 1 010的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为__________.【解析】设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.【答案】 57.若x ≠y ，两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 4－b 3＝________.【解析】设两个数列的公差分别为d 1，d 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4d 1， y －x ＝5d 2，∴d 1d 2＝54，∴a 2－a 1b 4－b 3＝d 1d 2＝54. 【答案】 548.在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 【解析】设公差为d ，则a 5－a 2＝3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 【答案】 13 三、解答题9.在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？【导学号：18082084】【解】由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项. 10.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .【解】 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列.理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列.(2)由(1)可知，1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，所以a n ＝2n.[能力提升]1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3【解析】设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0.解得83<d ≤3.【答案】 C2.在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则( )A.a n ＝3nB.a n ＝3nC.a n ＝n － 3D.a n ＝3n 2【解析】 ∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ，∴a n ＝3n 2. 【答案】 D3.某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元.【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费.令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).【答案】 23.24.在数列{a n }中，已知a 1＝5，且a n ＝2a n －1＋2n－1(n ≥2，且n ∈N ＋). (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解】 (1)因为a 1＝5，所以a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列，则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，所以2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，即13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1. 当λ＝－1时，a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1]＝12n ＋1×2n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列.。

高中数学必修五2.1.1数列的概念与简单表示法课件人教A版

HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.对数列有关概念的理解剖析要准确理解数列的定义,需特别注意定义中的两个关键词:“一列数”,即不止一个数;“一定顺序”,即数列中的数是有顺序的. 同时还要注意以下五点: (1)数列中项与项之间用“,”隔开. (2)数列中的项通常用an表示,其中下标n表示项的位置序号,即an 为第n项. (3)与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: ①确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.(与集合相同) ②可重复性:数列中的数可以重复.(与集合不同)如数列1,1,1,而由 1,1,1组成的集合是{1}.
第二章数列
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2.1 数列的概念与简单表示法
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第1课时数列的概念与简单表示法
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第1课时数列的概念与简单表示法
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HISHISHULI
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D典例透析
IANLITOUXI其简单应用. 3.理解数列与函数间的关系. 4.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
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D典例透析
IANLITOUXI
【做一做3】在数列{an}中,an=3n-1,则a2等于( A.2 B.3 C.9 D.32 答案:B
).
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第1课时数列的概念与简单表示法
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含义从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列各项相等的数列从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列

人教A版高中数学必修5第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法教案(6)

§2.1《数列的概念与简单表示法》教学设计一、学情分析根据新课程标准,数列这一章首先通过三角形数、正方形数等实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的简单表示法，将生活实际与数学有机的联系在一起。

这样符合学生的认识规律，让学生体会数学就在我们身边。

二、教学目标1.知识与技能目标通过日常生活中的实例,理解数列及其有关概念；了解数列是一种特殊函数2.过程与方法目标①经历数列概念的产生过程，学习从大量实例中提炼数列定义的方法；②通过研究数列的本质属性，学会通过找差异、找联系的方法认识问题；体会类比思想和归纳思想在数学中的应用.3.情感态度价值观目标在通过实际问题引入数列概念后,使学生体会数列的函数背景,感受数列是研究现实问题情境的数学模型．通过本节的学习经历，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐．体会数学记载我们身边.三、教学重点理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型．四、教学难点认识数列是一种特殊函数五、教学设备多媒体课件、实物投影仪等．六、教学过程(一)情境引入，目标展示有人说,大自然是懂数学的.不知你注意过没有，树枝的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列……都遵循了某种数学规律你能发现下面这个数列与这种规律有什么关系？1，1，2，3,5,8,13,21,34,55,89，…(从第三个数开始,每一个数都是前面两个数之和,这就是斐波那契数列)这节课开始我们共同学习有关数列的问题(展示课题,学习目标)(二)创设情境，提出问题情境1 相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋发明者),问他需要什么,达依尔说:”国王只要在国际象棋的棋盘第一格子里放一粒麦子,第二个格子里放两粒,第三个格子里放四粒,以后按此比例每一格多放一倍,一直放到第64个格(国际象棋是格),只要把棋盘上全部麦子给我,其他什么也不要了.”国王想:”这有多少,还不容易!”你认为国王有能力满足上述要求吗?情境2 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：三角形数1, 3, 6, 10, .…..正方形数1, 4, 9, 16, ……你不觉得这些几列数字神秘吗?你不想研究一下它们吗?事实上,在我们生产实践和科学试验中,到处都存在着类似的这样一组一组的数据需要我们研究:1996—2002年某市普通高中生人数(单位:万人):82, 93, 105, 119, 130, 132.目前通用的人民币面额按从大到小的顺序排成的数字:100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1.又如数学中1，2，3，4,5 ……的倒数排列成的一列数：1,12，13，14，15， -1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，…;无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，….问题1：以上各组数据有何共同特点？（三）自主探索，尝试解决生1：每个情境中都是一列数.生2：这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒．生3：它们共同的特点是都有一组按照一定顺序排列的数．师：引导学生归纳得出数列的定义一、数列的概念：1.数列的定义像这样，按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排第二位的数称为这个数列的第2项，······，排第n 位的数称为这个数列的第n 项.2.数列的表示数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为{}n a（四）合作交流，整合结果问题2：{}n a与n a一样吗？生：{}n a表示一个数列，而n a是数列的第n项．a仅仅是数列的第n项吗？请大家讨论一下．师：na有时是数列的第n项（确定的），有时代表任意项，即具有任意性．讨论结果：n问题3：数列中的数可以相同吗？数列中的数可以调换位置吗？生：数列中的数可以相同;数列中的数不可以调换位置师：强调数列中的每一项都和它的序号有关，并说明数列与集合的差异．同时得到：3.数列的特征:数列的顺序性和可重复性问题4：前面几个数列各有什么特点？我们可以将它们如何进行分类？学生讨论后得到：二、数列的分类1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

