2021-2022学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学
（文）试题
一、单选题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．2()1
x x
f x x +=+与()1
g x x =-
B ．()2f x x =与()g x =
C ．()f x =()2
g x =
D ．y =y 【答案】B
【分析】通过考察函数的定义域和对应关系可得.
【详解】A 中，()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，()g x 的定义域为R ，故A 错误；
B 中，()2()g x x f x ==，B 正确；
C 中，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，故C 错误；
D 中，y =[1,)+∞，由210x -≥可得y (,1][1,)∞∞--⋃+，D 错误. 故选：B
2．已知函数21,[0,1]
()(1),(1,)x x f x f x x ∞⎧-∈=⎨-∈+⎩，则
52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．0
B 1
C 1
D ．1
【答案】B
【分析】根据函数的解析式可直接求解52f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】由题意[)0,x ∈+∞，函数21,[0,1]
()(1),(1,)x x f x f x x ∞⎧-∈=⎨-∈+⎩，
可得52f ⎛⎫
⎪⎝⎭
=5331112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
因为1[0,1]2∈，所以1
212112f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
故选：B
3．设全集U 是实数集
R ，已知集合2{|2}A x x x =>，2{|log (1)0}B x x =-≤，则()U C A B
A ．{|12}x x <<
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|12}x x <≤
D ．{|12}x x ≤≤
【答案】C
【详解】{}
2
2{|02},{|02},U A x x x x x x C A x x ==∴=≤≤或
()()2{|log 10}{|12},{|12}.U B x x x x C A B x x =-≤=<≤∴⋂=<≤
本题选择C 选项.
4．已知复数z 满足记i 2i z =-（i 为虚数单位），则
=zz
z
（ ）
A
．2 B ．C D 【答案】C
【分析】根据复数的运算求得z 及其共轭复数，再求结果即可. 【详解】因为i 2i z =-，故可得2i
12i i
z -=
=--，
则12i z =-+，z =zz
z 2
12i -=故选：C.
5．某产品近期销售情况如下表：
根据上表可得回归方程为 3.8ˆ1ˆy
bx =+，据此估计，该公司8月份该产品的销售额为A ．19.05 B ．19.25 C ．19.5 D ．19.8
【答案】D
【分析】由已知表格中的数据求得,x y ,代入线性回归方程求得b ,再在回归方程中取
8x =求得y 值即可.
【详解】2345615.116.317.017.218.44,16.855
x y ++++++++=
===,
ˆ16.8413.8b
∴=+,得0.75b =， ˆ0.7513.8y
x ∴=+， 取8x =，得ˆ0.75813.819.8y
=⨯+=，故选D. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.
6．函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，且为奇函数，若()21f =，则满足()131f x -≤+≤的x 的取值范围是（ ） A ．[]3,3-
B ．[]22-,
C ．[]5,1--
D ．[]1,5
【答案】C
【分析】由()f x 为奇函数可化简不等式得到()()()232f f x f -≤+≤，利用单调性可得自变量的大小关系. 【详解】
()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又()21f =，()21f ∴-=-，
则()131f x -≤+≤可化为：()()()232f f x f -≤+≤，
()f x 在(),-∞+∞单调递增，232x ∴-≤+≤，解得：51x -≤≤-， ∴x 的取值范围为[]5,1--.
故选：C.
7．已知命题:p x R ∀∈，ln 1x x +<；命题π:0,2q x ⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，sin x x >．则下列命题中为真
命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】D
【分析】先分别判断出命题p p q q ⌝⌝、、、的真假，再去判断各选项的真假.
【详解】当1x =时，ln111+=，则命题:p x R ∀∈，ln 1x x +<为假命题，则p ⌝为真命题；
令()sin h x x x =-，π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()cos 10h x x '=-<，
则()sin h x x x =-在π0,2
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为减函数，
又(0)sin 000h =-=，则()sin 0h x x x =-<在π0,2
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上恒成立，
即0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭
，sin x x <．则命题:0,2q x π⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭，sin x x >为假命题，则q ⌝为真命题.
选项A: p q ∨为假命题； 选项B: ()p q ⌝∧为假命题； 选项C: ()p q ∧⌝为假命题； 选项D: ()()p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：D
8．函数()2
ln x f x x
=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】先判断奇偶性，再求导确定单调性即可得出答案.
