杨辉三角形与高阶等差数列

三角形与高阶等差数列
宁夏中卫中学麦兴旺
一、杨辉简介
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。

他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

杨辉一生留下了大量的著述，他编著的数学书共五种二十一卷。

他非常重视数学教育的普及和发展，为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
.....................................
法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”
二、杨辉三角的性质
1、杨辉三角的产生
（1）、由11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。

如下图：
1 (110)
1 1 (111)
1 2 1 (112)
1 3 3 1 (113)
1 4 6 4 1 (114)
1 5 10 10 5 1 (115)
1 6 15 20 15 6 1 (116)
……
（2）、（a+b）n的展式的系数
1 (n=0)
1 1 (n=1)
1 2 1 (n=2)
1 3 3 1 (n=3)
1 4 6 4 1 (n=4)
1 5 10 10 5 1 (n=5)
1 6 15 20 15 6 1 (n=6)
……
2、杨辉三角的性质
（a+b ）r 的展开式的系数排列如下
1 (r=0)
1 1 (r =1)
1 2 1 (r =2)
1 3 3 1 (r =3)
1 4 6 4 1 (r =4)
1 5 10 10 5 1 (r =5)
1 6 15 20 15 6 1 (r =6)
…………
1 c 1m c 2m …… c r m …… c 1-m m 1 (r=m)
…………
1 c 11-n c 21-n …… c 11--r n c r n 1- c 21--n n 1 (r=n-1)
1 c 1n c 2n …… c r n …… c 1-n n 1 (r=n) 1 c 11+n c 21+n c 31+n …… c r n 1+…… c n n 1+ 1 (r=n+1)
1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列。

{c r
n }。

2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即
r n n r
n
c C -=。

3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即
c r
n =c 11--r n +c r n 1-。

4°c 0n + c 1n + c 2n ……+ c r n ……+ c 1-n n + c n n
=2n 三、 杨辉三角中的高阶等差数列
１、 差分数列：数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成
新数列称为差分数列如数列，如
a 1 ,a 2，a 3……a n ……的差分
b 1 , b 2，b 3……b n ……(b n = a 1+n -a n )称为一阶差分数列；
由b 1 , b 2，b 3……b n ……差分组成数列
c 1 , c 2，c 3……c n ……称为二阶差分数列；
……
２、 高阶等差数列：若一数列的r 阶差分数列是常数列（它的r+1阶差
分是零）则称这个数列为r 阶等差数列。

一阶等差数列即是我们所说的
等差数列。

二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列。

如1，3，4，5……，n ……是一等差数列；
1，3，6，10，……是二阶等差数列。

３、 杨辉三角中的高阶等差数列
我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。

分别为每一斜行标号，如图所示：
(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 （一阶）
把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 （二阶）
把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 （三阶）
把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 （四阶）
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可猜想得到：杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和.
即：杨辉三角中有第i斜线的前n 个数的和等于第i+1斜线的第n+1个数；
1+1+1+1+……+１＝c1
n
；
1+2+3+……+ c1
n = c2
n
;
1+3+6+10+……+ c2
n ＝c3
n
；
1+4+10+20+……+ c3
n ＝c4
n
;
……
c r
r +r
r1+
+c r
r2
+
+……+c r
n1-
=c1+r
n
(r=1,2,3,……) (*)
公式(*)为杨辉三角的首项为１的r阶等差数列求和公式。

c r n1-为通项公式c1+r
n
为前n项和的公式。

四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和
设{a n}为一r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式；１、求r阶等差数列的通项公式
设a
1,a
2
，a
3
……a
n
……为一r阶等差数列，现用逐差法求通项公式；
各阶差分数列一阶b
1, b
2
，b
3
……b
n
……(b
n
= a
1+
n
-a
n
)
二阶c
1, c
2
，c
3
……c
n
……(c
n
= b
1+
n
-b
n
)
三阶m
1, m
2
，m
3
……m
n
……(m
n
= c
1+
n
-c
n
)
……
设d
i
为各阶差分数列的首项，则有
d
1= b
1
= a
2
- a
1
d
2= c
1
= b
2
- b
1
则d
2
= c
1
= b
2
- b
1
=（a
3
-a
2
）-（a
2
- a
1
）
=a
3
-2 a
2
+ a
1
d
3= m
1
= c
2
- c
1
则d
3
= m
1
= c
2
- c
1
=（b
3
-b
2
）-（b
2
- b
1
）
=( a
4
- a
3
)-( a
3
-a
2
)-( a
3
-a
2
)+( a
2
- a
1
)
= a
4
-3 a
3
+3 a
2
- a
1
由此可推定d
4= a
5
-4 a
4
+6 a
3
-4 a
2
+ a
1
……
d
r =a
1+r
-c1
r
a
r
+c2
r
a
1-r
-……+(-1)r+ a
1
=常数
d
1+r
=0
而a
2=a
1
+ b
1
= a
1
+ d
1
a
3= a
2
+ b
2
=( a
1
+ d
1
)+( b
1
+ c
1
)= a
1
+ d
1
+ d
1
+ d
2
(c
1
= d
2
)
= a
1
+ 2d
1
+ d
2
a
4= a
3
+ b
3
= (a
1
+ 2d
1
+ d
2
)+( b
2
+ c
2
)=(a
1
+ 2d
1
+ d
2
)+( b
1
+
c
1
)+( c
1
+ m
1
)
= a
1+ 2d
1
+ d
2
+ d
1
+ d
2
+ d
2
+ d
3
= a
1+3 d
1
+3 d
2
+ d
3
由此可推定
a
5= a
1
+4 d
1
+6 d
2
+4 d
3
+ d
4
……
a
r = a
1
+ c1
1-r
d
1
+c2
1-r
d
2
+……+c2
1
-
-
r
r
d
2
-
r
+ d
1-r
所以通项公式
a
n = a
1
+c1
1-
n
d
1
+c2
1-
n
d
2
+……+c1
1
-
-
r
n
d
1-r
+c r
n1-
d
r
(d
1+r
=0)
2、高阶等差数列的前n 项和公式
设a
1,a
2
，a
3
……a
n
……为一r阶等差数列。