人教课标版高中数学必修五《数列的概念与简单表示法(第1课时)》教案(1)-新版

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）一、教学目标1．核心素养通过学习数列的含义和表示,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）通过实例,了解数列的概念.（2）理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项．（3）通过观察简单数列,会根据前几项写出它的通项公式．3．学习重点理解数列有关概念．4．学习难点理解数列的通项公式,根据前几项写出它的通项公式．二、教学设计（一）课前设计1.课前预习任务:预习教材P29—P30.思考:数列的概念是什么?通项公式是什么?如何根据前几项写出它的通项公式?（二）课堂设计1．问题探究问题探究一、数列的含义.●观察与思考:毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳里包含了理性的内核,其关于“形数”的研究,强烈地反映了他们将数化作为几何思维元素的精神.图（1）—（4）中的点分别围成了边长为4的“正三角形”、“正方形”、“正五边形”和“正六边形”,按照这种方式给出的点的个数称为边长为的正边形数,那么边长为8的正10边形数为__________.想一想:在以前的数学学习中,我们接触了哪些具体的数列?阅读与举例:请大家阅读教材中所列举的数列例子,并试着列举生活与学习中的数列例子．（鞋子尺码的转化,棋盘中数学）问一问:（1）2,4,6,8与8,6,4,2是同一个数列吗?（2）-1,1,-1,1…是一个数列吗?想一想:请大家根据以上结论,思考什么叫做数列?一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．●数列与集合的区别与联系:（1）作为一个集合的元素,必须是_________的,同样,作为一个数列的项,同样是明确的．（2）对于给定的集合,其中的元素一定是_________的．集合中的任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．而数列中的项可以相同,甚至所有的项都可以是同一个数（即常数列）．（3）对于给定的集合,其中的元素是不考虑__________的,而数列中的每一项都有固定的顺序,如果两个数列的项一样但项的顺序不同,那么这两个数列就不是同一个数列．●数列的分类:1．根据数列的项数的多少分类有穷数列:项数有限的数列.(如1,3,5,7是有穷数列)无穷数列:项数无限的数列.（如-1,1,-1,1…是无穷数列）2.根据项的大小变化分类递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.常数数列:各项都相等.摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.问题探究二、数列的通项公式●数列的通项公式结合上面的知识点以及数列与集合之间的联系与区别,能有如下的规律如果数列{}n a的第_________项与________之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{}n a的_________.●数列通项公式与函数的关系对于数列{}n a 每一项的_________与这一项的对应关系可以看做序号集合到另一个数集的_________.由此可见,数列可以看成特殊的函数.数列通项公式的作用:①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.●对数列的通项公式的认识:（1）表达式n a 的两层含义①_________,②_________.（2）与所有函数关系不一定有解析式一样,并不是所有数列都有通项公式.（3）数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如数列0,1,0,1,0,1……,你能给出多少种不同通项公式呢?问题探究三数列的项数、项、通项公式之间有何联系?例1、写成下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.()(1);(2)11n n n n a a n n ==-⋅+ 【知识点:数列的通项公式；数学思想:特殊到一般】()()()()()()()12111; 22cos 211321; 41n n n n n n a a n n a n a n π+-+==+-=-=+详解：点拨:在求解数列的通项公式时,需从已知条件中分析项与项之间的联系以及项与项数之间的联系,寻求合理的表达式（表达式不唯一）. 例2根据下面数列{}n a 的通项公式,写出前5项:(1)n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1 【知识点:数列的项与通项公式】分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项解:（1） (2) 点拨:根据通项公式求项时,需注意项数与项的对应,同时注意计算（符号）例3数列{}n a 中,452+-=n n a n ． ⑴18是数列中的第几项?⑵n 为何值时,n a 有最小值?并求最小值．;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n【知识点:数列的通项公式】详解:⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ,解得7=n ,∴18是数列中的第7项．⑵Q 49)25(4522--=+-=n n n a n ,+∈N n ∴2=n 或3=n 时,25242)(2min -=+⨯-=n a ．点拨:在求解项中最值时,需利用函数的性质,然需注意项数是正整数.在取最值时要留心.2．课堂总结【知识梳理】（1）数列的概念:一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.（2）数列的分类:按照项数的多少与项之间的变化这两种方式分类.（3）数列的通项公式:项数与项之间的关系.【重难点突破】（1）数列中的数是按一定次序排列的,因此如果两个数列中的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同数列.同时应注意,在数列定义中,并没有规定数列中的数必须不同.（2）数列可以看作是定义域为*N （或它的有限子集{}n ,,2,1⋯）的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列,如果这个对应关系能用一个表达式表示,则这个表达式即这个数列的通项公式.3．随堂检测1.数列1,0,1,0,1,……的一个通项公式是（）A.a n =2)1(11+--n B.a n =2)1(11+-+n C.a n =21)1(--n D.a n =2)1(1n --- 【知识点:数列的通项公式；数学思想:归纳总结】解:B 将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.故选B. 2.设数列11,22,5,2,……则25是这个数列的（）A.第六项B.第七项第八项 D.第九项【知识点:数列的项】解:B 可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ,由5213=-n 得n =7 故选B.3.已知a n =n 2+n ,那么（）A.0是数列中的一项是数列中的一项C.702是数列中的一项不是数列中的一项【知识点:数列的通项公式；数学思想:一般到特殊】解:C 由n 2+n =702即n 2+n －702=0得:n =26或n =－27(舍去故选C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1,2,3,…,n ,…时对应的函数值,以数列形式表示为（）A.－1,1,－－1,－1,1,1,－1,－ C.－1,－1,1,1,－1,－1, (2)1()1(+-n n D.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-nn【知识点:数列的项,通项公式】解:D 显然数列{f (n )}为无穷数列5.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n ,则此数列的前4项分别为______. 【知识点:数列的通项公式】解:6,8,8,964 a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964 （三）课后作业基础型自主突破1.根据下面数列的通项公式,写出前5项:（1）n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的通项公式】解:（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n （2）;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n 2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:（1）1,3,5,7；（2）515;414,313;2122222---- ；（3）-211⨯,321⨯,-431⨯,541⨯. 【知识点:数列的项与通项公式】解:（1）12-=n a n （2）1)1(2+-=n n n a n （3）)1(1)1(+-=n n a n n 3.已知数列的第1项是1,以后的各项由公式111-+=n n a a 给出,写出这个数列的前5项. 【知识点:数列的通项公式】解:3211,211,123121=+==+==a a a a a ,58,3511534==+=a a a4.已知数列{}n a 中,n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3）,试写出数列的前4项.【知识点:数列的通项公式】解:233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a能力型师生共研5.在数列{a n }中,,,,,c b a c bn an a n 其中+=均为正实数,则n a 与1+n a 的大小关系是（） A ．1+<n n a a B ．1+>n n a a C ．1+=n n a a D ．不能确定【知识点:数列的通项公式,大小比较】解:答案A6.k 为正偶数,)(k p 表示等式)214121(21114131211k k k k k +++++=--++-+- 则)2(p 表示等式 ,)4(p 表示等式 .【知识点:数列的通项公式】解:)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=- 7.已知数列{}n a 中,11=a ,1211+=--n n n S S S ,求{}n a 的通项公式．【知识点:数列的通项公式与前n 项和】解:21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1)32)(12(2---n n ∴⎪⎩⎪⎨⎧---=3211211n n a n )2()1(≥=n n 8.已知数列{}a n :…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证:()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ．②设()N n a a b n n n ∈=+11,求n b b b +++…21 【知识点:数列的通项公式】解:①由条件,()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴221+=+n a n ；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ②()()()(),214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=21114n n b n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n ………。

