类比法学习线段、角复习课

E
D C
引 10 条射线有 11+10+9+……+3+2+1=66 个角
引n条射线有（n+1）+n+……+1个角
(n 1)(n 2) 2
.
三、讨论初探 1．已知线段 AB＝8 cm，在直线 AB 上 取一点 C，使 BC＝ 3 cm，求 AC 的长. 解：∵ AB＝8 cm， BC＝ 3 cm， 当点 C 在线段 AB 上时， A C B AC＝AB－BC＝8－3=5(cm)． 当点 C 在线段 AB 的延长线上时， A B C
AC＝AB＋BC＝8＋3=11(cm)．
答：线段 AC 的长为 5 cm 或 11 cm.
三、讨论初探
下面是小马虎解的一道题 题目：在同一平面上∠AOB=45°,∠AOC=15° 求∠BOC的度数。
A 解：根据题意可画出图 ∵ ∠AOB=45°,∠AOC=15° C ∠BOC=∠AOB－∠AOC =45°－15° O B =30° ∴∠BOC=30° 若你会判小马虎满分吗？若会，说明 理由。若不会，请将小马虎的的错误指出，并给出 你认为正确的解法。
∴MN的长是10或50.A来自MBN
C
变式提升 练习2、已知∠AOB=100°， ∠BOC=60°，若OM平分∠AOB，ON平 分∠BOC，求∠MON的度数.
解：此题应有两种情况 （1）OC在∠AOB外面
A
M
2
B
1
解： OM、ON分别是
N AOB与BOC的角平分线 1 1 2＝ AOB＝50 ，1＝ BOC＝30 C 2 2
观察下列步骤，并回答问题 （1）拿出一张白纸 （2）对折这张白纸 （3）把白纸展开铺平，发现在边AB上有 个折痕点C，请问AC和BC相等吗？
B
C
A
点C把线段AB分成相等的两条线段AC与 BC，点C叫做线段AB的中点（midpoint)， 可知AC=BC= 1 AB A 2
线段中点的符号语言表示：
C
生活中的射线
To right
基础不牢，地动山摇，基础打牢，我 才逍遥。 逐个清点，一个都不能少；每个考点内涵 理解，层次分明，至少一次详读课本！
自主预习指导
1、了解“分类讨论思想”的意义；
2、理解分类讨论的步骤； 3、掌握分类讨论思想在线段、角问题中的应用。
4、掌握类比法在线段、角问题中的应用。
2、线段中点定义：______________________________
A
C
1 ∴AC=BC= AB或AB=2AC=2BC 2
几何语言: ∵ OC平分∠AOB
B
几何语言: ∵点C是AB的中点
3、角平分线定义：________________________________
1 ∴ ∠AOC=∠BOC= 2 ∠AOB
O
MON＝1＋2＝50 ＋30 ＝80
练习2：已知∠AOB=100°， ∠BOC=60°，若OM平分∠AOB，ON平 分∠BOC，求∠MON的度数.
（2）OC在∠AOB里面
（2）OC在∠AOB里面
A
M
C N
OM、ON分别是
AOB与BOC的角平分线 O 1 1 BOM＝ AOB＝50 ，1＝ BOC＝30 2 2
=250+
=470
(2) ∠MOC= ∠ BOM－∠ BOC
220
=25 0－220
=30
畅谈收获
类比思想作用大
类比思想是一种重要的数学思想方法.由 于线段和角有很多相似之处,所以我们在学 习和解决线段、角的问题时,若能充分运用 类比思想,就如同找到了学习上的捷径,可使 我们的学习轻松而高效.
同学们再见!
＝45°－15° ＝30°
＝45°+15° ＝60° 答：∠BOC 的度数为 30°或 60°。
O
合作探究
分类讨论的一般步骤：
1、确定讨论对象； 2、确定同一分类标准； （统一标准，不重不漏） 3、分类讨论，逐步解决； 4、归纳，并作出结论。
四、尝试活动：
我是快乐的 数学小能手！
练习 1.已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别 为线段AB、BC的中点，且AB=60，BC=40，求MN的长.
