北京市西城区2019-2020学年高三下学期开学考试数学(理)试题Word版含解析

开始
m =1, i =1
m =m (2-i )+1
i = i +1
m =0?
结束
输出i
是
否
北京市西城区2019-2020学年高三下学期开学考试
数学（理）试题
（本卷答题时间120分钟，满分150分）
（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．复数
()
2
421i
i -=+( )
A.12i -
B.12i +
C.12i -+
D.12i -- 答案：D
2．已知集合{}|11M x x =-<<，|
01x N x x ⎧⎫
=≤⎨⎬-⎩
⎭
，则M N =I A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤
答案：A
3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B
4． “1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
5．给出下列函数：
①2log y x = ； ②2y x = ； ③2x
y =； ④
2
y x
=
. 其中图象关于y 轴对称的是
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④ 答案：B
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表
面积为（ ）
A ．3π
B ．12π
C ．2π
D ．7π 答案： A
7. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A.24y x =±
B. 24y x =
C. 28y x =±
D. 28y x =
8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有
① ②
③
参考数据：
0.4883元/度⨯2880度
=1406.30元，
0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.
(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③ 答案：B
(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就
是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝1
12
×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率π的取值
0.7883元/0.5383元/0.4883元/线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费
为 . 答案：3
10．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数 为 。

答案：42
11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ．
13．如果实数,x y 满足关系1020
,0
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则273x y z x +-=-的取值范围为 .
答案：9
[,3]5
14．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3
c C π
=∠=
，且
sin sin()
2sin 20C B A A +--=，则下列命题正确的序号是 .
（1
）2b a = （2）ABC ∆
的周长为2+ （3）ABC ∆的面积为
3 （4）ABC ∆的外接圆半径为3
答案：（2），
（3），（4）
(三)、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应
位置. 本大题共6小题，共80分．
15.(本小题满分13分）
已知函数2()cos cos f x x x x a =+的图象过点(,1)6
π
. （Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2
π
上的最小值. 解：
（Ⅰ）由2()cos cos f x x x x a =+
1cos22x a +=
++ 1
sin(2)62
x a π=+++.
因为函数()f x 的图象过点(,1)6
π
，
所以1
()sin(2)16662f a πππ=⨯+++=.解得12
a =-.
函数()f x 的最小正周期为π. …………………………………………………………7分 （Ⅱ）因为02x π≤≤
，所以2x ππ7π≤+≤666
. 则sin(2)x 1π
-≤+≤126
.
所以当2x π7π+=66，即x π=2时，函数()f x 在[0,]2
π上的最小值为1
2-. ……13分
16．（本题满分13分）
某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况，随机抽查了该市除夕当天60名网络购物金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：
(1) (2)
若购物金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2． （Ⅰ）试确定x ，y ，p ，q 的值并完成图(2)；
（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”
中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．
解析：（Ⅰ）根据题意，有39151860,
182
.39153
x y y x +++++=⎧⎪
⎨=⎪+++⎩+ 解得9,6.x y =⎧⎨=⎩ 0.15p ∴=，0.10q =． …………………………………………6分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有2
10=45
⨯人，“非网购达人”
有3
10=65
⨯人．
故ξ的可能取值为0，1，2，3；
03463101(0)6
C C P C ξ=== ， 12
463101
(1)2C C P C ξ===，
21463103(2)10C C P C ξ===，30
463101
(3)30
C C P C ξ===．
所以ξ的分布列为：
01236210305
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………………………13分
17．（本题满分14分）
如图1，梯形AECD 中，//AE CD ,点B 为边AE 上一点，CB BA ⊥,
222AB CD BC ====,把BCE ∆沿边BC 翻折成图2，使45EBA ∠=o .
(1)求证: BD EC ⊥；
(Ⅱ)求平面ADE 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值.
证明：(1)取AB 中点O ，连结EO ，DO 在ABE ∆
中，2,AB BE ==45EBA ∠=o
∴24222cos 452AE =+-⨯=o
∴AE =AE BE ∴= EO AB ∴⊥………3分 ∵CB BA ⊥，CB BE ⊥ ∴CB ⊥平面ABE
∴平面ABCD ⊥平面ABE EO ∴⊥平面ABCD
BD EO ∴⊥………4分
Q 四边形ABCD 为直角梯形，22AB CD BC ==，AB BC ⊥
∴四边形OBCD 为正方形 BD CO ∴⊥………6分 又EO CO O =I BD ∴⊥平面COE
BD EC ∴⊥………7分
(Ⅱ)由(1)知,,OE OD OA 两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系O xyz -
设1OA =，则(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,1,0)C -，(1,0,0)D ，(0,0,1)E ………5分
设平面CDE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r
，则 110
n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r
u r u u u
r ，11100y x z =⎧∴⎨-=⎩，取1(1,0,1)n =u r ………9分 设平面ADE 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r
，则 220
n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r
u u
r u u u r ，222200y z x y -+=⎧∴⎨-=⎩，取2(1,1,1)n =u u r ………11分
E 图1
图2
12
12
12
cos,
3
n n
n n
n n
⋅
<>===
⋅
u r u u r
u r u u r
Q u r u u r
∴平面ADE与平面CDE
所成锐二面角的余弦值为
3
14分
18．（本题满分13分）
设两个函数()
f x和()
g x，其中()
f x是三次函数，且对任意的实数x，都有
2
()2()9
f x f x x
'+'-=-43
x
--，(0)1
f=，()ln
m
g x x x
x
=+(1)
m≥.
（1）求函数()
f x的极值；
（2）证明：对于任意的
12
,(0,)
x x∈+∞都有
12
()()
f x
g x
≤成立.