高二数学人教A版必修5教学教案2-1数列的概念与简单表示法(通用)(1)Word版含解析

数列之花处处盛开——数列的概念及简单表示法（教案）一、知识与技能1.理解数列有关概念、性质及数列的分类；2.掌握数列的通项公式的概念；3.了解数列和函数之间的关系，掌握数列的三种表示法；4.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、思考、交流、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性。

三、情感态度与价值观1.通过大自然和日常生活中的大量实例，鼓励学生理论联系实际；2.激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；3.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

四、教学重点与难点重点：数列的概念，数列的表示法。

难点：根据一些数列的前几项抽象，归纳数列的通项公式。

五、教学情景设计（一）引入：1.花的花瓣数借助生动的图片，阐述兰花上有3片花瓣，苹果花上有5片花瓣。

格桑花上有8片花瓣，菊花上有13片花瓣。

紫菀花上有21片花瓣。

向日葵花上有34片花瓣。

2.树在生长过程中的各个年份的枝桠数:1,2,3,5,8,13，……3.在向日葵花盘上，种子从中心开始一直延伸到花瓣，排列成1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。

4.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用“三角形点阵” 1,3,6，……研究数学。

5.用正方形点阵表示，故称其为正方形数.：1,4,9,16，……6.杜甫的《绝句》两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。

窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。

诗中出现的数字：2,1,100,100007.请列举出生活中的一列数的例子（请学生踊跃举手回答）比如某班级同学的身高： 154,177,160,175,160,148，……某文具店每天卖出的铅笔数：20,41,13,52,9，……又如细胞分裂，核裂变，中国的GDP,银行的利率，住房贷款等等都涉及到我们的数学。

人教版数学必修5第二章第一节数列的概念与简单表示法

思考: 数列的通项公式是唯一的吗? 不唯一
练习与巩固
⒈根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
⑴an=n2 ⑵an=10n
1, 4, 9, 16, 25 10, 20, 30, 40, 50
⑶an=5×(-1)n+1
5, -5, 5, -5, 5
2n 1 (4)an n 2 1 .
问题1：数列:1，2，3，4，5 数列:5，4，3，2，1
它们是不是同一数列？
问题2：数列：－1，1，－1，1，··· 数列：1，－1，1，－1，···
它们是不是同一数列？
数列的一般情势可以写成：
a1, a2 , a3, … , an , …
其中右下标n表示项的位置序号，上面的数列又可简记为
⒉根据下面数列{an}的通项公式，写出它的第7项与第10项：
(1) a n
1 n3
1,1 343 1000
⑵an=n（n+2）
63，120
(3) a n
( 1) n 1 n
1 , 1 7 10
⑷an=-2n+3
-125，-1021
⒊说出下面数列一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数
⑴ 2，4，6，8
∴ n=1003.5 N* ∴ 2006不是这个数列的项。
例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1,3,5,7;
an 2n 1
（2）4，9， 16，25； an (n 1)2
(3)1，
1 ，1 ， 23
1 ；an 4
(1)n1
1 n
（4）2，0，2，0。
an 1 (1)n1
普通高中课程标准实验教科书数学必修5

高中数学人教版必修五《第2章数列2.1第1课时》课件

解析： (1)
序号
1
2
3
4
↓
↓
↓↓
项分母2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1
↓
↓
↓↓
项分子 22－1 32－1 42－1 52－1
即这个数列的前4项的分母都是序号加1，分子都是分母的
平方减1，所以它的一个通项公式是an＝n＋n＋121－1(n∈N*)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式为an＝
1 2
，
4 2
，
9 2
，
16 2
，
25 2
，…，所
以，它的一个通项公式为an＝n22.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，
并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式
为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式为an＝ab，，nn为为奇偶数数，.
• 答案： C
3．已知数列1， 3， 5， 7，…， 2n－1，…，则3 5 是它的第________项．
解析： ∵an＝ 2n－1，由 2n－1＝3 5，得n＝23， ∴3 5是数列的第23项．
• 答案： 23
4．写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)22－2 1，32－3 1，42－4 1，52－5 1； (2)23，145，365，683，1909，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)5,55,555,5 555，….

