江西省横峰中学高中数学 综合测试 新人教A版选修2-1

江西省横峰中学高中数学教学案：选修2-1综合测试
一、选择题
1. 若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 与r 的关系是
（A ）互为逆命题． (B)互为否命题． (C)互为逆否命题． (D)不能确定．
2. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点F 是侧面11C CDD 的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，则y x -等于
（A ）2
1
-
． (B) 0．
(C)
2
1
． (D) 1． 3. 已知)1,6,4(--A 、)2,3,4(B ，则下列各向量中是平面AOB 的一个法向量的是
（A ）)6,1,0(．
(B))1,2,1(--．
(C))36,4,15(-． (D))36,4,15(-．
4. 设{}
01,2>++∈∀=ax x R x a M ，{}
01)3(,=+-∈∃=x a R x a N ，若命题M a p ∈:，命题N a q ∈:，那
么命题p 是命题q 的 （A ）充分不必要条件． (B) 必要不充分条件．
(C) 充要条件．
(D)既不充分又不必要条件．
5. 若方程06)2(22
2
2
2
2
=--++-k k y k x k 表示椭圆，则k 的取值范围是 （A ）),2()2,(+∞--∞ ． (B) )3,2()2,2( --．
(C) )3,2()2,2()2,2( --．
(D) )3,2(-．
6. 设e 为双曲线122
2=+m
y x 的离心率，且)2,1(∈e ，则实数m 的取值范围为 （A ）)1,6(--． (B))6,0(． (C))1,4(--． (D) )0,6(-．
7. 设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若31=PF ，则2PF
＝
（A ）1或5．
(B)6． (C)7． (D)9．
8. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距，则a
c b +的取值范围是
（A ）),1(+∞． (B)),2[+∞． (C)]2,1(． (D))2,1(．
9. 椭圆13
4:2
21=+y x C 的左准线为l ，左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值等于
（A ）
3
4． (B)
3
8． (C)4． (D)8．
10. 抛物线px y 22
=与直线04=-+y ax 交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是)2,1(，设抛物线的焦点为F ，则
FB FA +等于
（A ）7．
(B)53． (C)6． (D)5．
二．填空题：
11. 写出命题“02,2
>+-∈∃x x R x ”的否定： ．
12. 已知)1,2,1(-=a
，)0,3,2(-=b ，若)()(b a b a m -⊥+，则实数m ＝ ；若)//()(b a b a n -+，则实
数n ＝ ．（第1空2分，第2空3分）
三．解答题：
17.设双曲线C 的方程为14
22
=-y x ，直线l 的方程是1+=kx y ，当k 为何值时，直线l 与双曲线C （Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
18.设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+-=1322x x x M ，{}
08)8(2≤--+=a a x x N ，命题M x p ∈:，命题N x q ∈:．
（Ⅰ）当6-=a 时，试判断命题p 是命题q 的什么条件；
（Ⅱ）求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件．
19.如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为正方形，2=AB ，2=
PA ，6=PD ，10=PC ，
PC BQ ⊥．
（Ⅰ）求证：平面⊥PCD 平面QBD ；
（Ⅱ）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．
D
A
P
Q
20.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3．
（Ⅰ）问在棱11D C 上是否存在点E ，使异面直线DE 与C B 1所成角的余弦为
510
3
，若存在，指出点E 的位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）当点E 在棱11D C 上，且11=E D 时，求二面角11C DE B --的余弦值．
21.已知点)0,1(A ，动点M 到点A 的距离比到y 轴的距离多1． （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在这样的点B ，过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于P 、Q 两点时，使得线段PQ 的中点到原点O 的距离恒为PQ 长度的一半？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使四边形OACB 为平行四边形． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若OAC ∆的面积为515，求这个椭圆的方程．
