亚纯函数的Picard例外集

亚纯函数的Picard例外集
王品玲;王立庆
【摘要】证明了如果.f(z)是超越亚纯函数,满足δ(∞,f)＞0,n,k为正整数且满足
n≥k+2,则存在一列趋于∞的小圆盘,使得(fn)(k)在这列小圆盘外取任何有穷非零复数无穷多次.%In this paper we prove that if f(z) is a transcendental meromorphic function satisfying δ5( ∞ , f) >0, and n,k are positive integers satisfying n≥k +2, then there exists a sequence of small disks whose centers tend to infinity such that ( fn)( k)takes each finite nonzero complex value infinitely times outside these disks.
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(034)004
【总页数】7页(P26-32)
【关键词】整函数;亚纯函数;Picard例外集;ε集
【作者】王品玲;王立庆
【作者单位】上海立信会计学院数学与信息学院,上海201620;上海立信会计学院数学与信息学院,上海201620
【正文语种】中文
【中图分类】O174.5
设f(z)是开平面中的超越亚纯函数，用S(r，f)表示量:当f为有穷级时，S(r，
f)=O(logr);当f为无穷级时，S(r，f)=O(logrT(r，f))，至多可能除去一个r的测度
为有限的集合．定义平面上可数多个小圆盘的并集为一个ε集，是指这些圆盘均不含原点(z=0)，且这些圆盘在原点所对角总和是有限的．用记号“r表示时可能除去一个有限测度集E”．用“在SM≤r≤RM内n．e．”表示“对所有满足
SM≤r≤RM内的r，可能除去有限测度集βM，且
根据著名的Picard定理［1］，每个超越亚纯函数取¯C=C∪∞中的值无穷次，至多有两个例外．此定理在某种程度上可以改进，确切地讲存在无穷点集E，使得对任一超越亚纯函数f(z)，f(z)在C\E取任意非零复数无穷次，像这样的集合E，称为Picard例外集．
Hayman［2］和Clunie［3］分别就n≥3和 n=2得到下列结果．
定理1 设f(z)是整函数，F(z)=fn，如果n≥2，则F'取任意复数w∈C无穷多次，可能除去w=0．
Anderson James M，Baker Irvine N和Clunie James G［4］得到下列结果．定理2 设f为超越整函数，n为自然数)是复平面上的无穷点集，且满足1(n为正整数)，则F'在C\E中取任意非零复数w∈C无限多次．
Langley James K［5］将上述结论推广到E含有无穷多个小圆盘．
定理3 设复数序列{an}和正数序列{ρn}满足
又设f为超越整函数，F=fn(n≥3为自然数)，则对任何在之外有无穷多个零点，其中
陈怀惠［6］证明了下列结果．
定理4 设f为超越整函数，且f的零点重数至少为k+1(k为正整数)，则f(k)取每个非零有限复数无限次．
王品玲［7］证明了下列两个结果．
定理5 设f为超越整函数，且零点重数至少为k+2(k为正整数)是复平面中的无穷点集，满足，则f(k)在C\E中取每个非零有限复数b无穷次．
定理6 设复数序列{an}和正数序列{ρn}满足
又设f为超越整函数，且零点重数至少为k+2(k为正整数)，则对任何在B(an，ρn)之外有无穷多个零点，其中
王跃飞和方明亮［8］证明了下列结果．
定理7 设f是超越亚纯函数，n，k为正整数且n≥k+1，则 (fn)(k)取任何非零有限复数无限次．
本文将上述结果推广到例外集的情形，得到下列结果．
定理设f是超越亚纯函数，满足δ(∞，f)=1－α＞0，n，k为正整数且
n≥k+2．又存在常数μ＞0，q＞1，使复数序列{an}和正数序列{ρn}满足
其中0为任意小正数，则对任何在之外有无穷多个零点．
引理1［5］设p(z)是一个k次多项式，b1，b2，…，bk是p(z)在|z|＜R0的全部零点，则对于|z|=
引理2［5］设h(z)是|z|≤R上无零点的正则函数，且在|z|=R上有，则对于，有引理3 设f是超越亚纯函数，n，k为正整数且n≥k+2，则
其中表示(fn)(k+1)的零点但非f零点的密指量．
证明由Milloux不等式得
再由和
引理4［9］设f是超越亚纯函数，满足T(r，f)=O((logr)2)，则当z=reiθ在包围f零点的一个ε集之外趋于无穷时，有
引理5 设f是有穷级超越亚纯函数，满足，f)=1－α＞0，n，k为正整数且
n≥k+2为任意小正数，满足，则
证明由δ(∞，f)=1－α＞0及定理的假设得
由引理3得
由(1)、(2)及第一基本定理得
因为f是有穷级超越亚纯函数，且，则，从而引理得证．
不失一般性，令b=1．假设定理的结论不成立，则存在某个超越亚纯函数f，使得(fn)(k)－1在之外只有有限个零点．其中复数序列{an}和正数序列{ρn}满足定理的