【详解】由题意知：定义域为{}0,1,1x x x x ≠≠≠-，()2
()ln x f x f x x -==，为偶函数，排除B ，
当0x >时，()2
ln x
f x x
=
，()
()()
22
2
1
2ln 2ln 1()ln ln x x x x x x f x x x ⋅-⋅
-'==，当1
201,1e x x <<<<，
()0f x '<，()f x 单减；
当1
2e x >，()0f x '>，()f x 单增. 故选：D.
9．下列命题说法错误的是（ ）
A ．()2
()lg 23f x x x =-++在(1,1)-上单调递增
B ．“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件
C ．若集合{}2
440A x kx x =++=恰有两个子集，则1k =
D ．对于命题:p 存在0R x ∈，使得2
0010x x ++<，则¬
p ：任意R x ∈，均有210x x ++≥ 【答案】C
【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，
由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，
由复合函数的单调性知：()2
lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；
B. 当1x =时，2430x x -+=成立，故充分，当2430x x -+=成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；
C.若集合{}
2
440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程
2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，
所以0k =或1k =，故错误；
D.因为命题:p .存在0R x ∈，使得2
0010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词
命题，即:p ⌝任意R x ∈，均有210x x ++≥，故正确； 故选：C.
10．已知函数()f x 在x ∈R 上满足()()2
2226f x f x x x +=--+，则曲线()y f x =在点
()()22f ,处的切线方程是（ ）
A ．260x y --=
B ．640x y --=
C ．240x y --=
D ．240x y +-=
【答案】C
【分析】由()()2
2226f x f x x x +=--+可得函数()f x 的解析式，进而利用导数求其在
点()()22f ,处的切线方程即可.
【详解】∵函数()f x 在R 上满足()()2
2226f x f x x x +=--+，用x -替换x 得：
22(2)2(2)()6()2(2)6f x f x x x f x x x -=+--+-=+--，
∴22(2)2[2(2)6]6f x f x x x x x +=+---+ ∴2(2)2f x x x +=+
令2t x =+，则2x t =-，∴22()(2)2(2)2f t t t t t =-+-=-，即2()2f x x x =- ∴()22f x x '=-，∴(2)0f =，(2)2f '=
∴曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是：02(2)y x -=⋅-，即240x y --=. 故选：C.
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>-，且()06f =，()f x '是()f x 的导函
数，则不等式()5x x
e f x e ⋅>+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．()(),01,-∞⋃+∞
B ．()
(),03,-∞+∞
C ．()0,∞+
D ．()3,+∞
【答案】C
【分析】设()()()x x
g x e f x e x R =⋅-∈，结合题设条件，利用导数求得()g x 在定义域上单调递增，把不等式()5x x
e f x e ⋅>+，转化为()()0g x g >，结合单调性，即可求解.
【详解】设()()()x x
g x e f x e x R =⋅-∈，
可得()()()()()1x x x x
g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦．
因为()()1f x f x '>-，所以()()10f x f x -'+>，所以()0g x '>， 所以()y g x =在定义域上单调递增，
又因为()5x x
e f x e ⋅>+，即()5g x >，
又由()()00
00615g e f e =⋅-=-=，
所以()()0g x g >，所以0x >，所以不等式的解集为()0,∞+. 故选：C ．
12．若函数()2
e 12
x a f x x ax =--+有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞
C ．(),1-∞
D ．()e,∞+
【答案】B
【分析】根据题意，可令()0f x '=，化简得e 1x
a x =+，令()1
x
e g x x =+，然后做出()g x 的
图象，即可判断a 的范围
【详解】
由已知，()e x
f x ax a '=--，令()0f x '=，可得e (1)x a x =+，
当1x =-时，方程无解，所以，1x ≠-，可得e 1x
a x =+，令()1
x
e g x x =+，
'
22
e e ()()(1(1)1)e x x
x x g x x x x ==+++-
当0x >时，'()0g x >，()g x 单增，当10x -<<时，'()0g x <，()g x 单减， 当1x <-时，'()0g x <，()g x 单减
作出()1x e g x x =+的图象，(0)1g =，因为函数()2e 12x
a f x x ax =--+有两个极值点，
即方程e 1x a x =+有两个变号的实根，即y a =与e 1
=+x
y x 有两个交点，
所以，由图可得，1a > 故选：B 二、填空题
13．已知复数z 满足3i 2z -=，则z 的最大值为___________. 【答案】5
【分析】设i z a b =+，a ，b R ∈，由已知条件求出复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解. 【详解】设i z a b =+，a ，b R ∈，因为3i 2z -=，
所以()3i 2a b +-=
2，即()2
234a b +-=，
所以复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹是以()0,3A 为圆心，半径2r =的圆， 而z 表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离， 所以z 的最大值就是325OA r +=+=， 故答案为：5
14．已知函数()()111,0
42,0x m x x f x x -⎧
++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()f x 在R 上单调递增，则实数m 的取值范
围为__________． 【答案】1
(0,]4
【分析】分段函数在R 上单调递增，则在每一段上都单调递增，且在分段处左边函数值小于或等于右边的函数值，据此列式求解即可.