解：（1）由题意可设32
()(,,,)
f x ax bx cx d a b c d R
=+++∈，则(0)1
f=，得1
d=
又2
()32
f x ax bx c
'=++，2
()32
f x ax bx c
'-=-+
22
()2()923943
f x f x ax bx c x x
∴'+'-=-+=---
比较系数有1,2,1
a b c
=-==-
32
()21
f x x x x
∴=-+-+，2
()341
f x x x
'=-+-
令()0
f x
'>，得
1
1
3
x
<<；()0
f x
'<，得
1
3
x<或1
x>
故函数()
f x在
1
(,)
3
-∞上单调递减，在
1
(,1)
3
上单调递增，在(1,)
+∞上单调递减
故当
1
3
x=时，
123
()=()=
327
f x f
极小值
，当1
x=时，()=(1)=1
f x f
极大值
……………6分
（2）要证明对于任意的
12
,(0,)
x x∈+∞都有
12
()()
f x
g x
≤成立
只需证当
12
,(0,)
x x∈+∞时，
2min1max
()()
g x f x
≥
当1
m=时，
1
()ln
g x x x
x
=+，则
2
22
11
()ln1ln
x
g x x x
x x
-
'=-++=+
当(0,1)
x∈时，()0
g x
'<，当(1,)
x∈+∞时，()0
g x
'>
∴函数()
g x在(0,1)上单调递减，在(1,)
+∞上单调递增
min
1
(ln)1
x x
x
∴+=
由（1）知对任意1(0,)x ∈+∞，1max ()1f x = 又1m ≥，1
()ln ln 1m g x x x x x x x
=
+≥+≥ ∴当12,(0,)x x ∈+∞时，2min 1max ()()g x f x ≥成立
故对于任意的12,(0,)x x ∈+∞都有12()()f x g x ≤成立…………………………13分
19. (本小题满分14分)
已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、
B ，若B AO ∆
的面积为2
．且直线AB
经过点(P -
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1
(,0)3
S -的动直线l 交椭圆C 于 M N 、两点，试问：在坐标平面上是否存在一
个定点T ，使得无论l 如何转动，以MN 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析:（1）由题意，椭圆的上顶点为()0,a ，右顶点为(),0b ，则
122ab =L ①x y l +a b
AB :=1
，即：2+a b L L =1②
，所以1a b =， 椭圆C 的方程是x 2
+22
y =1…………………………………………5分
（2）若直线l 与x 轴重合，则以MN 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以
MN 为直径的圆是22116
)3(9
x y ++=．
由2222
1,
116(),
39x y x y ⎧+=⎪
⎨++=⎪⎩
解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点(1)0，． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1)0，
． 事实上，点T(1)0，
就是所求的点．证明如下： 当直线l 垂直于x 轴时，以MN 为直径的圆过点T(1)0，． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线13l y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭：．
由2
21(),31.
2
y k x y x ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22
2221220.39()k x k x k +++-=
记点1122,,()(),M x y N x y , 则 2122212223,2
12
9.2k x x k k x x k ⎧
-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩
又因为111,?()TM x y =-u u u r ,22TN 1,?()x y =-u u u r
, 212121212()()()11TN 1111(33)TM x x y y x x k x x ⎛
⎫⎛⎫=--+=--+++⋅ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭u u u r u u u r
22212121
111
91()()()3k x x k x x k =++-+++
()22
22222
122119*********K K K K K K K --⎛⎫
=++-++= ⎪++⎝⎭
所以TM TN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点T(1)0，
． 所以在坐标平面上存在一个定点T(1)0，
满足条件．………………14分 20. (本小题满分13分）
已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ，满足a b c ≤<
（1）在,a b 之间插入2016个数，使这2018个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，且它们的和为2018，求斜边的最小值；
（2）已知,,a b c 均为正整数，且,,a b c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321Λ，且n n n S S S S T )1(321-++-+-=Λ，求满足不等式1226+⋅>n n T 的所有
n 的值；
（3）已知,,a b c 成等比数列，若数列{}n X
()n
n
n c a n N a c *
⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且n X 是正整数.
解：（1）{}n a 是等差数列，∴
2018()
20182
a b ⋅+=，即2=+b a
所以2222≥=+=Λb a c ，斜边的最小值为2（当且仅当1a b ==等号成立，此时数列{}n a 中，
1n a =） …………………………………………4分
（2）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=
设三角形的三边长为3,4,5d d d ，面积21346()2
d S d d d d Z =⨯⨯=∈，26n S n =，
])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=ΛΛ
n n n 612)24321(62+=++++++=Λ.
由1226+⋅>n n T 得n n n 221
2>+，
当5≥n 时，n n n n n n n n n 2
1
)(222)1(1222+>-++≥+-+
+=Λ， 经检验当4,3,2=n 时，n n n 2212>+，当1=n 时，n n n 22
1
2<+.
综上所述，满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4 …………………5分
（3）证明：因为,,a b c 成等比数列，ac b =2. 由于,,a b c 为直角三角形的三边长，知22c ac a =+，
2
5
1+=
a c ，
()n
n
n c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得n
n
n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515， 于是1
1
125125125125155+++⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n
n
n n X X
22
2
5251251+++=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n X .
12+n n n X X X ++∴=
，则有
)2
2
2
+∴
=.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
因
为
11
1=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭
，
22
2=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭
*∈=+=⇒N X X X 2213，
由21++=+n n n X X X ，同理可得*+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,，
故对于任意的n N *∈都有n X 是正整数…………………………………………4分。