A 1
B 1
D 1
A
C 1
A E A B
C
D
x
y
O
C
B
A
F
选修2-1参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
B
D
A
C
D
C
C B
A
11．02,2
≤+-∈∀x x R x ； 12．2
9
=
m 、 1-=n ； 13
．
y
x y x 8822-==或；
14．3812或．15．)4
1,0(-； 16．x 2
－4y 2
＝1；
17.解：把1+=kx y 代入1422
=-y x 得：088)41(22=---kx x k ． …………（*） 当0412
=-k ，即2
1±=k 时，方程（*）为一次方程，只有一解．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(2
2
>----=∆k k ，即2222<<-
k 且2
1±≠k 时，方程（*）有两个不等实根． 当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(22=----=∆k k ，即22±=k 时，方程（*）有两个相等实根．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(22<----=∆k k ，即2
2-<k 或22>k 时，方程（*）没有实根．
因此，（Ⅰ）当2
222<<-k 且21±≠k 时，直线l 与双曲线C 有两个公共点；
（Ⅱ）当21
±=k 或22
±=k 时，直线l 与双曲线C 仅有一个公共点； （Ⅲ）当2
2
-<k 或2
2
>
k 时，直线l 与双曲线C 没有公共点. 18.解：{}53>-<=x x x M 或，{
}
0))(8(≤+-=a x x x N ．
（Ⅰ）当6-=a 时，{}86≤≤=x x N ．
M N ⊂ ，∴当N x ∈时，有M x ∈，但M x ∈时不能得出N x ∈．
因此，命题p 是命题q 的必要但不充分条件．
（Ⅱ）当8-<a 时，{}
a x x N -≤≤=8，有M N ⊂，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 当8->a 时，{}
8≤≤-=x a x N ，要使M N ⊂，须5>-a ，即58-<<-a ． 当8-=a 时，{}8=N ，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 因此，a 的取值范围是5-<a ．
19.（Ⅰ）证明：22,2===AC AB AD ，2=
PA ，6=PD ，10=PC ，
∴有222AC PA PC +=，222AD PA PD +=，则AD PA ⊥，AC PA ⊥． ∴⊥PA 底面ABCD ．
CD BC = ，PBC ∆∴≌PDC ∆．则由PC BQ ⊥，得PC DQ ⊥，
因此，⊥PC 平面QBD ．
⊂PC 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面QBD ．
（Ⅱ）法一：过A 作PB AM ⊥，垂足为M ，连CM ． ⊥PA 底面ABCD ，⊂BC 底面ABCD ，PA BC ⊥∴． 又AB BC ⊥ ，∴⊥BC 平面PAB ，AM BC ⊥，
A
P
Q
z
⎪⎩
⎪⎨⎧=-⋅+=⋅⋅=⋅+⋅+⋅=⋅∴.0202,
0020z y x n PB z y x n BC 则⊥AM 平面PBC ．
因此，ACM ∠为AC 与平面PBC 所成的角． 在直角AMC ∆中，3
3
2=⋅=
PB AB PA AM ，22=AC ， 6
6
sin ==
∠AC AM ACM . 法二：依（Ⅰ）可知， ⊥PA 底面ABCD ．
以A 为坐标原点， AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(A ，)0,2,2(C ，
)2,0,0(P ，)0,0,2(B ，
∴)0,2,2(=AC ，)0,2,0(=BC ，)2,0,2(-=PB .
设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =
，
令1=x ，解得2,0==z y ．
66322200212,cos =⨯⨯+⨯+⨯=⋅⋅>=<n
AC n AC n AC
直线AC 与平面PBC 所成角与向量AC 和法向量n
所成角是互余关系．
∴直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为6
6
．
20.解:（Ⅰ）如图所示，以点D 为坐标原点，
DA
、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系．
设存在满足题意的点E ，且t E D =1，
那么)0,0,0(D ，)3,,0(t E ，)0,3,0(C ，)3,3,3(1B ． ∴)3,,0(t DE =，)3,0,3(1=CB ． DE 与C B 1所成角的余弦为5103，
∴
9
23,cos 21
11+=
⋅⋅>=
<t CB DE CB DE CB DE 510
3
=
，解得1=t ． ∴存在点E ，E 的坐标为)3,1,0(或11=E D 时，DE 与C B 1所成角的余弦为
510
3
． （Ⅱ）⊥CB 平面1DEC ，)0,0,3(=∴CB 为平面1DEC 的法向量，记为)0,0,3(1=n ． 设平面ED B 1的法向量为),,(2c b a n =，
)3,3,3(1=DB ，)3,1,0(=DE ，⎪⎩⎪⎨
⎧=+=⋅=++=⋅∴.