人教版高中数学必修五学业分层测评6数列的概念与简单表示法含解析

学业分层测评（六）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．【答案】 B2．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( ) A ．70B ．28C ．20D ．8 【解析】由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 C3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．【答案】 A4．(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．【答案】 A5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．【答案】 C二、填空题6．(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为．【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9.【答案】 97．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝ .【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或－1，又a <0，∴a ＝－1.又a ＋m ＝2，∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.【答案】 28．(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为a n＝.图2-1-1【解析】因为OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…，OA n＝n，…，所以a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，a n＝n.【答案】n三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…. 【导学号：05920064】【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4 5，4 8，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n＝43n＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n＝n(n＋1)2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n＝79(10n －1)．10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2016；(3)2016是否为数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎨⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062.(3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N *，故2 016不是数列{a n }中的项．[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．log 23＋log 31325 【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．【答案】 B3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有个点．图2-1-2【解析】观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2. 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教A版高中数学必修5《二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法(通用)》示范课课件_6

an=22��-��1. (3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(-1)n+1,观察各
项绝对值组成的数列,从第 3 项到第 6 项可见,分母分别由奇数 7,9,11,13 组成,而分子则是 32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第 1,2 两项可改
写为122++11,-22×22++11,所以 an=(-1)n+12��2��++11.
C.数列
��+1 ��
的第
k
项为
1+1��
D.数列 0,2,4,6,8,…可记为{2n} 答案:C 解析:选项 A 考查数列与集合的异同,{1,3,5,7}是集合的表示方法; 选项 B 中两个数列中的数虽然相同,但排列顺序不同,因此不是同一数列;选项 D 中应记为{2(n-1)}.
第1课时数列的概念与简单表示法
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
二、数列的通项公式
活动与探究
1.试写出数列 1,-1,1,-1,1,-1,…的通项公式,由此可知一个数列的通
项公式唯一吗?
提示:数列 1,-1,1,-1,1,-1,…的通项公式可表示为
所以通项公式为 an=��-21; (3)因为 9=10-1,99=100-1,999=1 000-1,9 999=10 000-1,所以数列的
通项公式为 an=10n-1; (4)因为 1=1+2 1,0=12-1,所以数列通项公式为 an=1+(-12)��+1.

人教版高中数学必修5导学案 2.1数列的概念与简单表示法(1)

第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法(1)【学习目标】1. 使学生理解数列的定义、能够区分项与项数这两个不同概念；2.使学生掌握通项公式概念，能够用不完全归纳法写出一些数列的通项公式.【重点难点】重点:数列的定义、通项公式.难点:应用不完全归纳法推导出数列的通项公式. 【学习过程】一、自主学习：任务1: 函数x y 3=，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？任务2: 函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、合作探究归纳展示数列的概念⒈ 数列的定义：的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分数列和数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列.三、讨论交流点拨提升例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵ 1，－1， 1，－1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项四、学能展示课堂闯关知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n+中的一项（）.A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是 .5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .五、学后反思1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.【课后作业】1. 写出数列｛2n｝的前5项.2. （1）写出数列2212-，2313-，2414-，2515-的一个通项公式为 .（2）已知数列3，7，11，15，19，…那么311是这个数列的第项.。