现构造一r+1阶等差数列
0，a
1，a
1
+ a
2
，a
1
+ a
2
+ a
3
，……，a
1
+ a
2
+ a
3
+……+ a
n
，……
各阶差分数列
一阶a
1，a
2
，a
3
……a
n
……
二阶b
1, b
2
，b
3
……b
n
……(b
n
= a
1+
n
-a
n
)
三阶c
1, c
2
，c
3
……c
n
……(c
n
= b
1+
n
-b
n
)
四阶m
1
, m
2
，m
3
……m
n
……(m
n
= c
1+
n
-c
n
) ……
设Ｄ
i
为各阶差分数列的首项，则有
Ｄ
1＝a
1
，D
2
= d
1
，D
3
= d
2
……，D
1+r
= d
r
，D
2
+r
= d
1+r
=0
由前面通项公式知a
1+ a
2
+ a
3
+……+ a
n
是该数列的前n+1项，所以，
a 1+ a
2
+ a
3
+……+ a
n
＝0+ c1
n
Ｄ
1
+ c2
n
D
2
+……+ c r
n
D
r
+c1+r
n
D
1+r
= c1
n
a
1
+ c2
n
d
1
+c3
n
d
2
+……+ c r
n
d
1-r
+ c1+r
n
d
r
设S
n = a
1
+ a
2
+ a
3
+……+ a
n
则a
1
，a
2
，a
3
……a
n
……前n项和公式为
S
n ＝c1
n
a
1
+ c2
n
d
1
+ c3
n
d
2
+……+ c r
n
d
1-r
+ c1+r
n
d
r
(r+1≤n)
例1、求高阶差数列1，7，25，61，121，211，……的通项公式和前n 项和公式
解：一阶6，18，36，60，90，……
二阶12，18，24，30，……
三阶6，6，6，……
所以该数列是三阶等差数列
a 1＝1，d
1
＝6，d
2
＝12，d
3
＝6，d
4
＝0
a
n
＝6+6(n-1)+6(n-1)(n-2)+ (n-1)(n-2)(n-3)=n3-n+1
S
n
=n+3n(n-1))+2n(n-1)(n-2)+ n(n-1)(n-2)(n-3)/4
检验a
5
＝125－5+1＝121
s
5
=5+60+120+30=215
例2、在下列数列的（）填上适当的数（这是某省招考公务员的试题）11，23，41，65，（），131，……
提示该数列是一二阶等差数列
例3、将L
n
定义为求在一平面内用n条直线确定的最大区域数目例如n=1
L
1=2,进一步考虑：用n条直线放在平面上能确定的最大区域L
n
是
多少？（这是第五届全国青少年信息学的竞赛试题）
提示L
1=2，L
2
=4，L
3
=7，L
4
=11，L
5
=16，……的二阶等差数列
3、高阶等差数列的通项公式和前n项和公式还有一种求法
由通项公式a
n = a
1
+ c1
1-
n
d
1
+c2
1-
n
d
2
+……+c2
1
-
-
r
n
d
2
-
r
+ c1
1
-
-
r
n
d
1-r
+c r
n1-
d
r
(r≤n-1)可得a
n
是一个n的r 次多项式；
S
n ＝c1
n
a
1
+ c2
n
d
1
+ c3
n
d
2
+……+ c r
n
d
1-r
+ c1+r
n
d
r
(r+1≤n)是一个n的r+1次
多项式。

这样可用待定系数法求得。

例4 求数列5，17，35，59，89，……的通项公式
解：一阶12，18，24，30 ……
二阶6，6，6，……
所以该数列是二阶等差数列。

设a
n
=an2+bn+c
n=1 a+b+c=5
n=2 4a+2b+c=17
n=3 9a+3b+c=35
解之得a=3 b=3 c=-1
所以a
n
=3n2+3n-1
四、在VB中输出杨辉三角形
下面是打印杨辉三角形的20行VB程序：
Private Sub Form_Click()
N = InputBox("", "", 5)
ReDim a(N + 1, N + 1), b(N + 1, N + 1)
Cls
k = 8
For I = 1 To N
Print String((N - I) * k / 2 + 1, " ");
For J = 1 To I
a(I, 1) = 1
a(I, I) = 1
a(I + 1, J + 1) = a(I, J) + a(I, J + 1)
b(I, J) = Trim(Str(a(I, J)))
Print b(I, J); String(k - Len(b(I, J)), " ");
Next J
Print
Next I
End Sub。