【详解】由题可知，1
0010,114244m m m m m -⎧>>⎧⎪⎪⎛⎤
⇒⇒∈⎨⎨ ⎥+≤⎝⎦⎪⎪⎩⎩. 故答案为：1
(0,]4
.
15．设函数3()65()f x x x x R =-+∈，若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，则a 的取值范围是_________. 【答案】
【详解】试题分析：因为函数3()65()f x x x x R =-+∈，所以2'()36,f x x =-，由2'()360f x x =-=得2x =±，x=－2时，函数有极大值，x=2时，函数有极小值，
由2262522625a -+<<-++解得即为所求．
【解析】本题主要考查导数的应用，求函数的极值，简单不等式解法．
16．已知函数()()e ln x
f x x a =-+，a R ∈，则下列说法正确的有______.
①当0a =时，()f x 没有零点 ②当0a =时，()f x 是增函数 ③当2a =时，直线1
1ln 22
y x =
+-与曲线()y f x =相切 ④当2a =时，()f x 只有一个极值点0x ，且()01,0x ∈- 【答案】①③④
【分析】当0a =时，()e ln x f x x =-，求导，借助零点存在性定理求出单调性，并求出
min ()f x ，据此判断①②；
当2a =时，()e ln(2)x f x x =-+，求导，将0x =代入得斜率，又因为(0)1ln 2f =-，代点斜式求出切线方程，进而判断③；结合导函数的单调性及零点存在性定理判断④．
【详解】解：当0a =时，()e ln x f x x =-，则()1()e ,0x
f x x x
'=->，
因为函数1
e ,x
y y x
==-
在(0,)+∞上为增函数， 所以函数()'f x 在(0,)+∞上为增函数，
且1
()e 202
f '=<，()1e 10f '=->，
所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点m ，
则1
e m m
=
， 所以1
ln
ln m m m
==-， 当0x m <<时，()0f x '<，当x m >时，()0f x '>， 则()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增， 所以min ()()e ln e 0m m f x f m m m ==-=+>， 所以()f x 没有零点，故①正确，②错误； 当2a =时，()e ln(2)x f x x =-+，则()1
()e ,22
x f x x x '=->-+， 因为1
(0)2
'=
f ，(0)1ln 2f =-， 所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为1
1ln 22
y x =
+-，所以③正确； 因为函数1
e ,2
x
y y x ==-
+在(0,)+∞上为增函数， 所以函数1
()e 2
x f x x '=-
+在(2,)-+∞上为增函数， 且1(1)10e
f '-=-<，1(0)02
f '=>，
所以存在唯一的0(1,0)x ∈-使得()00f x '=，
当02x x -<<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以()f x 只有一个极值点0x ，且0(1,0)x ∈-，所以④正确． 故答案为：①③④. 三、解答题
17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）10 21
【解析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2
K，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求. 【详解】（1）由题意可得：
则
2
2
200(100304030)
8.477 6.635
1406013070
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A、B、C、D、E；
不经常阅读的有2人，记为X、Y.