人教A版高中数学必修5《二章数列2.1数列的概念与简单表示法》优质课教案_0

第1讲数列的概念及简单表示法教学目标：1•了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; 2•了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数知识梳理1. 数列的概念⑴数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.⑵数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数a n= f（n）.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列｛a n｝的第n项ch与序号n之间的关系可以用一个式子a n f）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式•（2）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a n 与它的前一项a n —1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.诊断自测1. 判断正误(在括号内打“V”或“X”) |精彩PPT 展示(1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 .(X ) (2) 一个数列中的数是不可以重复的.(X ) ⑶所有数列的第n 项都能使用公式表达.(X )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个 .(")2. (2016保定调研)在数列｛a n ｝中，已知a 1= 1, a n +1 = 2a n + 1,则其通项公式为a n =() A.2n — 1B.2n —1 +1C.2n — 1D.2( n — 1)解析法一由a n +1 = 2a n + 1,可求a 2= 3, a 3= 7, a 4= 15,…，验证可知a *= n 2 — 1.法二由题意知a n +1+ 1 = 2(a n + 1),二数列｛a n + 1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，二 a n + 1 = 2n ，— a n = 2n — 1. 答案 A3. (2016山西四校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S n = 2a n — n ,则a n =( ) A.2n —1 — 1B.2n — 1C.2n — 1D.2 n + 1解析当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2a n — n — 2a n -1 + (n — 1), 即 a n = 2a n -1 + 1,— a n + 1 = 2(a n -1 + 1),•••数列｛a n + 1｝是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列，二a n + 1 = 2 2n —1 = 2n ,••• a n = 2n — 1. 答案 B4. (2015江苏卷)设数列｛a n ｝满足a 1= 1,且a n +1 — a n = n +1(n € N *),贝擞列丘 10项的和为4•已知数列｛a n ｝的前n 项和s n ,则a n ―5= 1), (n > 2)将以上n — 1个式子相加得 a n — a 1 = 2 + 3+ …+ n =(2+ n )( n —1)2,即 a n = 解析 t a 1 = 1, a n +1 — a n = n + 1，— a 2 — a 1 = 2, a 3 —a 2= 3, …,a n — a n — 1 = n ,n (n + 1)2__1 2 (1令 bn = a n ，故 bn = n (n + 1) = 1 2 3 石_市，故 S io = b i + b 2 + …+ b io「111 1 1 、 20 21-2+ 2-3+…+忆-后二亓 20答案205. （人教A 必修5P33A5改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n =考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式: (1)- 1, 7，- 13, 19, 24_ 6 .8 1023，15，35，63，99,n 9252—0 ---------2 2 ?(4)5，55，555，5 555,解（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（一1）n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为a n二（-1）n （6n - 5）.（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X 3, 3X 5, 5X 7, 7X 9, 9X 11,…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项公式为 an =（2n - 1）2（2n + 1）-3 数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观16答案5n- 4考点突破分黄讲竦，以例求法1 4 9 16 25 n察.即2, 2, 9, 2, 25,…，从而可得数列的一个通项公式为a n = 2.5 5 5(4) 将原数列改写为9X9, 9X99, 9X999,…，易知数列9, 99, 999,…的通项5为10n-1,故所求的数列的一个通项公式为a n=|(10n-1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征•应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想•【训练"⑴数列-匕，丈，-匕，息，…的一个通项公式a n = ----------------------3 7 9⑵数列｛a n｝的前4项是3，1 , 10, 17，则这个数列的一个通项公式a n = ________解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数1项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n= (- 1)n 1 .n (n+ 1)(2)数列｛a n｝的前4项可变形为2X 1 + 1 2X2+ 1 2X 3+ 1 2X4+ 1 ” 2n+ 1 〒+厂，'亏百‘7+厂'故an=孑+7. 答案⑴日丁市讨⑵铝考点—-由Si与a n的关系求a n【例2】设数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛S n｝的前n项和为T n,满足T n = 2S n2 *—n , n € N .(1) 求a1的值；(2) 求数列｛a n｝的通项公式.解(1)令n= 1 时，2S —1,T S1 = a1，—a1 = 2a1 —1，—a1= 1.2(2)n》2 时，T n-1 = 2S-1 —(n- 1),则S n= T n- T n-1 = 2S n-[2S n-1- (n- 1)2]—2(Si —S n-1) —2n+ 1=2a n —2n + 1.因为当n—1时，a1 —Si —1也满足上式,所以 S n — 2a n — 2n + 1(n 》1),当 n 》2 时，Sn -i — 2a n -i — 2(n — 1)+ 1,两式相减得a n — 2a n — 2a n -1 — 2,所以 a n — 2a n -1 + 2(n 》2),所以 a n + 2— 2(a n -1 + 2), 因为a 〔 + 2— 3工0, 所以数列｛a n + 2｝是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以 a n + 2— 3X 2n —1,.・. a n — 3X 2n —1 — 2,当n — 1时也成立，所以 a n — 3X 2n —1 — 2.规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n — S1, S —X 当n — 1,S n — S n -1, n 》2.时，a 1若适合S n — S n — 1,则n — 1的情况可并入n 》2时的通项a n ；当n — 1时, a 1若不适合S n — S n -1，则用分段函数的形式表示•-11 小 1当 n — 1 时，a 1 — 1工 2 X 2 — 3,【训练2】 (1)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1— 1 , S n — 2a n +1,则S n —(A.2n —1n -1B. 2n — 11D^n -12 C.21 1又 a 2 — 2，A a n —n — 23(n 》2).n -1 n -11(2)由题意得,当 n 》2 时，a n — a 〔 + (a 2 — a“+ (a 3 — a 2)+…+ (a n — a n -1) — 2+ (2 + 3 (n — 1)(2+ n ) n (n + 1)+ …+ n)— 2 + 符合上式，因此2a n —今严+ 1. + 1.又 a 1 — 2—+1,(3)法一因为a n —n — 1 —^a n -(a n -1 —n — 2 n — • a n -2,・以上(n — 1)个式子的等号两端分别相乘得a n — a 1 • n — 1• •• S n — 2a n +1— 2X 2X 32 1(2)由S n = 2*n + 3得当n 》2时，2两式相减，得a n = 3a n — ・••当 n 》2 时，a n = — 2a n -1,即一~ = 一 2.a n -12 1又 n = 1 时，Si = a 1 = 3*1 + 3， a 1 = 1 ,二 a n = (— 2)n 1. 