高考数学一轮复习单元质检二 函数

单元质检二 函数
(时间:100分钟 满分:150分)
单元质检卷第3页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合M={x|2x-1<1,x ∈R },N={x|lo g 12
x<1,x ∈R },则M ∩N 等于( )
A.(1
2,1) B.(0,1) C.(1
2,+∞) D.(-∞,1)
答案:A
解析:由题可得M={x|x<1},N={x |x >1
2}, ∴M ∩N={x |1
2<x <1},故选A .
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是( ) A.y=-1
x
B.y=-x 2
C.y=e -x +e x
D.y=|x+1| 答案:C
解析:选项A 中函数是奇函数,不合题意;
选项B 中函数在区间(0,+∞)内单调递减,不合题意; 选项D 中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选C .
3.已知函数f (x )的定义域为R .当x<0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x>1
2时,f (x +1
2)=f (x -1
2),则f (6)=( ) A.-2
B.-1
C.0
D.2
答案:D
解析:由题意可知,当-1≤x ≤1时,f (x )为奇函数; 当x>1
2时,由f (x +1
2)=f (x -1
2)可得f (x+1)=f (x ). 所以f (6)=f (5×1+1)=f (1). 而f (1)=-f (-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f (6)=2. 故选D .
4.(2020山东,6)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I (t )=e r t 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT.有学者基于已有数据估计出
R 0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案:B
解析:由R 0=3.28,T=6,R 0=1+rT 得3.28=1+6r , ∴r=
2.286
=0.38,∴e 0.38t =2,
即0.38t=ln 2,0.38t ≈0.69, ∴t ≈0.69
0.38≈1.8(天),故选B .
5.已知函数f (x )=(15)x
-log 3x ,若实数x 0是方程f (x )=0的解,且x 0<x 1,则f (x 1)的值( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零
答案:A
解析:f (x )=(15)x
-log 3x 在区间(0,+∞)内递减,若f (x 0)=0,当x 0<x 1时,一定有f (x 1)<0,故选A . 6.(2020全国Ⅰ,理12)若2a +log 2a=4b +2log 4b ,则( ) A.a>2b B.a<2b C.a>b 2 D.a<b 2 答案:B
解析:由指数与对数运算可得,2a +log 2a=4b +2log 4b=22b +log 2b. 因为22b +log 2b<22b +log 22b=22b +1+log 2b , 所以2a +log 2a<22b +log 22b.
令f (x )=2x +log 2x ,由指数函数与对数函数单调性可得f (x )在区间(0,+∞)上单调递增. 由f (a )<f (2b )可得a<2b.
7.若方程lo g 12
(a-2x )=2+x 有解,则a 的最小值为( )
A .2
B .1
C .3
2
D .1
2
答案:B
解析:若方程lo g 12
(a-2x )=2+x 有解,
则(12)
2+x
=a-2x 有解,
即14(12)x
+2x =a 有解. ∵14(12)x
+2x ≥1, 当且仅当14(12)x
=2x , 即x=-1时,等号成立, ∴a 的最小值为1,故选B .
8.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x+1)=f (1-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=log 2(x+1),则f (31)=( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案:C
解析:∵函数f (x )的定义域为R ,且f (-x )=-f (x ), ∴函数f (x )是奇函数. ∴f (x+1)=f (1-x )=-f (x-1), 即f (x+2)=-f (x ).
∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),
即函数f (x )是周期为4的函数. ∵当x ∈[0,1]时,f (x )=log 2(x+1),
∴f (31)=f (32-1)=f (-1)=-f (1)=-log 22=-1, 故选C .
9.若函数f (x )=a x -a -x (a>0,且a ≠1)在R 上为减函数,则函数y=log a (|x|-1)的图象可以是( )
答案:C
解析:由函数f (x )=a x -a -x (a>0,且a ≠1)在R 上为减函数,得0<a<1. 函数y=log a (|x|-1)是偶函数,定义域为{x|x>1或x<-1},故排除A,B;
当x>1时,函数y=log a (|x|-1)的图象是把函数y=log a x 的图象向右平移1个单位得到的,所以当x>1时,函数单调递减,排除D .所以选C .