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共21种，
被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，
∴所求概率为
10
21 P=.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解
决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
18．已知关于x 的函数()321
3f x x bx cx bc =-+++，且函数f （x ）在1x =处有极值－43．
(1)求实数b ，c 的值；
(2)求函数f （x ）在[－1，2]上的最大值和最小值． 【答案】(1)1b =-，3c = (2)最大值为43
-，最小值为20
3-
【分析】（1）求出导函数()'f x ，由极值点和极值列方程组解得,b c ，然后检验取该值时是否得题中极值；
（2）由导函数()'f x 0=的根把区间[1,2]-分段，讨论导函数的正负得函数的单调性，极值，结合区间端点处函数值得最值．
【详解】(1)因为()32
13
f x x bx cx bc =-+++，所以()22f x x bx c '=-++．
因为函数f （x ）在1x =处有极值－4
3
．
所以()()1120
14
133f b c f b c bc ⎧=-++=⎪
⎨=-+++=-'⎪⎩
，解得11b c =⎧⎨=-⎩，或13b c =-⎧⎨=⎩． （i ）当1b =，1c =-时，()()2
10f x x '=--≤，所以f （x ）在R 上单调递减，不存在极值．
（ii ）当1,3b c =-=时，()()()31f x x x '=-+-， 当(3,1)x ∈-时，()0f x '>，f （x ）单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，f （x ）单调递减． 所以f （x ）在1x =处存在极大值，符合题意． 综上所述，1b =-，3c =
(2)由（1）知．()321
333
f x x x x =--+-，则()223f x x x '=--+， 令()()()310f x x x '=-+-=，得13x =-，21x =．
当x 变化时，()'f x ，f （x ）在[－1，2]的变化情况如下表：
所以f （x ）在[－1，2]上的最大值为43
-，最小值为20
3-．
19．已知全集U =R ，集合{}{}
2log 21,3327x
A x x a
B x =-≥=<<.
(1)当3a =时，求A B ；
(2)在①B A ⊆；②A B ⋂≠∅；③()U A B A ⋃=中任选一个条件，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)5|32
x x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩
⎭
(2)答案见解析
【分析】（1）首先解指数不等式、对数不等式及绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；
（2）根据所选条件，得到不等式组，即可求出参数的取值范围； 【详解】(1)解：由3327x <<，即13333x <<，解得13x <<，即{}
{}|3327|13x B x x x =<<=<<，
由21l g 2o x a -≥，即22log log 22x a -≥，所以22x a -≥，即22x a -≥或22x a -≤-，解得12a x ≥+或12a
x ≤-，即{}
2log 21A x x a =-≥{|12a x x =≥+或1}2
a x ≤-
当3a =时5{|2
A x x =≥
或1
}2x ≤
所以5|32⎧⎫
=≤<⎨⎬⎩⎭
A B x x
(2)解：由（1）可知{|12
a
A x x =≥+或1}2a x ≤-，{}|13
B x x =<<；
若选①，B A ⊆，则112a +
≤或132
-≥a
，解得0a ≤或8a ≥，即(][),08,a ∈-∞⋃+∞； 若选②，若A B =∅，则132
112
a
a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得4a =，所以4a ≠时A B ⋂≠∅；
若选③，因为{}|13B x x =<<，所以{|1U B x x =≤或3}x ≥， 因为()U A B A ⋃=，所以()U B A ⊆，所以132
112
a
a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得4a =；
20．为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：
同学甲选择指数型函数模型x y c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中i i lg v y =，7
i i 1
17v v ==∑，
(1)根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立y 关于x 的经验回归方程；
(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为()7
2
1ˆ98.117i i i y y =-=∑；同学乙选
择线性回归模型ˆˆˆy
a bx =+，并计算得经验回归方程为ˆ28.451.44y x =-，以及该回归模型的决定系数2
0.815R =乙；
①用决定系数2R 比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？ ②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆv u α
β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
2
2
1
ˆn
i i i n
i
i u v nu v
u
nu β
==-⋅=-∑∑，ˆˆv u α
β=-.决定系数：()()
2
i
2i 1
2
i
i 1
ˆ1n
n
v v
R v v ==-=-
-∑∑
【答案】(1)0.253.4710x y =⨯
(2)①甲建立的回归模型拟合效果更好；②3470人次
【分析】（1）对x y c d =⋅两边取对数，得lg lg lg y c d x =+⋅，令lg v y =，则lg lg v c d x =+⋅，
然后根据已知的数据和公式可求出回归方程，
（2）①根据题意求出2
R 甲，然后与20.815R =乙比较即可，②将8x =代入回归方程求解
【详解】(1)对x y c d =⋅两边取对数得：lg lg lg y c d x =+⋅，其中lg i i v y =，
711 1.547i i v v ===∑，7
i i i 1
50.12x v ==∑，()1
123456747x =++++++=，721140i i x ==∑
∴7
1
7
2
2
1
7ˆlg 0.257i i i i
i x v x v
d x
x β
==-⋅===-∑∑，ˆˆlg 0.54c v x αβ
==-=， 所以0.2510d =，0.5410 3.47c ==， 所以0.253.4710x y =⨯
(2)①甲建立的回归模型的2
2
98.11710.9960.81527694
R R =-≈>=甲
乙， ∴甲建立的回归模型拟合效果更好.
