公共焦点离心率,巧借结论妙解题

+cos2α·a c22 2
=1。
可得
sin2α
·
1 e2 1
+
cos2α
·
1 e2 2
= 1,即
sin α
2
+
cos α
2
=1 成 立 。
e1
e2
点评:破解 此 题 时 借 助 了 椭 圆 与 双 曲 线
的 焦 点 三 角 形 面 积 公 式b2 1tanα=tabn2 2α,再 利 用椭圆与 双 曲 线 中 相 关 参 数 的 关 系 式,结 合
π。进而结 合 结 论 3
sin α e1
2
+
cos α e2
2
=1,
代入加以 等 价 转 化,通 过 简 单 计 算 即 可 求 解
分 别 是 椭 圆 C1,双 曲 线 C2 在第二、四 象 限 的 公 共 点。若 四 边 形 AF1BF2 为矩形,则双曲线 C2 的离心率是( )。
A.2
B.3
3 C.2
6 D.2
分析:先由题目条件确定椭圆 C1 的 离 心
率e1=
3,借 助 题 目 中 四 边 形 2
AF1BF2
为矩
形得
到
α
=
答
案
为
D。
点评:破解此题的方 法 众 多,但 往 往 求 解
过程都比较烦琐,计算量 也 比 较 大,且 相 关 量
比较多,容 易 导 致 思 维 混 乱。 而 采 取 具 有 公
共焦点的椭圆与双曲线的离心率间的关系式
结 论 来 处 理 ,目 的 明 确 ,过 程 简 单 。
3.2 代 数 式 的 求 值 问 题
曲线的离心率间的关系 式,借 助 这 个 关 系 式,
可以巧妙处理圆锥曲线中的相关问题。
. All1.R结i论gh呈t现s Reserved.
【结 论】已 知e1,e2 分 别 是 具 有 公 共 焦 点
F1,F2 的 椭 圆 C1 与 双 曲 线 C2 的 离 心 率 ,点
P 是它们的 一 个 交 点,且 ∠F1PF2=2α(α 为
例 2 已 知 点 F1,F2 是 椭 圆 和 双 曲 线
的公共焦 点,点 P 是 它 们 的 一 个 公 共 点,且 ∠F1PF2=23π,记 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分
别
为e1
,e2
,则 3 e2 1
1 +e2 2
的
值
为
(
)。
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:根 据 条 件 ∠F1PF2 =23π可 得 α=
三角函数公式的应用以及离心 率 公 式 的 应
用 ,使 结 论 得 以 证 明 。
2.结 论 推 广 【推 论】已 知e1,e2 分 别 是 具 有 公 共 焦 点 F1,F2 的 椭 圆 C1 与 双 曲 线 C2 的 离 心 率 ,点
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知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月
P 是它们 的 一 个 交 点,且 ∠F1PF2 =θ,那 么
+
1+eco 2 2sθ=2。
所 以1-eco 21sθ+1+eco 22sθ=2 成 立 。
3.结 论 应 用
3.1 离 心 率 的 求 解 问 题
例1 (2013 年 浙 江 卷
理数 第 9 题 )如 图 1,F1,F2
是
椭
圆
C1
:x2 4
+y2
=1
与
双
. Al曲l线RCi2gh的t公 s 共Re焦s点er,A ve,dB. 图1
知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月
■江苏省张家港中等专业学校 韩文美
涉及公共焦点的椭圆与双曲线的离心率 间的关系 问 题,是 近 年 高 考 中 比 较 常 见 的 题
点评:借助 余 弦 定 理 在 △F1PF2 中 建 立 相应的关 系 式,通 过 三 角 函 数 中 的 平 方 关 系
1-eco 2 1sθ+1+eco 22sθ=2。
证 明:结 合 以 上 结 论
θ2 sin2 +
e1
cosθ 2 e2
2
=1,即sine221θ 2
cos2 + e22
θ 2
=1。
结合 三 角 函 数 的 二 倍 角 公 式 可 得
1-cosθ 2e2 1
1+cosθ + 2e22
= 1,即
有 1-cosθ e21
型之一,此 类 问 题 小 巧 玲 珑,信 息 量 大,处 理
以及二倍角公式的巧妙转 化,结 合 椭 圆、双 曲
方式灵活 多 样,入 口 宽,切 入 点 多,极 其 符 合
线的定义以及离心率公式即可证明。
新课标的 理 念,备 受 高 考 命 题 者 青 睐。 下 面
通过证明给出一个有关公共焦点的椭圆与双
锐 角 ),则 有
sin α
2
+
cos α
2
=1 成 立 。
e1
e2
证明1:在△F1PF2 中,由 余 弦 定 理 可 得
|PF1|2 +|PF2|2 -2|PF1|·|PF2|·
cos2α=|F1F2|2。
展 开 有 (sin2α+cos2α)|PF1|2 + (sin2α
+cos2α)|PF2|2-2|PF1|·|PF2|· (cos2α
π ,进 4
而
结
合
结
论
sin α
2
+
e1
cos α e2
2
=1代入即可求解双曲线 C2
的离心
率。
解:由题可知椭圆 C1
的 离 心 率e1=
3。 2
又依
题
可
得α=
π 4
。
结合以上 结 论
sin α
2
+
cos α
2
=1,
e1
e2
可知
2
2
2
2
2 + 2 =1。
3
e2
2
整理可ຫໍສະໝຸດ 得e2 2 =3 2
,e2=
6,故 2
-sin2α)=|F1F2|2。
则 有sin2α(|PF1|+|PF2|)2 +cos2α·
(|PF1|-|PF2|)2=|F1F2|2。
也 即 sin2α
|PF1|+|PF2|
2
+cos2α·
|F1F2|
|PF1|-|PF2|
2
=1。
|F1F2|
结合椭圆、双 曲 线 的 定 义 以 及 离 心 率 公
式 可 得b12tanα=tabn2 2α,即 (a2 1 -c2)tanα= c2-a2 2 。 tan α
结 合 三 角 函 数 公 式 ,整 理 得 :
(a2 1 -c2)sin2α= (c2 -a2 2 )cos2α。
则a2 1sin2α+ a2 2cos2α=c2,亦 即 sin2α·
a2 1 c2
式 可 得sin2α·e121 +cos2α·e122 =1。
故
sin α
2
+
cos α
2
=1 成 立 。
e1
e2
证明 2:设 椭 圆 C1 的 长 半 轴 长,短 半 轴 长 分别为a1,b1,双曲线 C2 的实半轴长,虚半 轴 长 分 别 为 a2 ,b2 ,它 们 的 焦 距 均 为 2c。
则由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公