或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC
PK乐园
例
在直线上探究线段、射线条数的规律： 当一条直线上有两个点时， 一条线段，四条射线 当一条直线上有三个点时， 三条线段，六条射线 当一条直线上有四个点时， 六条线段，八条射线 当一条直线上有n个点时情况如何？ 总结：有n个点就有 n(n 1) 条线段；n个点就将直线分成2n条射线
2
PK乐园
例
2、⑴ 如图，从一个端点引出2条射线，可以组成1个角；如果引 出3条射线，可以组成 个角；如果引出4条射线，可以组成 个 角． ⑵ 如果从一个端点引出n条射线，一共可以组成多少个角？（用 含有n的式子表示） ⑶ 当n＝100时，共有多少个角？ C
B B A O A D C
B O O
A
n(n 1) 解：⑴ 3、6；⑵ 2 个； ⑶4950个．
解：我不会给小虎判满分，
错误原因：小虎没把问题考虑全面，只考虑了 OC在∠BOA 内部的情况，没考虑OC在∠BOA外部的情况；
正确解法：①当 OC 在∠AOB 内部时， A
∵ ∠AOB=45°,∠AOC=15°
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC
C
B C A B
O ②当 OC 在∠AOB 外部时，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC
(n 1)(n 2) 2
．如图 6，在 ∠AOB的内部引一条射线 OC，可得 几个小于平角的角？引两条射线 OC，OD 呢？引三 条射线 OC，OD，OE 呢？若引 10 条射线一共会有 多少个角？引n条射线呢？
引 1 条射线有 2+1=3 个角； 引 2 条射线有 3+2+1 =6个角； 引 3 条射线有 4+3+2+1=10 个角；
∴射线OC平分∠AOB
O
2 1
C A
∠1=∠2 (或∠AOB= 2∠1 = 2∠2)
判断：
B
• 若∠BOC＝ ∠AOC ，则OC为∠AOB的平分线。
C
O A
角平分线的条件： 1、在已知角内。 2、把已知角分成两个相等的角
感知：
1、直线的公理：____________________________
挑战乐园
观察图1-2中，得到的数字有什么规律： 在线段AB上取1个点C，图中共有 条线段； 在线段AB上取2个点C、D，图中共有 条线段； 在线段AB上取3个点C、D、E，图中共有 条线段． 观察下列规律： 3=1+2；6=1+2+3；10=1+2+3+4 如果在线段AB上取4个点,一共有多少条线段？ 取5个点呢？n个点呢？
2、把已知线段分成两条相 你认为卢小洁的解答全面吗？ C 等线段的点 如果不全，漏了哪些情况？
答:不全面。漏了点B不在直线 AC上。
B
A
B
A
C
角平分线的概念：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两 个角的射线, 叫做这个角的平分线。
∵射线OC平分∠AOB
B
符 ∴∠1=∠2= 1 AOB 号 2 1 = 2∠2) (或∠AOB= 2∠ 语 言 反之∵OC在∠AOB内，
解：当点C在线段AB上时，
A C MN B
1 1 ∴MB= AB , NB= BC 2 2 1 1 1 MN=MB-NB= AB- BC= (60-40)=10 2 2 2
当点C在线段AB的延长线上时
∵M、N分别为线段AB、BC的中点
1 1 1 MN=MB+BN= AB+ BC= (60+40)=50 2 2 2
当被研究的问题包含多 种可能情况，不能一概而 论时，必须将可能出现的 所有情况分别讨论．得出 各种情况下相应的结论， 这种处理问题的思维方法 称为分类思想．
类比法是根据两 个或两类对象某些属 性的相同或相似，而 推出它们的某种其他 属性也相同或相似的 思维方式，也称为类 比推理。这节课中重 点举例谈一下类比法 在线段和角的计算中 的妙用。
B
如图， ∵点C在线段AB上且AC=BC
∴点C是线段AB的中点. 反之，如图，
线段的中点
∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC= 1 AB 或AB=2AC=2BC 2
一定行，思考一下！
“若AB＝BC，则点B是线段AC的中点”这种说法 对吗？
线段中点的条件：
卢小洁的解答是这样的：
解：如图: ∵AB＝BC， ∴AC＝2AB， 1、在已知线段上。 ∴点B是AC的中点
1
B
MON＝BOM－1 ＝50 －30 ＝20
讨论题：如果∠ AOB= 500 ,∠ BOC= 220 ， OM
A
是∠ AOB的角平分线，那么∠MOC=？
A M
M C
O C
B
O
B
解：∵ OM是∠ AOB的角平分线
(1) ∠MOC = ∠ BOM+ ∠ BOC
1 1 ∴∠BOM=∠ AOM= ∠ AOB= ×500 = 250 2 2