答案(1)B— 2)n -1考点三由数列的递推关系求通项公式【例3] (1)在数列｛a n ｝中，a 1= 1, a n +1 = 2a n + 3,求它的一个通项公式为a n . (2)在数列｛a n ｝中，a 1 — 2, a n +1 — a n + n + 1,求 a n .n — 1⑶已知数列｛a n ｝满足 a 1— 1, a n — —^a n -1(n 》2), 求 a n .解 ⑴设递推公式a n +1 — 2a n + 3可以转化为&+1 +1 — 2(a n +1),即卩a n +1 — 2a n +1, 解得t — 3.故 a n +1 + 3 — 2(a n + 3).令 b n — a n + 3,贝U b 1 — a 1 + 3 — 4, b n + 1 a n +1 + 3 b n a n + 3所以｛b n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列 ••• b n — 4 2n —1 — 2n +1,••• a n — 2n +1-3.2.1 —n .规律方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解•(1) 当出现a n — a n -1 + f(n)时，用累加法求解；(2)当出现旦 —f(n)时，用累乘法求a n — 1 解；(3)当出现a n +1 — pan + q 时，将a n +1 — pa n + q 的递推关系式可以化为(a n +1 + t)— p(a n +1)的形式，构成新的等比数列，其中t —p — 1【训练3】(1)(2016合肥一模)已知数列｛a n ｝满足a 1 — 1, a 2 — 4, a n +2 + 2a n — 3a n+ 1(n € N )，则数列｛a n ｝的通项公式a n — ______ .(2) 在数列｛a n ｝中，a 1 — 1， S n — n ；2a n ，则 a n — __ . 解析 (1)由 a n + 2 + 2a n — 3a n +1 — 0，得 a n +2— a n +1 — 2(a n +1 — a n )，数列｛a n +1 — a n ｝是以a 2— a 〔一 3为首项,2为公比的等比数列，「• a n +1 — a n — 3X 2—1n 》2 时，a n — a n -1 — 3x 2n 4，…，a 3 — a 2 — 3x 2， a 2 — a 1 — 3，将以上各式累加得a n — a 1 — 3x 2n —2+ …+ 3x 2 + 3 — 3(2n —1— 1)，.a n — 3 x 2n 1 — 2(当 n — 1 时，也满足).(2)由题设知，a 1 — 1.n + 2 n +1a n — S n — S n — 1 — ~3~ a n — ~3~ a n —1.4法二因为 a n— a n a n —1a nT a n — 2 a n —2 a n — 3a 3 a 2n — 1 n — 2 n — 1—• — • a i ------ • •a 2 a i n n — 1n —当n 》2时, a n n +1 a n n +1a n —1 n — 1 a n -1 n — 1 a 4 5 a 3 4 a 2 小 =— =— —3a 3，a 2，a 以上(n —1)个式子的等号两端分别相乘，得到a ； - n (+^，又「a 1 -1，. a nn (n + 1)考点四数列的单调性及应用答案 (1)3x 2n — 1— 2n (n + 1)【例4】已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2n2+ 2n,数列｛b n｝的前n项和T n= 2-b n.(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；⑵设C n= a2• b n,证明：当且仅当n A 3时，C n + 1< C n.(1)解当n= 1 时，a i = S i = 4. 对于n>2, 有a n= S n- Sn-i = 2n(n+ 1)-2(n—1)n = 4n. 综上，｛a n｝的通项公式a n = 4n.将n = 1 代入T n= 2 —b n,得 5 = 2—b1,故「= b1= 1.(求b n 法一)对于n A2,由T n—1= 2—b n—1, T n= 2—b n,1 1—n得b n= T n—T n—1 = —(b n—b n —1) , b n = ^b n —1 , b n= 2 . (求b n 法二)对于n A2,由T n= 2—b n,得T n= 2—(T n —T n-1),1 1 —n 1 —n2T n= 2 + T n—1, T n—2 = ](T n-1 —2), T n —2 = 21 n(T1 —2)= —21 n, T n= 2—21—n, b n= T n —T n-1= (2 —21 —n) —(2 —22—n) = 21 —n. 综上，｛b n｝的通项公式b n = 21 —n.(2)证明(法一)由c n = a2• b n= n225—n,得詈=舟1+ n •1 4 L当且仅当n A 3 时，1 + -< 3<.2,即C n+1< C n.n 3(法二)由C n= a in • b n= n225 n,得c n+1 —c n = 24-n[( n + 1)2—2n2] = 24-n[ —(n—1)2+ 2].当且仅当n A 3 时，C n+1 —C h < 0,即卩C n +1 < C n.规律方法(1)单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n+1与a n(n€ N )的大小，若a n+1 >a n恒成立，则｛a n｝为递增数列；若a n+1 < an恒成立，则｛a n｝为递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.(2)求数列｛a n｝的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等a n W a n+1 ,a n A a n+1 ,来确定n. On A a n —1式法，求最小项可由’来确定n,求最大项可由‘©n W a n—1若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.3 * 【训练4】已知首项为2的等比数列｛a n｝不是递减数列，其前n项和为S n(n€ N ),且S 3+ a 3， Ss + a 5， S4 + a 4成等差数列. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；1 *⑵设T n = S n -S n （n € N ），求数列｛T n ｝的最大项的值与最小项的值解（1）设等比数列｛a n ｝的公比为q ,因为S 3+ a 3， S 5+ a s ， S 4+ a 4成等差数列，所以 S s + a s — S 3— a 3 = S 4+ a 4 — S 5-a s ，即卩 4a s = a 3，干是 q 2_ a s —1 于疋 q — a 3 — 4.3 1又｛a n ｝不是递减数列且a 1= 2，所以q = — ~2故等比数列｛a n ｝的通项公式为1/ 1 n " + £，n 为奇数，（2）由（1）得 $= 1- - 2 =1J-艺，n 为偶数.当n 为奇数时，s n 随n 的增大而减小， 3所以 1 V S n < Si = 2，挤c c 1 c 1 3 2 5 故0V Sn -斎亍 2-3二 6.3当n 为偶数时，s n 随n 的增大而增大，所以3= S 2< s n v 1, 11347故0>&-s n 》③-亍4-3=-佢* 71 5综上，对于n €N ,总有一12= S n -6.5 7所以数列｛T n ｝最大项的值为6，最小项的值为一［思想方法］1•由数列的前几项求数列通项，通常用观察法（对于交错数列一般有（-1）n 或（- 1）n +1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几3_2n课堂总结反思归纳’感悟提升n 1 - 2X 3- 2 - n a项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.、 S 2•强调an 与3的关系：an 」S n _ S n -1 3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. ［易错防范］1. 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n = f(n)和函数y = f(x)的单调性是不同的.2. 数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n = S n -Sn-1的形式，但它只适用于n 》2的情形.课时件业分层训练'提升能力基础巩固题组 (建议用时：40分钟)、选择题1.数列0, 1, 0，- 1，0，1，0，- 1,…的一个通项公式是a n 等于( )令门=1, 2，3，…，逐一验证四个选项，易得 D 正确. 答案 D 2.设a n = — 3n 2 + 15n -18,则数列｛a n ｝中的最大项的值是(解析 I a n =- 3 n -5 + 4，由二次函数性质，得当n = 2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D3. (2016黄冈模拟)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n = n 2-2n +2,则数列｛a n ｝的通项(n = 1),(n > 2)A (- 1)n+ 1A. 2n + 1C.cos —2 nn nB.cos解析 A 16 A.§ c 13BEC.4D.0公式为() A. a n = 2n— 3解析当n = 1时，a i = S i = 1,当n 》2时，a n = S n — S n -1 = 2n — 3,由于a i 的值不适合上式，故选C. 答案 C4.