03,
0333221c b n DE c b a n DB 取1=c ，解得3,2-==b a ，故)1,3,2(2-=n ．
7
14,cos 2
12121=
⋅⋅>=
<∴n n n n n n ．
∴二面角11C DE B --的余弦值为
7
14
． z
x
y
A 1
B 1
D 1A C 1A
E
A B
C
D
21.解：（Ⅰ）设点M 的坐标为),(y x ，依题意，1)1(2
2+=+-x y x ． 当0≥x 时，化简，得x y 42
=；当0<x 时，化简，得0=y ． 因此点M 的轨迹方程为x y 42=或)0(0<=x y ．
（Ⅱ）当PQ 过原点时，满足条件，此时点B 的坐标为)0,0(．
当线段PQ 的中点到点O 的距离为PQ 长度的一半时，AOB ∆为直角三角形，
90=∠POQ ． 假设存在满足条件的点B ，点B 坐标为)0,(a ．
当过点B 的直线垂直于x 轴时，依题意有BO BQ BP ==，则点P 的坐标为),(a a ，
点),(a a P 在抛物线x y 42=上，4=∴a ．下面证明点)0,4(B 满足条件．
当过点B 直线不垂直于x 轴时， 设该直线的斜率为k )0(≠k ，
则直线方程为)4(-=x k y ，又设P 、Q 两点的坐标为),(11y x P 、),(22y x Q ． ∴1-=⋅OQ OP k k ⇒12211-=⋅x y x y ，02121=+y y x x ． (1)
把)4(11-=x k y 、)4(22-=x k y 代入（1）中，得
016)(4)1(2212212=++-+k x x k x x k ． (2)
由⎩⎨⎧-==)
4(,42x k y x y 消去y ，得016)48(2222=++-k x k x k ， ∴16,4
8212
221=+=+x x k
k x x ．
则（2）的左边
016163216161648416)1(2
2222
22
2
=+--+=++⋅-⋅+=k k k k k
k k k ． ∴（2）式对任意k 恒成立．
因此，存在满足条件的点B ，点B 坐标为)0,4(．
22.解：（Ⅰ）设椭圆方程为122
22=+b
y a x （0>>b a ），
直线c x y l -=:，),(11y x A 、),(22y x B ，AB 中点为),(00y x ．
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+c x y b y a x ,12222 得0)(2)(2222222=-+-+b c a cx a x b a ⇒2
22
212b a c a x x +=+．
则2222102b a c a x x x +=+=，2
2200b a c
b c x y +-=-=． 四边形OACB 为平行四边形，∴222
02b
a c a x x C +==，222022
b a
c b y y C +-==． 把点C 的坐标代入椭圆方程，并化简得2
224b a c +=，
222c a b -= ，∴得2252c a =，即5
10=
e ． （Ⅱ）由四边形OACB 为平行四边形，得OAC ∆的面积等于OAB ∆的面积．
直线AB 过焦点F ，∴由焦半径公式有
)()(21ex a ex a FB AF AB -+-=+=)(221x x e a +-=
2
2
222b a c
a e a +-=， ……………………………（*）
由510=
e ⇒a c 510=，22
53a b =，代入（*），得a AB 2
3=．
又 原点到直线l 的距离为a c d 552
==，
∴OAB ∆的面积等于
220
5355232121a a a d AB =⋅⋅=⋅．
由51520
532=a ，得10=a ，∴602
=b ．
∴椭圆的方程为160
1002
2=+y x ．。