②利用甲建立的模型预测，当8x =时，0.540.258210 3.4710347y +⨯==⨯=， ∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470人次； 21．已知函数21321
()e 3
x f x x x x -=--，
(1)求函数()f x 的极值； (2)设32
2()3
g x x x =
-，求证：对任意实数x ，都有()()f x g x ≥. 【答案】(1)极小值为：344e 3-和13
-；极大值为0 (2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，从而可得函数的极值.
（2）()()f x g x ≥等价于21(e )0x x x --≥，利用导数可证1e 0x x --≥，从而可得原不等式成立.
【详解】(1)1()(2)(e 1)x f x x x -=-'+，其中x ∈R ， 由()0f x '=得：12x =-，20x =，31x =，
()'f x 的零点把函数()f x 的定义域划分为四个区间，()'f x 在各区间上的正负，以及()
f x 的单调性如下表所示：
由上表可知，当2x =-和1x =时，()f x 有极小值， 并且极小值为3
44
(2)e 3
f -=
-和1(1)3f =-； 当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)0f =. (2)证明：21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 设1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -='-， 由()0h x '=得：1x =
则当1x <时，()0h x '<，即函数()h x 在(,1)-∞上单调递减； 则当1x >时，()0h x '>，即函数()h x 在(1,)+∞上单调递增.
因此，当1x =时，()h x 取最小值(1)0h =即对任意实数x
都有()0h x ≥， 又20x ≥，所以()()0f x g x -≥， 故对任意实数x ，都有()()f x g x ≥. 22．已知函数()1
ln ,f x x a x a x
=-+∈R . (1)当5
2
a =
时，求函数()f x 的单调区间； (2)5
2
a ≤≤，记()f x 的两个极值点分别为()()121212,,
f x f x x x x x --的最大值与最小值分别为,M m ，求M m -的值.
【答案】(1)单调增区间是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调减区间是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭和(2,)+∞；
(2)ln23
.
【分析】（1）求得()f x '，利用导数的正负即可求得函数的单调区间；
（2）根据12,x x 是()f x '0=的两个根，利用根于系数的关系，结合a 的取值范围，令12
x
t x =，
将
()()1212
f x f x x x --转化为关于t 的函数，再利用导数求其最大值和最小值即可求得结果.
【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+，故()()()22
21215
122x x f x x x x --'=--+=- 当()0f x '>时，则
122
x <<，当()0f x '<时，则1
02x <<或2x >，
所以()f x 的单调增区间是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调减区间是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭和(2,)+∞
(2)()222
11
1,a x ax f x x x x -+'=--+=-
所以12,x x 是210x ax -+=的两个根，则240a ∆=->， 故可得12x x a +=，121=x x ，且2a >，
不妨设12x x <
，则1x =
，2x =
令12x t x ==
则t 为关于a
的减函数，而
5
22
a ≤≤，所以得1142t ≤≤
所以
()()12121212
121212
ln ln 1
12f x f x x x x x a x x x x x x x x --+=-
-+=-+---121ln 2ln 1x t t x t +=-+
-， 令()12ln 1t g t t t +=-+-，则()()
21
2ln 1t t t g t t --=-'，且1142t ≤≤，
而()12ln h t t t t =--，则()2
2121110h t t t t '⎛⎫
=+-=-≥ ⎪⎝⎭，
即()h t 在()0,∞+上是单调增函数，
在()0,1上，()()10h t h <=，所以()0g t '<，即()g t 在()0,1上是减函数， 即在11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上也是减函数，从而11ln2423M m g g ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】本题考察利用导数求具体函数的单调区间，以及利用导数研究函数的极值和最值，解决第二问的关键是利用比值设参，将目标式
()()1212
f x f x x x --在设1
2
x
t x =时，转化为
1
2ln 1
t t t +-+
-，同时求得t 的取值范围，也是解决问题的关键，属综合困难题.。