ChapterThree(1)

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0
0
0

因此，当把周期信号 x ( t ) 表示为傅里叶级数
x (t )
k

a k e jk 0 t 时，就可以将 x ( t ) 表示为
gggg a3
a2
a1
a0
a1
a2
0 0
a3 gggg

这样绘出的图 称为频谱图
频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来， 即 ak ~ 的关系。由于信号的频谱完全代表了信 号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此， 这种表示信号的方法称为频域表示法。 三.傅里叶级数的其它形式 若 x(t )是实信号,则有 x (t ) x (t ) ，于是
k
x(t ) y(t ) a1H (s1 )e s1t a2 H ( s2 )e s2t a3 H (s3 )e s3t
即：
s t
y (t ) ak H ( sk )e k
k
s t
n x ( n ) a Z 同理： k k k
y (n) ak H ( Z k )Z kn
1 j0t 1 j0t x(t ) cos 0t e e 2 2
1 显然该信号中，有两个谐波分量，a1 为相应 2 分量的加权因子，即傅立叶系数。
例2： x(t ) cos 0t 2 cos 30t
1 j0t j0t j 30t j 30t [e e ] e e 2
T 1 不变 T0 时
2T1 1 T0 2
2T1 1 T0 4
2T1 1 T0 8
周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性
考查周期 T0 和脉冲宽度 2T1 改变时频谱的变化： 1. 当 T1 不变，改变 T0 时，随 T0 使占空比减小，谱 线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不 变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。 2. 当 T1 改变， T0不变时，随 T1 使占空比减小，谱 线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络 主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。
z
st
n
h( n)

y ( n)
由时域分析方法有，
y(t ) e
s ( t )
h( )d e



h( )e s d H ( s)e st
h(k ) z k H ( z ) z n
y (n)
k z来自(nk )h(k ) z
n
k
信号对称性与频谱的关系： 当 x(t ) x(t ) 时，有
1 ak T0
T0

2 2
T0
2 jk 0 t x (t )e dt T0

T0 0
2
x ( t ) cos k 0 tdt
表明：偶信号的 ak 是关于 k 的偶函数、实函数。 当 x(t ) x(t ) 时，有
x(t )
k


Ak e e

jk
jk0t
a0
jk0t
k

1
Ak e
j ( k0t k )
Ak e j ( k0t k )
k 1

a0 [ A k e
k 1
e
j k
Ak e
jk0t
e ]
j k
j k
Q a a k
傅里叶生平
1768— 1830
1768年生于法国 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热 的分析理论” 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件

傅里叶的两个最重要的贡献— —

“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”— — 傅里叶的第一个主要论点
a0 2 Bk cos k0t Ck sin k0t
k 1
— — 傅里叶级数的另一种三角函数形式
四.连续时间傅里叶级数系数的确定 如果周期信号 x(t )可以表示为傅里叶级数

x (t )
k
ae
k
jk0t
,
2 0 T0
则有
x (t )e jn0t
在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3, 时对应的谐波分量。 傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶 级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
二.频谱（Spectral）的概念 信号集 k (t ) 中的每一个信号，除了成谐波关 系外，每个信号随时间
t 的变化规律都是一样
e st 、 z n 是一切LTI系统的特征函
数。 H ( z)分别是LTI系统与复指数信号相对 H (s) 、 应的特征值。
H ( s ) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h ( n ) z

只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 函数。

对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x( n) ,若能将
成谐波关系的复指数信号集: k (t ) {e
jk0t
}
中所有的信号都是彼此独立的。 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，
有 x (t )
k


a k e jk 0 t ,
2 0
k 0, 1, 2
显然 x(t ) 也是以
为周期的。该级数就是傅里
叶级数， ak 称为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信 号，即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复 指数谐波分量。 例1：
其中
sin x Sa( x ) x
sin x sinc( x ) x
1

0
Sa ( x)

1
x
sin c( x)
1
0
1
2 1
1
x
0
2T a x ( t ) 根据 k 可绘出 的频谱图。 称为占空比 T
T0不变 T1 时
2T1 1 T0 2
2T1 1 T0 4
2T1 1 T0 8

可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 的。这说明 求。 特征函数 (Eigenfunction)

e
st
和 z 符合对单元信号的第一项要
n
如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以
一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系 统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应 的特征值。
结论： 复指数函数
Q a a k
* k
Bk jCk Bk jCk
因此 B k B k 即
Ck Ck
ak的实部关于k偶对称，虚部关于k奇对称。

将此关系代入，可得到
jk 0 t jk 0 t x (t ) a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1

“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”— — 傅里叶的第二个主要论点
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
The Response of LTI Systems to Complex Exponentials

n z 考查LTI系统对复指数信号 e 和 的响应
st
e
st
h(t)

y (t )
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数
2 k 0, 1, 2, ，其中每个信号都是以 k 0 2 为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合 0
T0
T0

x (t ) e
0 T0

0
0
0, T0 ,
kn k n
jn0 t
1 dt anT0 即 a n T0

T0
0
x (t ) e jn 0 t dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即 可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示 1 jk 0 t 为 a 1 x (t )e dt a0 x ( t ) dt k T0 T0 T0 T0
s 3t s1t s2t x ( t ) a e a e a e 其表示为下列形式： 1 2 3
利用系统的齐次性与叠加性
s1t s1t e H ( s ) e 由于 1
e s2t H ( s2 )e s2t
所以有
e s3t H ( s3 )e s3t
x(t ) ak e k
k 1
— — 傅里叶级数的三角函数表示式 若令 ak Bk jCk 则
x(t ) a0
k

jk0t jk0t ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
1

jk 0 t jk 0 t a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
的，差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用 线段的位置表示相应的频率。
分量 e
j0t
可表示为
1

1 j0t cos 0t (e e j0t ) 表示为 2