利用三阶行列式求平面的法向量

运用三阶行列式求平面法向量
一、简介：平面法向量在课本中只是给出了定义,而没有提及它的应用,其实法向量是值得我们挖掘的一个问题,在求点到平面的距离,直线与平面所成角以及二面角时,如果能以平面法向量为载体,往往可以收到化难为易的效果,而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻同学们空间想象之困难。

在使用平面法向量的前提下，正确、快速的求出平面法向量是立体几何题致胜的关键，因此，如果你一分钟就把平面的法向量写出来，掌握求平面法向量的技巧和方法，你就得到了削铁如泥的利器。

在大学里矩阵和行列式的非常重要的作用就是解方程组了，矩阵那部分是用初等变换法解方程组，行列式这里就是克莱母法则了！正如牛顿最早使用有向线段表示向量一样，莱布尼茨在1693年给洛必达的信中就已经使用了行列式，对行列式的贡献和影响比他人大一些。

但就写作时间而言，最早提出行列式的概念的是日本数学家关孝和，比莱布尼茨早十年。

首先要掌握两个概念，
1、二阶行列式的展开式
d b c
a =bc ad
其中ad 是主对角线，bc 是次对角线
含义是：二阶行列式的值等于“主对角线”两数的乘积减去“次对角线”两数的乘积的差。

2、三阶行列式的展开式
i f c h e b
g d a
=
)()()(ec bf g hc bi d fh ei a -+---=())
(),(),(ec bf hc bi d fh ei ---- 具体记忆：a 乘以a 所在的行、列剩下的二阶行列式减去d 乘以d 所在的行、列剩下的二阶行列式再加上g 乘以g 所在的行、列剩下的二阶行列式
二、下面具体说明如何求平面的法向量
)0,1,1(=AB )4,2,0(=BC
设平面ABC 的法向量为
),,(z y x n =
k z j y i x n ++= 平面向量因为缺少z 方向的分量（实际上应该写成（x,y,0）的形式）,计算的时候为了方便就写成了二阶行列式.正规来讲,平面向量n 应该写成如下行列式：
2011
j i
n =)0121()0041()0241(⋅-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅=k j i )0121()0041()0241(⋅-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅=
)0121()0041()0241(⋅-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅=)2,4,4(-=
三、练习题
（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠
FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
解析（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．
（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，3．
以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图
H xyz，
所示的空间直角坐标系–
则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，03CG =（1，03），AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n=（x ，y ，z ），则
0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,20.x z x y ⎧=⎪⎨-=⎪
⎩ 所以可取n=（3，6，–3）．
又平面BCGE 的法向量可取为m=（0，1，0），所以3cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m ．因此二面角B –CG –A 的大小为30°．
红色部分我们利用今天所学的平面法向量的方法可以这样快速解出来：
则CG =（1，03），AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n=（x ，y ，z ） k
z j y i x n ++= 0
12301
-=k j i
n )0211()3201()3100(⋅--⋅+⋅-⋅-⋅+⋅=k j i
)
0211()3201()3100(⋅--⋅+⋅-⋅-⋅+⋅= )1,32,3(-=共线与n
例2【2017江苏，22】如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3, 120
BAD
∠=︒.
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.
（1）略
D C
B D1
B1
C1
A1
A
(第22题)
下面利用三阶行列式求该平面的法向量
则
)3
,1
,3
(
1
-
-
=
B
A，)0,3,3
(-
=
BD．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z）
k z
j y
i x
n+
+
=
3
33
1
3
--
-=k
j
i
n
)1
3
3
3
(
)3
3
3
(
)3
3
1
(⋅
-
⋅
+
⋅
-
⋅
-
⋅
+
⋅
-
=k
j
i
)1
3
3
3
(
)3
3
3
(
)3
3
1
(⋅
-
⋅
+
⋅
-
⋅
-
⋅
+
⋅
-
=
)3
2,3,3
3(
=共线
与m
在教学中，若想利用向量解决立体几何问题，必须熟练掌握法向量的求法，这是关键，也是高考立体几何的主要得分点，今天讲述的方法已进行了教学实践，取得了很好的效果，得到了同仁和学生的一致好评。