10.已知g (x )是R 上的奇函数,当x<0时,g (x )=-ln(1-x ),函数f (x )={x 3(x ≤0),
g (x )(x >0),若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( ) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(1,2) D.(-2,1) 答案:D
解析:由题意,当x>0时, g (x )=-g (-x )=ln(1+x ),
故函数f (x )={x 3(x ≤0),
ln (1+x )(x >0),
因此当x ≤0时,f (x )=x 3为单调递增函数,值域为(-∞,0]. 当x>0时,f (x )=ln(1+x )为单调递增函数,值域为(0,+∞). 所以函数f (x )在区间(-∞,+∞)内单调递增. 因为f (2-x 2)>f (x ), 所以2-x 2>x ,
解得-2<x<1.故选D .
11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10 km 处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A .5 km 处 B .4 km 处 C .3 km 处 D .2 km 处 答案:A
解析:设仓库到车站的距离为x km,由题意,得y 1=k
1x ,y 2=k 2x ,其中x>0.由当x=10时,两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,可得k 1=20,k 2=4
5,故y 1+y 2=20
x +4
5x ≥2√20x ·4
5x =8,当且仅当20
x =4
5x ,即x=5时取等号,故选A .
12.设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x+1)=2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )=x (x-1).若对任意x ∈(-∞,m ],都有f (x )≥-8
9,则m 的取值范围是( ) A.-∞,9
4 B.-∞,7
3 C.-∞,
52
D.-∞,8
3
答案:B
解析:∵f (x+1)=2f (x ),∴f (x )=2f (x-1). ∵当x ∈(0,1]时,f (x )=x (x-1), ∴f (x )的图象如图所示.
∵当2<x ≤3时,f (x )=4f (x-2)=4(x-2)(x-3), ∴令4(x-2)(x-3)=-8
9, 整理得9x 2-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x 1=7
3,x 2=8
3.
∵当x ∈(-∞,m ]时,f (x )≥-8
9恒成立,即m ≤7
3, 故m ∈-∞,7
3.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知p :函数f (x )=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q :函数g (x )=log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则
p 是q 的 .(填“充分不必要条件”“必要不
充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案:充要条件
解析:由p 成立,得a ≤1;由q 成立,得a>1.故
p 成立时a>1,即
p 是q 的充要条件.
14.函数f (x )=log 3(8x +1)的值域为 . 答案:(0,+∞)
解析:由指数函数的性质可知8x >0,所以8x +1>1. 据此可知f (x )=log 3(8x +1)>0, 所以函数的值域为(0,+∞). 15.已知函数f (x )=
9x -a 3x
的图象关于原点对称,g (x )=lg(10x +1)+bx 是偶函数,则
a+b= . 答案:1
2
解析:∵f (x )=
9x -a 3x
的图象关于原点对称,
∴函数f (x )是奇函数, ∴f (0)=0,得a=1.
∵g (x )=lg(10x +1)+bx 是偶函数, ∴g (-x )=g (x )对任意的x 都成立, ∴lg(10-x +1)-bx=lg(10x +1)+bx , ∴lg
10x +110x
=lg(10x +1)+2bx ,
∴-x=2bx 对一切x 恒成立, ∴b=-1
2,∴a+b=1
2.
16.已知f (x )={x 2,x ≥0,
-x 2,x <0,若对任意x ∈[t ,t+2],不等式f (x+t )≥2f (x )恒成立,则t 的取值范围
是 .
答案:[√2,+∞)
解析:(方法一)∵对任意x ∈[t ,t+2],不等式f (x+t )≥2f (x )恒成立, ∴f (t+t )=f (2t )≥2f (t ).