数列｛a n ｝满足 a n +1 + a n = 2n — 3,右 a 1 = 2,贝U a 8— a 4=( )A.7B.6C.5D.4解析依题意得(a n +2+ a n +1)— (a n +1 + a n ) = [2(n + 1)— 3] — (2n — 3),即 a n + 2 — a n — 2, 所以 a 8 — a 4 — @8 — a 6)+ (a 6 — a 4)= 2+ 2 — 4. 答案 D5. (2015 石家庄二模)在数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2, a 2 — 7, a n +2 等于 a n a n + 1(n € N ) 的个位数，贝U a 2 015—() A.8B.6C.4D.2解析由题意得 a 3 — 4, a 4 — 8, a 5 — 2,a 6 — 6,a 7 — 2,a 8 — 2,a 9 — 4, a 10= 8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6,故a 2 015— a 335x 6+5— a 5 — 2. 答案 D 二、填空题6. ....................................................................................................................... 在数列｛a n ｝中，a 1= 1,对于所有的n 》2, n € N ,都有a 1 • a 2 • a 3 ................................. a n —门2,贝U a 3 + a 5 — _____ .解析由题意知 a 1 • a 2 • a 3 ......... a n -1 — (n — 1)5 6,5 2 解析当 n = 1 时，a 1 = S 1 — 1a 1 + 3,B.a n = 2n + 3C.a n =1 n = 1,、2n — 3, n 》2 J 1, n = 1, D.a n =2n + 3, n 》2二a n= n—h2(n》2)「a3+ a5= f+ 4 禁答案611a1 = 1.27. （2016潍坊一模）已知数列｛a n｝的前n项和S n=?a n+3,则｛a n｝的通项公式a n=8. (2015 太原二模)已知数列｛a n ｝满足 a 1 — 1, a n — a n +1— n a n a n +1( n € N )，贝U a n —三、解答题9. 根据下列条件，确定数列｛a n ｝的通项公式. (1) a 1 — 1, a n +1 — 3a n + 2； (2) a 1 — 1, a n +1— (n + 1)a n ；(3) a 1 — 2, a n +1 — a n + In 1 + 门. 解⑴：a n +1 — 3a n + 2,• - an +1 + 1 — 3(a n + 1),•数列｛a n + 1｝为等比数列，公比q — 3, 又 a 1+ 1— 2, • a n + 1 — 2 3n 1 ,• a n — 2 3n 1 — 1. a n +1 (2) a n +1 — (n + 1)a n ,.°. & — n + 1. .a na n —1当n 》2时,1 1a n — Sn 一 S n -1 — ga n —3a na n 1a n -1 21 •••数列｛a n ｝为首项a 1 —1,公比q —— 2的等比数列，故 a n—-1n —1答案-1n 一 11 1解析由已知得一—一 —n , a n +1a n1 1 ,1 • 一一 - — n — 1, a n a n -1a n -1丄—n -2,- a n -2丄丄1 'a 2 a 1'1 1 _ n (n — 1) a n a 1—2 21 n — n + 22a n —. 2 • an —n 2- n + 2.a n + 1 +1a n + 1 3,•—n, —n —1,a n-1 a n-2累乘可得，a n = n x (n — 1)x (n — 2)x — x 3X 2 x 1 = n ! 故 a n = n !a n + In 1+1 ,,n , n — 1 , 2 an — a1= ln n —1+ ln n^+…+ ln 1 = 又 a 1 = 2，— a n = In n + 2._ itc*10. 设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n .已知 a 1 = a(a € R 且 a ^ 3), a n +1 = S n + 3 , n € N .(1) 设b n = S n — 3",求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵若a n +1》a n , n € N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n +1 — S n = a n +1 = S n + 3“，即 S n +1 = 2S n + 3n ,由此得 S n + 1一 3“ +1 = 2(S n — 3),又S 1 — 31= a — 3(a M 3),故数列｛S n — 3n ｝是首项为a — 3,公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n = S n — 3n = (a — 3)2n 1, n € N . (2) 由(1)知 S n = 3n + (a — 3)2n —1, n € N *,于是，当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 3n + (a — 3)2n 「1 — 3n —1 — (a — 3)2n —2 = 2x 3n —1+(a —3)厂2,a n +1 — a n = 4 x 3“ 1 + (a — 3)2n 2n 一 2 当 n 》2 时，a n +1》a n ? 12 • 2 + a — 3》0? a > — 9.a 3 a 2=3, a 2a i a i = 1. …a n +1 — a n = In 1+1=lnn + 1 na n — a n — 1 =说,a n —1 — a n —2=Inn — 1n —2，a 2 — aln2In n.又a2= a1+ 3>a1. 综上，所求的a的取值范围是［—9, 3)U (3,+x).能力提升题组(建议用时：20分钟)11. 已知数列｛a n｝满足a n+1 = a n —a n-1(n》2), a i= 1, a2 = 3,记S n= a i+ a2+…+a n,则下列结论正确的是()A.a2 014=—1, S2 014= 2B.a2 014= —3, S2 014= 5C.a2 014= —3, S2 014= 2D.a2 014= —1, S2 014= 5解析由a n+1 = a n —a n—1(n》2)，知a n+2 = a n+1 —a n,贝U a n+2= —a n—1(n》2), a n+3 =—a n,…，a n+ 6= a n,又a1 = 1, a2 = 3, a3= 2, a4= —1, a5= —3, a6= —2, 所以当k€ N 时，a k+1 + a k+ 2+ a k+3+ a k+ 4+ a k+5 + a k+ 6= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0, 所以a2 014= a4=—1, S2 014= a1 + a2 + a3 + a4= 1 + 3+ 2+ (—1) = 5.答案Dn12. (2016贵阳监测)已知数列｛a n｝满足a1 = 2, a n+1= -(n€ N )，则该数列的前1 —a n2 015 项的乘积a1 • a2 • a3 ..... a2 015= ______________ .1 + a1 - 1 + a2 1 1 + a3 1 1 + a4 解析由题意可得，a2= = —3, a3 = = —2，a4= = 3, a5= :i —a1 1 —a2 2 1 —a3 3 i —a4 =2= ◎,•••数列｛a n｝是以4 为周期的数列，而2 015= 4X503+ 3, a1&a3a4= 1 , •••前 2 015 项的乘积为1503• a1a2a3= 3.答案313. 已知a n= n2+入n且对于任意的n€ N，数列｛a n｝是递增数列，则实数入的取值范围是________ .解析因为｛a n｝是递增数列，所以对任意的n€ N*，都有a n+1>a n,即(n+ 1)2+小+ 1)>n2+入n整理，得2n+ 1+ >0,即卩A> —(2n+ 1).(*)因为n》1,所以一(2n + 1) w —3,要使不等式(*)恒成立，只需A> —3.答案(—3,+^)1 n *14. 在数列｛a n｝中，a1 =1, a n a n+1 = 2 (n€ N ).⑴求证：数列｛a 2n ｝与｛a 2n —1｝( n € N )都是等比数列；(2)若数列｛a n ｝的前2n 项和为T 2n ,令5= (3 — T 2n ) n (n + 1),求数列｛b n ｝的最大项.(1)证明因为 a n a n +1= 2 ， a n + 1a n + 2= 1 ，所以0^ 11又a 1= 1, a 2 =2，所以数列a 1, a 3,…，a 2n -1,…，是以1为首项, 等比数列；1 1数列a 2, a 4,…，a 2n ,…，是以1为首项，1为公比的等比数列.(2)解由(1)可得 T 2n = (a 1 + a 3 + …+ a 2n — 1)+ (a 2 + a 4 + …+ a 2n ) 2 VII — 2 1 n 1 n〔n +1 所以b 1< b 2= b 3> b 4>・・・> b n >…，所以(b n ) max ==3— 3 ，所以 b n = 3n(n + 1) , b n +1 = 3(n + 1)(n + 2), 1— 1 n 1 2 门+ 1 2 所以 b n +1 — b n = 3(n + 1) 2 号—n = 3( n + 1)广1(2 — n).2 1(2)若数列｛a n｝的前n项和S n—§a n+ 3，则｛a n｝的通项公式a n —解析(1) v S n—2a n+1，—当n》2 时，S n-1 —2a n, • I a n —S n—S n —1 —2a n + 1 —2a n(n》2),a n+1 3,即—o (n》2),a n 2'1, n—1,二a n —彳 1 /3 彳 2 1 I踢，n》2,。