假设．定义序列 pn，qn，xn，vn如下(均计重数):
pn表示在圆盘}内零点的个数;
qn表示在圆盘内零点但非f零点的个数;xn表示(fn)(k)在中极点的个数;
现设R满足
由引理3及［7］(P．964 － P．965)可推得
和
因此当R满足(3)时，有
取0＜α ＜1使得当ε＞0充分小时，d＜1．现定义正整数集E=，当R满足(3)时，有
而
由(4)，(5)及上述推导得
所以
于是
从而由(4)得
因为f是超越亚纯函数，由(6)可知，集合必含有穷多个不小于1的元素．设
显然1．以下我们总假设M满足(7)，并总假定R满足(3)，则由(6)和1容易推得，在内 n．e．有
现设(fn)(k)－1 在BM 内零点为，在EM内的极点为，又令
由(9)可知，B(z)在EM内解析且无零点．
下面在内来估计在内对B(z)应用Poisson-Jensen公式，则有
其中表示对B(z)在内的所有零点和极点求和．而
由集合E的定义，当M∈E有xM＜pM，故
又因为(8)在内n．e．成立，因此设存在 r'M满足使得(8)在r=r'M成立，故有容易推得，当M充分大且z满足时，有
设ξ是B(z)在内的任一零点或极点，则存在0＜μ＜1，使得，故
而
类似于(12)的推导，取，使(8)在成立，有
故从(10)，(11)，(12)和(13)得，当z满足|z－aM|≤4时，有
现考虑圆盘|z－aM|＜(2e+1)ρM，由Boutroux-Cartan定理，至多除去总直径不超过2eρM的xM个圆盘后，有
故必存在αM满足，使得(15)在圆周上成立．又当z满足时，有，从而
故当z∈αM时，由(14)，(15)和(16)得
但当M∈E时，则，代入上式并利用定理的假设得
故当z∈CαM时，由辐角原理，我们知道(fn)(k)在内极点与零点的个数相同，但由定理的假设(fn)(k)在)内无极点，故(fn)(k)在|z－aM|＜αM内无零点，从而 f在内无零点．
设，则
下面我们证明，当z∈CαM时，有成立．
事实上，由引理1得，当z∈CαM时，有
所以有
又因为B(z)在B(an，μ|an|)内解析且无零点，由引理2及(14)，在|z－aM|≤2内有
这里及以下，我们用 c1，c2，… 表示仅与 k，q，μ，ε 有关的常数．
故由定理的假设及(18)，(19)，(20)，当z∈ CαM 时，有
又B(z)=HM(z)h(z)，故从而有
因此当z∈CαM时，有|，故由(17)及f在CαM无零点及Rouchè定理，与
G'M(z)h(z)在B(aM，αM)=|z－aM|＜αM内有相同个数的零点，而G'M(z)恰有pM－1个零点，且这些零点全在GM(z)零点的凸包上［10］，故这些零点全在B(aM，αM)=|z－aM|＜αM内，从而(fn)(k+1)在 B(aM，αM)=|z－aM|＜αM 内也有pM－1个零点，由前面的讨论f在B(aM，αM)=|z－aM|＜αM无零点，因此qM=pM－1，故当M∈E时，有vM=pM－qM=1，从而当M充分大且
M∈E时，有
于是由(8)和(22)可知，在内 n．e．有
又当R满足时，所以
由(23)，(24)得
由引理5 知)＞ 0，而}是包围所有零点的ε集，由(25)及引理4得，当z=reiθ充分大且z在之外时，有
由定理的假设内解析，又由(26)和Rouchè定理和在内有相同个数的零点和极点，而在内至少有一个零点，因此在内也至少有一个零点，但由前
面的结果知在内无零点，矛盾!至此定理得证．
【相关文献】
［1］杨乐．值分布论及其新研究［M］．北京:科学出版社，1982．
［2］ Hayman W K．Picard values of mermorphic function and their derivatives ［J］．Ann of math，1959，70(2):9-42．
［3］ Clunie J．On a result of hayman［J］．J London Math Soc，1967，42:389-392．［4］ Anderson J M，Baker I N，Clunie J G．The distribution of values of certain entire and meromorphic function［J］．Math Z，1981，178:509-525．
［5］ Langley J K．Analogues of Picard set for entire function and their derivatives ［J］．Contemporary Math，1983，25:75-86．
［6］ Chen H H．Yoshida functions and Picard values of integral functions and their derivatives［J］．Bull Austral Math Soc，1996，54:373-381．
［7］王品玲．整函数导数的Picard例外集［J］．数学学报，2009，52(5):961-968．
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