当t<0时,f (2t )=-4t 2≥2f (t )=-2t 2,这不可能,故t ≥0. ∵当x ∈[t ,t+2]时,有x+t ≥2t ≥0,x ≥t ≥0, ∴当x ∈[t ,t+2]时,不等式f (x+t )≥2f (x ), 即(x+t )2≥2x 2,
∴x+t ≥√2x ,
∴t ≥(√2-1)x 对于x ∈[t ,t+2]恒成立. ∴t ≥(√2-1)(t+2), 解得t ≥√2.
(方法二)当x<0时,f (x )=-x 2单调递增, 当x ≥0时,f (x )=x 2单调递增, ∴f (x )={x 2,x ≥0,
-x 2,x <0
在R 上单调递增,
且满足2f (x )=f (√2x ),
∵不等式f (x+t )≥2f (x )=f (√2x )在[t ,t+2]恒成立, ∴x+t ≥√2x 在[t ,t+2]上恒成立, 即t ≥(√2-1)x 在x ∈[t ,t+2]恒成立, ∴t ≥(√2-1)(t+2),
解得t ≥√2,故答案为[√2,+∞).
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
解:(1)由{f(8)=2,
f(1)=-1,得{
m+log a8=2,
m+log a1=-1,解得{
m=-1,
a=2,
故函数解析式为f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2x 2
x-1
-1(x>1).
因为x 2
x-1=(x-1)2+2(x-1)+1
x-1
=(x-1)+1
x-1
+2
≥2√(x-1)·1
x-1
+2=4,
当且仅当x-1=1
x-1
,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以
log2x 2
x-1
-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.
18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设
f(x)=g(x)
x
.
(1)求a,b的值;
(2)若当x∈[-1,1]时不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求实数k的取值范围.
解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.
因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,
故{g(2)=1,
g(3)=4,解得{
a=1,
b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1
x -2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+1
2x
-2≥k·2x,
可化为1+(1
2x )
2
-2·1
2x
≥k.
令t=1
2x
,则k≤t2-2t+1.
因为x∈[-1,1],所以t∈[1
2
,2].
记h (t )=t 2-2t+1,
因为t ∈[1
2,2],所以h (t )max =1.所以k ≤1, 即实数k 的取值范围是(-∞,1].
19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x (x ∈N *)千件,需另投入成本为C (x )万元,当年产量不足80千件时,C (x )=1
3x 2+10x (单位:万元);当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+
10 000x
-1 450(单位:万元).通过市场分析,当每件售价为500元时,该厂年内
生产的商品能全部销售完.
(1)写出年利润L (单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解:(1)当0<x<80,x ∈N *时,L (x )=500×1 000x 10 000
−13x 2-10x-250=-1
3x 2+40x-250;
当x ≥80,x ∈N *时, L (x )=
500×1 000x 10 000
-51x-
10 000x
+1 450-250=1 200-(x +
10 000x
),
∴L (x )={
-1
3x 2+40x -250(0<x <80,x ∈N *),1 200-(x +
10 000x
)(x ≥80,x ∈N *
).
(2)当0<x<80,x ∈N *时, L (x )=-1
3(x-60)2+950,
∴当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950. 当x ≥80,x ∈N *时, L (x )=1 200-(x +10 000x
)
≤1 200-2√x ·
10 000x
=1 200-200=1 000, ∴当x=
10 000x
,即x=100时,L (x )取得最大值L (100)=1 000>950.
综上所述,当x=100时,L (x )取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
20.(12分)已知二次函数y=f (x )在x=t+22
处取得最小值-t 2
4(t ≠0),且f (1)=0.
(1)求y=f (x )的表达式;
(2)若函数y=f (x )在区间[-1,1
2]上的最小值为-5,求此时t 的值. 解:(1)设f (x )=a (x -t+22
)2−t 2
4(a>0).