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学业分层测评（六）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【解析】数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
【答案】 B
2．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧
3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，
则a 2·a 3等于( ) A ．70
B ．28
C ．20
D ．8 【解析】由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n ＋1，n 为奇数，
2n －2，n 为偶数，
得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.
【答案】 C
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)
B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)
C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)
D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)
【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1,3＝22
－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．
【答案】 A
4．(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝
n －1n ＋1
，那么这个数列是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1
越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．
【答案】 A
5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )
A ．第100项
B ．第12项
C ．第10项
D ．第8项
【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．
【答案】 C
二、填空题
6．(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为．
【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.
∵n ∈N *，∴n ≤9.
【答案】 9
7．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝ .
【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝a ＋m ＝2，
a 2＝a 2＋m ＝4，
∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或－1，又a <0，∴a ＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴a n＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】 2
8．(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为a n＝.
图2-1-1
【解析】因为OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…，
OA n＝n，…，
所以a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，a n＝n.
【答案】n
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4
5，
1
2，
4
11，
2
7，…；
(2)1
2，2，
9
2，8，
25
2，…；
(3)1,3,6,10,15，…；
(4)7,77,777，…. 【导学号：05920064】
【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4 5，
48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n ＝43n ＋2
. (2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.
(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分
母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2.
(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1)．
10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求a 2016；
(3)2016是否为数列{a n }中的项？
【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，
解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.
(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062.
(3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N *，
故2 016不是数列{a n }中的项．
[能力提升]
1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15
B ．5
C ．6
D ．log 23＋log 31325 【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3
×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.
【答案】 B
2．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，3)
C ．(－∞，2)
D ．(－∞，3]
【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．
【答案】 B
3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有个点．
图2-1-2
【解析】观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．
【答案】 n 2－n ＋1
4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．
(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．
【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．
令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，
则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2
. 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．。

高中数学必修5第2章 第1节 第1课时数列的概念与简单表示法学业分层测评6

新人教版高中数学必修五 第二章数列教案：2.1 数列的概念与简单表示法