因为f (1)=0,所以(a-1)t 2
4=0. 又因为t ≠0,所以a=1, 所以f (x )=(x -t+22
)2−t 2
4(t ≠0).
(2)因为f (x )=(x -
t+22
)2
−t 2
4(t ≠0),所以当
t+22<-1,即t<-4时,f (x )在区间[-1,1
2]上的最小值
f (x )min =f (-1)=(-1-t+22
)2−t 2
4=-5,所以t=-9
2;
当-1≤
t+22
≤1
2,即-4≤t ≤-1时,f (x )在区间[-1,1
2]上的最小值f (x )min =f (t+22
)=-t 2
4=-5,
所以t=±2√5(舍去); 当
t+22
>12,即t>-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (1
2)=(12-t+22
)2
−t 2
4=-5,
所以t=-21
2(舍去). 综上所述,可得t=-9
2.
21.(12分)已知函数f (x )=log a (a x -1)(a>0,a ≠1). (1)当a=1
2时,求函数f (x )的定义域;
(2)当a>1时,求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集;
(3)当a=2时,若不等式f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立,求实数m 的取值范围.
解:(1)当a=12时,f (x )=lo g 12
(1
2x -1),
故1
2x -1>0,解得x<0,
故函数f (x )的定义域为(-∞,0).
(2)由题意知,f (x )=log a (a x -1)(a>1),定义域为x ∈(0,+∞),易知f (x )在区间(0,+∞)内为增函数,由f (x )<f (1),知{x >0,
x <1,
∴x ∈(0,1).
(3)设g (x )=f (x )-log 2(1+2x
)=log 2 2x -1
2x +1,x ∈[1,3],
设t=2x -1
2x +1=1-2
2x +1,x ∈[1,3], 故2x +1∈[3,9],t=1-2
2x +1∈[13,7
9],
故g (x )min =g (1)=-log 23.
又∵f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立, 故m<g (x )min =-log 23.
∴m 的取值范围为(-∞,-log 23).
22.(12分)已知函数f (x )对任意实数x ,y 恒有f (x+y )=f (x )+f (y ),当x>0时,f (x )<0,且f (1)=-2. (1)判断f (x )的奇偶性;
(2)求f (x )在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于x 的不等式f (ax 2)-2f (x )<f (ax )+4. 解:(1)取x=y=0,则f (0+0)=2f (0),即f (0)=0. 取y=-x ,则f (x-x )=f (x )+f (-x ),
即f (-x )=-f (x )对任意x ∈R 恒成立, 故函数f (x )为奇函数.
(2)任取x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2,则x 2-x 1>0. ∴f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1)<0, ∴f (x 2)<-f (-x 1).
又∵f (x )为奇函数,∴f (x 1)>f (x 2). ∴f (x )在区间(-∞,+∞)内是减函数. ∴对任意x ∈[-3,3],恒有f (x )≤f (-3). ∵f (3)=f (2+1)=f (2)+f (1) =3f (1)=-2×3=-6, ∴f (-3)=-f (3)=6,
∴f (x )在区间[-3,3]上的最大值为6. (3)∵f (x )为奇函数,
∴整理原不等式得f (ax 2)+2f (-x )<f (ax )+f (-2). ∴f (ax 2-2x )<f (ax-2).
∵f (x )在区间(-∞,+∞)内是减函数, ∴ax 2-2x>ax-2, 即(ax-2)(x-1)>0.
∴当a=0时,x ∈(-∞,1);
当a=2时,x ∈{x|x ≠1,且x ∈R }; 当a<0时,x ∈{x |2
a <x <1}; 当0<a<2时,x ∈{x |x >2
a 或x <1};
当a>2时,x∈{x|x<2
或x>1}.
a
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1);
当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};
<x<1};
当a<0时,原不等式的解集为{x|2
a
或x<1}; 当0<a<2时,原不等式的解集为{x|x>2
a
或x>1}.
当a>2时,原不等式的解集为{x|x<2
a
11 / 11。